第4章一次函数-题型全解8-一次函数与几何综合题型-北师大版八年级数学上册

word版初中数学word版初中数学/word版初中数学《一次函数》题型解读8一次函数与几何综合题型【题型与方法解读】2.解题技巧：（1）求关键点的坐标：①用“x=0或y=0”分别求与坐标轴交点；②用二元一次方程组求两线段的交点坐标；③代入法求点的坐标；④作x、y轴的垂线，求垂线段的长度求点的坐标；（2）求关键线的解析式①常用“等定系数法”求某条线段所在直线的解析式；②也可以通过以下两个技巧设或求解析式：若两直线平行，则它们的K值相同；若两直线垂直，则它们的K值为负倒数；（3）已知或求面积问题：解题思路先明确面积方法：①公式法；②外补法（面积差）或内割法（面积和）（4）注意几何图形中隐藏的数学典型模型或典型图形①“一线三垂直或二垂或一垂模型”；②“双垂直模型”；③“一线三等角模型”；④“角平分线+平行线=等腰”模型；⑤“两圆一线”的解题方法；⑥“将军饮马问题”求线段和最小值；（5）常用的补充公式：①中点坐标公式：若，，则AB的中点O的坐标为②两点之间的距离公式：若，，则AB=③求面积的三种方法：公式法；补割法；等底等高面积相等；【典型例题】例1.如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C为线段OB上一点，将沿着直线AC翻折，点B恰好落在x轴上的D处，则的面积为______．解：直线，当时，，当时，，点A的坐标为，点B的坐标为，，，，将沿着直线AC翻折，点B恰好落在x轴上的D处，，，设，则，，，，，解得，，即，，的面积为：，

例2.如图,直线与轴、轴分别交于A、B两点,点C是第二象限内一点,连接CB,若∠CBA=45°,则直线BC的解析式为_________.解析：解题经验：出现45°角必构造等腰直角三角形，这是解题的突破口。过点A作AD⊥AB交BC于点D，作DE⊥轴于点E，出现数学典型模型：“一线三垂直模型”，则易证△OAB≌△EDA，则OB=AE=2，OA=DE=1，∴OE=3，∴D点的坐标为（-3，1），∵D（3，2），B（0，2），用“待定系数法”可求得BC的解析式：.例3.已知,如图点A(1,1),B(2,-3),点P为轴上一点,当最大时,点P的坐标为（）A.B.C.D.解析：“将军饮马问题”，选择压轴题。选B依“两边之差小于第三边”可知：|PA-PB|<AB，当P、A、B在同一直线上时，|PA-PB|=|PA`-PB|=A`B,有最大值。∴作点B关于x轴的对称点B`，连接B`A并延长交x轴于点P，∵A`(1,-1),B(2,-3)，∴直线A`B的解析式为：y=-2x+1，当y=0时x=,∴P()例4.如图,平面直角坐标系中,直线AB:交轴于点A(0,1),交轴于点B，直线交AB于点D,交轴于点E,P是直线上一动点,且在点D的上方,设P(1,)：(1)求直线AB的解析式和点B的坐标；(2)求△ABP的面积(用含的代数式表示)；(3)当时,以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC,求出点C的坐标(直接写出结果即可)。解析：考查一次应用知识和直角三角形的分类讨论，解答压轴题（1）基础简单题。代入A点坐标，可得直线AB的解析式为：,当y=0时，x=3，∴B点坐标为（3，0）（2）中等难度题。当x=1时，y=,∴D点坐标为（1，），∵P是直线上一动点,且在点D的上方,P(1,)，∴PD=n-,∴.注：∵PE//y轴，△APD高会等于OE的长，而BE是△PDB的界外高。（3）压轴小题，数学典型模型“一线三垂直”；当时,n=2，∴P点坐标为（1，2）①当点C为等腰直角三角形BPC的直角顶点时，∵P(1,2),B(3,0),∴PE=BE=2,∵PE⊥BE,∴△EPB是等腰直角形，分别过点P、B作BE和PE的平行线，交于点C，如图1，可知△CPB是等腰直角三角形，此时C的坐标为（3，2）；②当点P为等腰直角三角形BPC的直角顶点时，如图2，出现数学典型模型“一线三垂直”中的“二垂模型”，作CF⊥PE于点F，∵△CPB是等腰直角三角形，易证△EPB≌△FCP,∴CF=PE=2,PF=BE=2,∴EF=4,∴C(3,4)；③当点B为等腰直角三角形BPC的直角顶点时，如图3，出现数学典型模型“一线三垂直”中的“二垂模型”，作CM⊥x轴于点M，∵△CPB是等腰直角三角形，易证△EPB≌△MBC,∴CM=BE=2,BM=PE=2,∴OM=5,∴C(5,2)；综上所述，当C点坐标为（3，2）、（3，4）、（5，2）时，△BPC是等腰直角三角形。例5.如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，交直线于点C，点D与点B关于x轴对称，连接AD交直线于点E．

