2024届北京八中怡海分校数学高一第二学期期末教学质量检测试题含解析

2024届北京八中怡海分校数学高一第二学期期末教学质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如果圆上总存在点到原点的距离为，则实数的取值范围为()A． B． C． D．2．已知向量，且，则的值是（）A． B． C．3 D．3．经过，两点的直线方程为（）A． B． C． D．4．已知三个内角、、的对边分别是，若，则等于()A． B． C． D．5．数列中，，且，则数列前2019项和为（）A． B． C． D．6．已知点，则向量（）A． B． C． D．7．下列事件中，是必然事件的是（）A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数 B．13个人中至少有两个人生肖相同C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯 D．明天一定会下雨8．将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，5个剩余分数的平均分为21，现场作的7个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示,则5个剩余分数的方差为()A． B． C．36 D．9．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.1510．已知各个顶点都在同一球面上的正方体的棱长为2，则这个球的表面积为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．不等式的解集为_______________．12．在中,分别是角的对边，,且的周长为5，面积，则=______13．在等比数列{an}中，a114．关于函数，下列命题：①若存在，有时，成立；②在区间上是单调递增；③函数的图象关于点成中心对称图象；④将函数的图象向左平移个单位后将与的图象重合．其中正确的命题序号__________15．在长方体中，，，，如图，建立空间直角坐标系，则该长方体的中心的坐标为_________．16．在锐角△中，角所对应的边分别为，若，则角等于________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列an满足an+1=2an（1）求证:数列bn（2）求数列an的前n项和为S18．某制造商月生产了一批乒乓球，随机抽样个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下表分组频数频率10205020合计100(1)请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并在上图中画出频率分布直方图；(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间的中点值是作为代表.据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数).19．已知，，分别为三个内角，，的对边，.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求边，.20．已知，，（1）求的解析式，并求出的最大值；（2）若，求的最小值和最大值，并指出取得最值时的值.21．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.（1）求角B；（2）若，求周长的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】

将圆上的点到原点的距离转化为圆心到原点的距离加减半径得到答案.【题目详解】，圆心为半径为1圆心到原点的距离为：如果圆上总存在点到原点的距离为即圆心到原点的距离即故答案选B【题目点拨】本题考查了圆上的点到原点的距离，转化为圆心到原点的距离加减半径是解题的关键.2、A【解题分析】

由已知求得，然后展开两角差的正切求解．【题目详解】解：由，且，得，即．，故选A．【题目点拨】本题考查数量积的坐标运算，考查两角差的正切，是基础题．3、C【解题分析】

根据题目条件，选择两点式来求直线方程.【题目详解】由两点式直线方程可得：化简得：故选：C【题目点拨】本题主要考查了直线方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4、D【解题分析】

根据正弦定理把边化为对角的正弦求解.【题目详解】【题目点拨】本题考查正弦定理，边角互换是正弦定理的重要应用，注意增根的排除.5、B【解题分析】

由，可得，化为：，利用“累加求和”方法可得，再利用裂项求和法即可得解．【题目详解】解：∵，∴，整理得：，∴，又∴，可得：．则数列前2019项和为：．故选B．【题目点拨】本题主要考查了数列递推关系、“累加求和”方法、裂项求和，考查了推理能力、转化能力与计算能力，属于中档题．6、D【解题分析】

利用终点的坐标减去起点的坐标，即可得到向量的坐标．【题目详解】∵点，，∴向量，，.故选：D．【题目点拨】本题考查向量的坐标表示，考查运算求解能力，属于基础题.7、B【解题分析】

根据必然事件的定义，逐项判断，即可得到本题答案.【题目详解】买一张电影票，座位号可以是2的倍数，也可以不是2的倍数，故A不正确；13个人中至少有两个人生肖相同，这是必然事件，故B正确；车辆随机到达一个路口，可以遇到红灯，也可以遇到绿灯或者黄灯，故C不正确；明天可能下雨也可能不下雨，故D不正确.故选：B【题目点拨】本题主要考查必然事件的定义，属基础题.8、B【解题分析】

