卷1-2021年中考数学卷（江苏淮安专用）4月卷（解析版）

备战2021年中考淮安【名校、地市好题必刷】全真模拟卷•4月卷

第一模拟

注意事项：

本试卷满分130分，考试时间120分钟，试题共28题.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自

己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.下列运算正确的是（）

A.止±2B.（y）-2=-4C.-|-2|=2D.

【答案】D

【分析】根据算术平方根、负整数指数累、绝对值性质、立方根的定义逐一计算可得.

【解答】解：A、«=2,此选项错误；

B、（*）-2=4,此选项错误；

C、-|-2|=-2,此选项错误；

。、4两=-2，此选项正确：

故选：D.

【知识点】立方根、负整数指数累、绝对值、算术平方根

2.中国倡导的“一带一路"建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，"一带一路"地区覆盖总人口约

为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（）

A.44X108B.4.4X109C.4.4X108D.4.4X1O10

【答案】B

【分析】科学记数法的表示形式为aXUr的形式，其中lW|a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原

数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时,

n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.

【解答】解：4400000000=4.4X109,

故选：B.

【知识点】科学记数法一表示较大的数

3.已知点P（4-1,。+2）在平面直角坐标系的第二象限内，则。的取值范围在数轴上可表示为（）

B.-a-2-1o1?

।少/////2.

c.-?1-101?

D.-a-?-1n1?

【答案】c

【分析】根据第二象限内点的特征，列出不等式组，求得。的取值范围，然后在数轴上分别表示出«的取

值范围.

【解答】解：•••点P（4-1,4+2）在平面直角坐标系的第二象限内，

a-l<0

则有

a+2>0

解得-2<a<l.

故选：C.

【知识点】点的坐标、在数轴上表示不等式的解集

4.把抛物线y=x2向右平移1个单位，所得抛物线的函数表达式为（）

A.y=『+lB.y=（x+1）2C.y=9-1D.y=（x-1）2

【答案】D

【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式.

【解答】解：原抛物线的顶点为（0,0）,向右平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（1,0）；

可设新抛物线的解析式为y=（JC-/?）2+4代入得：y=（X-1）2,

故选：D.

【知识点】二次函数图象与几何变换

5.如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果/1=20°,那么/2的度数

A.30°B.25°C.20°D.15°

【答案】B

【分析】本题主要利用两直线平行，内错角相等作答.

【解答】解：根据题意可知，两直线平行，内错角相等,

二/1=/3,

；/3+/2=45°,

，N1+N2=45°

VZ1=2O°,

，N2=25°.

【知识点】平行线的性质

6.某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2015年投入3千万元，预计2017年投入5千万元.设

教育经费的年平均增长率为x,则下面所列方程正确的是()

A.3(1+x)2=5B.3*=5

C.3(1+x%)2=5D.3(1+龙)+3(1+x)2=5

【答案】A

【分析】设教育经费的年平均增长率为x,根据某地2015年投入教育经费3千万元，预计2017年投入5千

万元可列方程.

【解答】解：设教育经费的年平均增长率为X,

则2016的教育经费为：3X(1+x)

2017的教育经费为：3X(1+x)2.

那么可得方程：3(1+x)2=5.

故选：A.

【知识点】由实际问题抽象出•元二次方程

7.如图是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是()

C.abnD.acn

【答案】B

底面周长X母线长

【分析】易得此几何体为圆锥，侧面积=

2

【解答】解：由题意得底面直径为。，母线长为C,

几何体的侧面积为

故选：B.

【知识点】由三视图判断几何体

8.如图，。。中，弦AB、C£>相交于点尸，若NA=30°,ZAPD=70°,则NB等于（）

B

A.30°B.35°C.40°D.50°

【答案】C

【分析】欲求的度数，需求出同弧所对的圆周角/C的度数；△APC中，已知了/A及外角/APD的

度数，即可由三角形的外角性质求出NC的度数，由此得解.

【解答】解：•••/APO是△APC的外角，

二ZAPD=ZC+ZA；

VZA=30°,ZAPD=10°,

ZC=ZAPD-ZA=40°；

.*.ZB=ZC=40°:

故选：C.

【知识点】圆周角定理

9.如图，在RtZXAOB中，两直角边OA,。8分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将aAOB绕点8逆时

针旋转90°后得到△?!'O'B.若反比例函数>='的图象恰好经过斜边A'8的中点C,且5郎。8=4,

X

tanZABO=y,则女的值为（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】先根据三角函数设未知数，根据面积求8和4的坐标，根据中点坐标公式可得C的坐标，从而计

算&的值；

【解答】解：•••tan/A80=笑=5，

0B2

.•.设OA=x,贝1]08=2-

则SAA8O=LOA.OB=L.2X=4,

22

・'・x=2,

：.B(0,4),A'(4,2),

•・•点C为斜边A'8的中点，

：.C(2,3),

**-Z=2X3=6；

故选：c.