填空：______．求直线AD的解析式；

在x轴上存在一点P，则的和最小为______；直接填空即可

当时，点Q为y轴上的一个动点，使得为等腰直角三角形，求点Q的坐标．

解：如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点B，令，，，

令，，，，点D与点B关于x轴对称，，

，

如图1，设直线AD的解析式为，由知，，，，，

直线AD的解析式为；

如图2，由知，直线AD的解析式为，直线CE：，，

点D与点B关于x轴对称，连接BE交x轴于P，此时，最小，最小值为BE，，的最小值是，则的和最小为；

，∽，，设，，为等腰直角三角形时，存在以下三种情况：

当E为直角顶点时，如图3，，则，，，；

当C为直角顶点时，如图3，同理得；当Q为直角顶点时，如图4，此时Q与O重合，

综上，点Q的坐标为或或．

例6.如图，已知函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与数图象交于点M，点M的横坐标为2，在x轴上有点P(a，0)（其中a>2)，过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图象于点C、D。(1)求点A的坐标：(2)若OB=CD，求a的值（3）在(2)条件下若以0D线段为边，作正方形0DEF，求直线EF的表达式。解：（1）∵点M在直线y=x的图象上，且点M的横坐标为2，∴点M的坐标为（2，2），把M（2，2）代入y=﹣x+b得﹣1+b=2，解得b=3，∴一次函数的解析式为y=﹣x+3，把y=0代入y=﹣x+3得﹣x+3=0，解得x=6，∴A点坐标为（6，0）；（2）把x=0代入y=﹣x+3得y=3，∴B点坐标为（0，3），∵CD=OB，∴CD=3，∵PC⊥x轴，∴C点坐标为（a，﹣a+3），D点坐标为（a，a）∴a﹣（﹣a+3）=3，∴a=4．（3）如图以OD为边作正方形ODEF有两种情况。∵D(4，4)当正方形为ODE1F1时，∵,OD与x轴夹角为450，∴∴正方形顶点E1在x轴上，由对称性知∴，∴直线同理当正方形为ODE2F2时，∴直线，例7.要在某河道建一座水泵站P，分别向河的同一侧甲村A和乙村B送水，经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图），两村的坐标分别为A（1，-2），B（9，-6）.（1）若要求水泵站P距离A村最近，则P的坐标为____________；（2）若从节约经费考虑，水泵站P建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管最短？（3）若水泵站P建在距离大桥O多远的地方，可使它到甲乙两村的距离相等？解析：（1）依数学原理“点到直线的距离，垂线段最短”，作AP⊥x轴于点P，即为所求，∵A点坐标为（1，-2），∴P点坐标为（1，0）；（2）依数学原理“两点之间线段最短”解题，由题可知，即求PA+PB最短，作点A关于x轴的对称点A`，连接A`B交x轴于点P，此时PA+PB最短距离为A`B的长度。∵A(1,-2),∴A`(1,2)，设，代入A`、B两点坐标，可得，解得，∴直线A`B的表达式为y=-x+3，当y=0时，x=3，∴P点坐标为（3，0）；（3）依“垂直平分线的性质”解题.作线段AB的垂直平分线，交x轴于点P，此时PA=PB.依中点坐标公式可得线段AB的中点G的坐标为（5，-4）,由A、B两点坐标可得直线AB的表达式为y=-0.5x-1.5，∵PG⊥AB，∴设直线PG的表达式为y=2x+b,代入G点坐标，可得y=2x-14，当y=0时x=7，∴P点坐标为（7，0）.例8.如图1，已知直线AO与直线AC的表达式分别为：和.（1）直接写出点A的坐标；（2）若点M在直线AC上，点N在直线OA上，且MN//y轴，MN=OA，求点N的坐标；（3）如图2，若点B在x轴正半轴上，当△BOC的面积等于△AOC的面积一半时，求∠ACO+∠BCO的大小.