直线与平面的夹角+第1课时课件 高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

1.2.3

直线与平面的夹角第1课时新授课1.理解直线与平面的夹角的概念.2.掌握直线与平面所成角的性质，会进行简单应用.情境：日常生活中，很多场景中都有直线与平面成一定角度的形象.握笔写字时，如果把笔抽象成直线，把纸抽象成平面，则直线与平面成一定角度.地球仪的地轴（即旋转轴）与赤道所在的平面垂直，并且与水平桌面成一定角度怎样来刻画直线与平面所成的角呢？②若l1//l2，或l⊂α，则直线与平面所成的角为0°.αl两种特殊情况：①若l⊥α，则直线与这个平面所成的角为90°；αl1l2

思考1：如图所示，平面α内任意直线m与斜线l所成角大小相同吗？能否用上述角定义为直线l与平面α所成的角？当m的位置不同时，m与l所成角的大小可能也不同，因此不能将其定义为直线l与平面α所成的角.αlm1m2m知识点一：斜线与平面所成角的概念问题：直线l与平面α所成的角如何定义？平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角称为这条斜线与平面的角.

射影斜线与平面所成的角例如，如图所示，如果直线AB是平面α的一条斜线，B为斜足，A'B是直线AB在平面α内的射影，则∠ABA'就是直线AB与平面α所成的角.

思考2：如图所示，设AO是平面α的一条斜线段，O为斜足，A'为A在平面α内的射影，而OM是平面α内的一条射线，A′M⊥OM.记∠AOA'=θ1，∠A'OM=θ2，∠AOM=θ.(1)由图可知θ1与θ之间有什么样的大小关系？知识点二：线面角的性质θ1≤θ∵AA'⊥α，∴△AA'O，△AA'M都是直角三角形，且A'M是AM在平面α内的射影.（2）直线AM与OM之间有什么位置关系？又∵A'M⊥OM，由三垂线定理可知AM⊥OM，∴△AMO也是直角三角形.如果设OA=1,则在Rt△AA'O中，OA'=OAcosθ1=cosθ1，因此cosθ=cosθ1cosθ2因此在Rt△OMA'中，OM=OA'cosθ2=cosθ1cosθ2；另一方面，在Rt△AMO中，有OM=OAcosθ=cosθ.(2)θ1，θ2，θ三者之间有怎样的等量关系？∵0≤cosθ2≤1，cosθ=cosθ1cosθ2，∴cosθ<cosθ1，又∵θ1和θ都是锐角，∴θ1≤θ.问题2：根据等量关系cosθ=cosθ1cosθ2，判断θ1和θ的大小关系是怎样的？最小角定理：平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.概念生成空间中任意一条直线与任意一个平面所成的角的大小都是确定的，直线与平面所成的角也称为它们的夹角.知识点三：直线与平面所成角的概念

例1如图所示，已知∠BAC在平面α内，过该角的顶点A引平面α的斜线AP，且使∠PAB=∠PAC，求证：斜线AP在平面α内的射影平分∠BAC.证明：设点P在平面α内的射影为点M，则AM为AP在平面α内的射影.cos∠PAB=cos∠PAMcos∠BAM,cos∠PAC=cos∠PAMcos∠CAM,由∠PAB=∠PAC可得因此∠BAM=∠CAM，即AM平分∠BAC.cos∠BAM=cos∠CAM,所以

思考3：如图所示，平面α外一点P在α内的射影为P′，过P作平面α的斜线段PA1，PA2，且A1，A2均为斜足，设PA1，PA2与平面α所成角分别为θ1，θ2. （1）若PA1=PA2，θ1，θ2之间有什么大小关系？

（2）若P′A1=P′A2，θ1，θ2之间有什么大小条件.（1）∵PP'⊥α，∴△PP'A1与△PP'A2都是直角三角形，（2）同理得

PP'=P'A1tanθ1=P'A2tanθ2,∴当P'A1=P'A2时，θ1=θ2.∴PP'=PA1sinθ1=PA2sinθ2.又∵θ1，θ2都是锐角，∴当PA1=PA2时，θ1=θ2；经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等.归纳总结αθ1θ2ABCOθ1=θ2⇔⇔AB=ACOB=OC

问题3：当线段AB所在的直线与平面α所成的角为θ，且AB在平面α内的射影为A'B'时，线段A'B'和AB大小之间有什么关系？当θ=0°时，A'B'=AB满足A'B'=ABcosθ当θ