【知识点】解直角三角形、反比例函数系数k的儿何意义、坐标与图形变化-旋转

10.如图，等腰RtZXABC的一个锐角顶点A是。。上的一个动点，ZACB=90°,腰AC与斜边AB分别交

OO于点E、D,分别过点D,E作。。的切线交于点F,且点F恰好是腰BC上的点，连接OC,OD,

OE,若的半径为4,则OC的最大值为()

A.2旄+2B.4我+2C.6D.8

【答案】A

【分析】先由等腰三角形的性质、切线的性质及圆的半径相等判定四边形0。/E是正方形，再得出点C在

以EF为直径的半圆上运动，则当OC经过半圆圆心G时，OC的值最大，用勾股定理计算出OG

的长度，再加上CG的长度即可.

【解答】解：：等腰Rtz^ABC中，ZACB=90a,

；.NA=N8=45°,

...NOOE=2NA=90°,

•••分别过点D,E作。0的切线，

：.OD±DF,OELEF,

•••四边形OOFE是矩形，

"：OD=OE=4,

四边形O0FE是正方形，

.•衣=4,

•.•点尸恰好是腰BC上的点，

，NEC尸=90°

...点C在以EF为直径的半圆上运动,

.•.设EF的中点为G,则EG=FG=CG=*EF=2,且当OC经过半圆圆心G时，OC的值最大,

此时，在RtZ^OEG中，旄，

；.0C=0G+CG=2旄+2.

故选：A.

【知识点】切线的性质、等腰直角三角形

二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上)

11.分解因式］8孙2-2x=-.

【答案】2x(3y+l)(3y-l)

【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式=2x(9y2-1)=2x(3y+l)(3y-1),

故答案为：2x(3y+l)(3y-1)

【知识点】提公因式法与公式法的综合运用

12.某区10名学生参加实际汉字听写大赛，他们得分情况如表：那么10名学生所得分数的中位数是—.

人数3421

分数80859095

【答案】85分

【分析】根据表格中的数据和中位数的定义，可以得到这组数据的中位数，本题得以解决.

【解答】解：由表格可得，

这10名学生所得分数的中位数是85分，

故答案为：85分.

【知识点】中位数

13.若a,b是一元二次方程r-2遥x+l=O的两根，则十4=

1答案】2

5

【分析】根据根与系数的关系得出“+〃=2旄，沸=1,再根据工△=豆也，然后代值计算即可得出答案.

abab

【解答】解：mb是一元二次方程『-2泥x+l=O的两根，

a+b—2\[s,ab—},

=2遥.

abab1

故答案为：

【知识点】根与系数的关系

14.如图，在平面直角坐标系中，第二象限内的点P是反比例函数y=K(�)图象上的一点，过点P作

x

ft4_Lx轴于点A,点8为A0的中点若△a8的面积为3,则改的值为.

【答案】-12

【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得出△。4尸的面积S=||k|=2SaPAB的面积，再根据双曲线所

在的象限即可求出％的值

【解答】解：连接0P.

•.•点B为A0的中点，△以8的面积为3S^OAP=2S&PAB=2X3=6,

又,•.SAOAP9|k|，

.*|k|=6，

，因=12,

：.k=-12,

故答案为-12.

【知识点】反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征

4

15.如图，在△A3C中，AB=AC,sinB=—,延长至点。，使CD：AC=\：3,则tanNC4£)=

5

4

【分析】过点。作与AC的延长线交于点E,AB=AC,sinB=-^-得DE：CD=4：5,设DE

5

=4x,再x表示CE、CD、AC,再解RtAADE便可求得结果.

【解答】解：过点。作OEJ_AC,与AC的延长线交于点E,

：.ZB=ZACBf

VZDCE=NACB,

:・/DCE=/B,

4

VsinB=—,

5

sin/DCE

照CD咯D

不妨设DE=4x,则CD=5xf

**,CE=7CD2-DE2=3X,

VCD：AC=1：3,

AAC=3CD=15x,

・・・AE=4C+CE=18x,

DF4x=2

AtanZCAD=—^

AE187"9

故答案为V

y

【知识点】解直角三角形、等腰三角形的性质

16.如图所示，在四边形ABCD中，NB=90°,AB=2,CD=8.连接AC,ACLCD,若sin/AC8=上,

3

则AD长度是.

【答案】10

【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算AC,再在直角三角形AC。中，利用勾股定理求出AO.