由剩余5个分数的平均数为21，据茎叶图列方程求出x＝4，由此能求出5个剩余分数的方差．【题目详解】∵将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个分数的平均数为21，∴由茎叶图得：得x＝4，∴5个分数的方差为：S2故选B【题目点拨】本题考查方差的求法，考查平均数、方差、茎叶图基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．9、B【解题分析】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，∴所求概率为=0.1．故选B10、A【解题分析】

先求出外接球的半径，再求球的表面积得解.【题目详解】由题得正方体的对角线长为，所以.故选A【题目点拨】本题主要考查多面体的外接球问题和球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】.12、【解题分析】

令正弦定理化简已知等式，得到，代入题设，求得的长，利用三角形的面积公式表示出的面积，代入已知等式，再将，即可求解．【题目详解】在中，因为，由正弦定理，可得，因为的周长为5，即，所以，又因为，即，所以．【题目点拨】本题主要考查了正弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．13、64【解题分析】由题设可得q3=8⇒q=3，则a714、①③【解题分析】

根据题意，由于，根据函数周期为,可知①、若存在，有时，成立；正确，对于②、在区间上是单调递减；因此错误，对于③、，函数的图象关于点成中心对称图象，成立．对于④、将函数的图象向左平移个单位后得到，与的图象重合错误，故答案为①③考点：命题的真假点评：主要是考查了三角函数的性质的运用，属于基础题．15、【解题分析】

先求出点B的坐标，再求出M的坐标.【题目详解】由题得B(4,6,0),,因为M点是中点，所以点M坐标为.故答案为【题目点拨】本题主要考查空间坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.16、【解题分析】试题分析：利用正弦定理化简，得，因为，所以，因为为锐角，所以．考点：正弦定理的应用．【方法点晴】本题主要考查了正弦定理的应用、以及特殊角的三角函数值问题，其中解答中涉及到解三角形中的边角互化，转化为三角函数求值的应用，解答中熟练掌握正弦定理的变形，完成条件的边角互化是解答的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力，同时注意条件中锐角三角形，属于中档试题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析；(2)S【解题分析】

（1）计算得到bn+1bn（2）根据（1）知an【题目详解】(1)因为bn+1b所以数列bn(2)因为bn=aSn【题目点拨】本题考查了等比数列的证明，分组求和，意在考查学生的计算能力和对于数列方法的灵活运用.18、(1)见解析；(2)40.00(mm)【解题分析】解：(1)频率分布表如下：分组

频数

频率

[39.95,39.97)

10

0.10

5

[39.97,39.99)

20

0.20

10

[39.99,40.01)

50

0.50

25

[40.01,40.03]

20

0.20

10

合计

100

1

注：频率分布表可不要最后一列，这里列出，只是为画频率分布直方图方便．频率分布直方图如下：(2)整体数据的平均值约为39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)．19、（1）；（2）.【解题分析】

（1）利用正弦定理化边为角，再依据两角和的正弦公式以及诱导公式，即可求出，进而求得角A的大小：（2）依第一问结果，先由三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出，联立即可求解出，的值．【题目详解】（1）由及正弦定理得，整理得，，，因为，且，所以，，又，所以，.（2）因为的面积，所以，①由余弦定理得，，所以，②联立①②解得，.【题目点拨】本题主要考查利用正余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用，涉及利用两角和的正弦公式、诱导公式对三角函数式的恒等变换．20、（1），最大值为.（2）时，最小值0.时，最大值.【解题分析】

（1）利用数量积公式、倍角公式和辅助角公式，化简，再利用三角函数的有界性，即可得答案；（2）利用整体法求出，再利用三角函数线，即可得答案.【题目详解】（1）∴，的最大值为.（2）由（1）得，∵，.，当时，即时，取最小值0.当，即时，取最大值.【题目点拨】本题考查向量数量积、二倍角公式、辅助角公式、三角函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归