解析：（1）A点的坐标为（4，2）；（2）由A点坐标可得OA=，∴MN=OA=2，则存在以下两种情况：①当M在N点下方时，如图3，∵点M在直线AC上，点N在直线OA上，且MN//y轴，∴设M的坐标为（a,2a-6），则N的坐标为（a,），则MN=-（2a-6）=2，解得a=，∴N点的坐标为（，）；②当M在N点上方时，如图4，则MN=（2a-6）--=2，解得a=，∴N点的坐标为（，）；综上所述，N的坐标为（，），（，）（3）思路分析：利用“等底时两三角形面积之比等于高之比”可得出OB的长，解题的关键在如何转化“∠ACO+∠BCO”，这里有几条解题经验值得借鉴：①到目前为止，我们所学的均是求一个角的角度，不会涉及到角度的和差关系，故一定要把“∠ACO+∠BCO”通过等量代换成一个角；故有了作∠GCO=∠BCO的辅助线思路，把∠ACO+∠BCO转化成∠ACG，；②题目条件没出现具体角度，但结论又要求角度的，这个角度一定是一个特殊角，即∠ACG的度数一定是个特殊角；即∠ACG处于一个特殊的三角形中，于是有了作DE⊥GC的辅助线思路，运用勾股定理知识即可解答。∵△BOC与△AOC有相同的底边OC，∴当△BOC的面积等于△AOC的面积一半时，△BOC的高OB的长度是△AOC的高的一半，∴OB=2，设直线AC与x轴的交点为点D，则D(3，0)，作点B关于y轴的对称点G，则OG=0B=2，GD=5,∠BCO=∠GCO，则∠ACO+∠BCO=∠ACO+∠GCO=∠ACG，连接GC，作DE⊥GC于点E，由勾股定理可得：GC=,DC=,在△CGD中，由等面积法可得：OC•DG=DE•GC，可得DE=,在Rt△DEC中，由勾股定理可得EC=,∴ED=EC,∴∠ECD=45°,即∠ACO+∠BCO=45°.例9.如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点C（-1，0），D（0，），与直线AB交于点E。（1）求直线CD的函数关系式；（2）连接BC，求△BCE的面积；（3）设点Q的坐标为，求m的值使得QA+QE的值最小。解析：(1)用“待定系数法”解题，设直线表达式为：y=kx+b,代入C点坐标（-1，0），D点（0，），可得：，∴直线表达式为：(2)要求△BCE的面积，先明确面积方法：补割法：△BCE的面积=△ABC的面积-△ACE的面积，再利用公式法求出每个小三角形的面积。△ABC是以AB为底，OB为高，△ACE是以AC为底，E点的纵坐标为高，由于C点的坐标是已知的，即OC=1，所以先求出点A、B、E的坐标。A、B点是直线AB与x、y轴的交点，当y=0时x=4，当x=0时y=2，∴A点的坐标是（4,0），B点的坐标是（0,2），∴OA=4,OB=2,∴底边AC=5；又∵点E是直线AB与直线CD的交点，解联立方程，∴,∴E（2，1），∴∴(3)求线段和的最小值，属“将军饮马问题”，需通过作对称，使QA与QE在同一条直线上。所以先明确作哪个点的对称点，对称轴是哪条直线。由Q的坐标为，B点的坐标是（0，2），可知直线BQ的解析式为y=2，且BQ//轴，∴以动点Q所在的直线BQ为对称轴，作定点E的对称点E`，连接AE`，交直线BQ于点Q，AE`即为QA+QE的最小值。∵E的坐标为（2，1），∴它关于直线y=2的对称点E`的坐标为（2，3），①点Q是直线AE`与BD的交点，且知点Q的纵坐标，∴只需求出直线AE`的解析式，代入便可得出Q点坐标。设直线AE`的解析式为：y=kx+b,代入A点坐标（4，0），E`点（2，3），可得：，∴，∴∵∴∴∴，∴m=；②要求QA+QE的值最小值，即求线段AE`的长度，∵E`（2，3），A（4,0），用两点间的距离公式可得：例10．如图1，已知函数y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）求直线BC的函数解析式；（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为，求点M的坐标；②连接BM，如图2，若∠BMP=∠BAC，求点P的坐标．【解答】（1）解：对于.由x=0得：y=3，∴B（0，3）.由y=0得：，解得x=﹣6，∴A（﹣6，0），∵点C与点A关于y轴对称,∴C（6，0）,设直线BC的函数解析式为y=kx+b，解得