【解答】解：在RtZ\ABC中，

KR1

9：AB=2,sinZACB=—,

AC3

：.AC=2^—=6.

3

在RtAADC中，

AD=VAC2+CD2

【知识点】勾股定理、解直角三角形

17.如图，在矩形A8CD中，E,F分别为边AB,的中点，BF与EC、EZ）分别交于点M,N.已知AB=

4,BC=6,则MN的长为.

【分析】延长CE、DA交于Q,延长BF和CD,交于W,根据勾股定理求出BF,根据矩形的性质求出AD,

根据全等三角形的性质得出AQ=8C,AB=CW,根据相似三角形的判定得出△QMFSACMB,△

BNEs^WND,根据相似三角形的性质得出比例式，求出8N和的长，即可得出答案.

2y

【解答】解：延长CE、D4交于。，如图1,

•.•四边形A8CD是矩形，BC=6,

:./BAD=9Q°,4O=BC=6,AD//BC,

•/为AD中点,

：.AF=DF^3,

22=5

在中，由勾股定理得：BF=JAB2+Ap2=J4+3,

"."AD//BC,

：.ZQ=ZECB,

为48的中点，AB=4,

:.AE=BE=2,

在△QAE和△C8E中

'/QEA=/BEC

<ZQ=ZECB

AE=BE

.•.△QAE—CBE(A4S),

：.AQ=BC=6,

即。尸=6+3=9,

'."AD//BC,

•里=处=9

••丽BCT

,:BF=5,

：.BM=2,FM=3,

w

同理AB=OW=4,CW=8,BF=FW=5,

'.,AB//CD,

:.XBNEs•ND,

•BN=BE

,•而一丽’

•BN_2

,*5-BN+5-T

解得：BN二号,

:.MN=BN-BM^--2=±

33

故答案为:母.

【知识点】矩形的性质、相似三角形的判定与性质

18.如图，线段AB的长为2,C为A8上一个动点，分别以AC、BC为斜边在A8的同侧作两个等边三角形

△ACO和△BCE,连接4E、8。交于点P,则△AP8周长的最大值是

【分析】根据△ACO和△BCE是等边三角形，证明△4CE-△OC8,可得/E//=60°,延长PE到点°,

使PQ=PB,连接B。，可得△8PQ是等边三角形，作A/IQB的外接圆，作直径AR,连接3凡可

得NAR8=/PQB=60°,根据锐角三角函数可得AR的长，进而可得AAPB周长的最大值.

【解答】解：•••△ACC和△BCE是等边三角形，

：.AC=DC,BC=EC,ZACD=ZBCE=60°,

NACE=NDCB,

在△ACE和△DC8中，

'AC=DC

<ZACE=ZDCB.

CE=CB

ZWCB(SAS),

/AEC=ZDBC,

：.NEPB=NPAB+NPBA=N卧8+NPEC=NECB=60°,

如图，延长PE到点Q,使PQ=PB,连接BQ,

△BP。是等边三角形,

：.ZPQB=60°,

作△4QB的外接圆，作直径AR,连接8R,

:.NARB=NPQB=6Q°,乙4BR=90°,

在RtZkAKB中，VAB=2,

.MR=-^=越，

sin603

...△AP8周长的最大值是：AP+PB+AB=AR+AB=^&+2.

_3

故答案为：±巨+2.

3

【知识点】全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、圆内接四边形的性质

三、解答题（本大题共10小题，共76分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过

程或演算步骤）

19.计算：（、•）°-4sin45°cos60°+卢）1^V2-

【分析】（《）r=2,按照实数的运算法则依次计算.

72

【解答】解：原式=1-4X返＞＜忘2义我

-V2+2V2

=1+圾・

【知识点】零指数慕、负整数指数幕、特殊角的三角函数值、实数的运算

20.先化简分式1-9+•等3然后在0,1,2,3中选一个你认为合适的。值，代入求值.

-cJ,"a-1

【分析】先化简分式，再把。=2代入化简后的式子计算即可.

［解答］解：原式-（a+3）（a；3）.里毕上《二2+a=2a，

（a+3）2a-3a-1

当a=2时，原式=2X2=4.

【知识点】分式的化简求值

21.在东西方向的海岸线I上有一长为\km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有-观察站

4某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°,且与A相距40珈的8处；经过1小时

20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°,且与A相距哂的?的C处.

（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；

（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由.

B、北

MN

【分析】（1）根据/1=30°,Z2=60°,可知△ABC为直角三角形.根据勾股定理解答.

（2）延长8c交/于T,比较A7与AM、4V的大小即可得出结论.

【解答】解：（1）VZl=30°,Z2=60°,

...△ABC为直角三角形.

AB=40km,AC=

'BC=4//+（8a）2=16由（km）.

VI小时20分钟=80分钟，1小时=60分钟，

.♦..16迎X60=12枚（千米/小时）.

(2)能.

理由：作线段BR_LAN于/?,作线段CSJ_AN于S,延长8C交/于7.

；/2=60°,

，/4=90°-60°=30°.

；AC=8V^(km),

；.CS=8\^sin30°=4加(km).

."S=8bcos3()°=8«X退=12(km).

2

又；/1=30°,

.•./3=90°-30°=60°.

'：AB=40km,

.•.8H=40・sin60°=20“(km).

.*.A/?=40Xcos600=40X—=20(km).

2

易得，2STCS/\RTB,

所以•11=普，

RTBR

ST二蜕

ST+20+12=2WT

解得：ST=8(km).

所以47=12+8=20Ckm).

又因为4M=19.5b〃，MN长为1km,：.AN=20.5km,

V19.5<AT<20.5

故轮船能够正好行至码头MN靠岸.

【知识点】解直角三角形的应用-方向角问题

22.青海新闻网讯：西宁市为加大向国家环境保护模范城市大步迈进的步伐，积极推进城市绿地、主题公园、

休闲场地建设.园林局利用甲种花卉和乙种花卉搭配成A、B两种园艺造型摆放在夏都大道两侧.搭配

数量如下表所示：

甲种花卉（盆）乙种花卉（盆）

A种园艺造型（个）80盆40盆

B种园艺造型（个）50盆90盆

（1）已知搭配一个A种园艺造型和一个B种园艺造型共需500元.若园林局搭配A种园艺造型32个,

B种园艺造型18个共投入11800元.则4、B两种园艺造型的单价分别是多少元？

（2）如果搭配A、B两种园艺造型共50个，某校学生课外小组承接了搭配方案的设计，其中甲种花卉

不超过3490盆，乙种花卉不超过2950盆，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮忙设计出来.

【分析】(1)先设A种园艺造型单价为x元，B种园艺造型单价为y元，根据搭配一个A种园艺造型和一

个B种园艺造型共需500元，园林局搭配4种园艺造型32个，B种园艺造型18个共投入1180()

元，列出方程组，求出x,y的值即可；

(2)设搭配4种园艺造型a个，搭配B种园艺造型(50-a)个，根据甲种花卉不超过3490

盆，乙种花卉不超过2950盆，列出不等式组，求出a的取值范围，即可得出符合题意的搭配方

案.

【解答】解：(1)设A种园艺造型单价为x元，8种园艺造型单价为y元，根据题意得：

/x+y=500

l32x+18y=11800)

解此方程组得：卜=200,

ly=300

答：A种园艺造型单价是200元，8种园艺造型单价是300元.

(2)设搭配A种园艺造型a个，搭配3种园艺造型(50-«)个，根据题意得：

[80a+50(50-a)<349C

l40a+90(50-a)<295C，

解此不等式组得：31WaW33,

是整数，

.•.符合题意的搭配方案有3种，如下：

A种园艺造型(个)3种园艺造型(个)

方案13119

方案23218

方案33317

【知识点】一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用

23.为了解龙华区某校七年级学生对A《最强大脑》、B《朗读者》、C《中国诗词大会》、D《极限挑战》四个

电视节目的喜爱情况，随机抽取了机位学生进行调查统计(要求每位学生选出并且只能选一个自己最喜

爱的节目).并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图.

图1图2

根据统计图提供的信息，回答下列问题:

（1）m—,n—____.

（2）在图1中，喜爱《极限挑战》节目所对应的扇形的圆心角度数是一度；

（3）请根据以上信息补全图2的条形统计图；

（4）己知该校七年级共有500位学生，那么他们最喜欢《最强大脑》这个节目的学生约有一人.

【答案】【第1空】50

【第2空】30

【第3空】36

【第4空】100

【分析】（1）从两个统计图中可知，力组的人数为5人，占调查人数的10%,可求出调查人数即的值,

C组15人占调查人数50人的30%,因此〃的值为30；

（2）用360°乘以喜爱《极限挑战》节目的人数所占的百分比即可；

（3）用总人数乘以8组所占的百分比求出B组的人数，即可补全条形统计图；

（4）用总人数乘以最喜欢《最强大脑》这个节目的学生所占的百分比即可得出答案.

【解答】解：（1）（1）/n=54-10%=50（人），

«%=154-50=30%,即”=30,

故答案为：50,30：

（2）喜爱《极限挑战》节目所对应的扇形的圆心角度数是：360°X10%=36°,

故答案为：36.

（4）500X（1-30%-40%-10%）=100（人），

答：他们最喜欢《最强大脑》这个节目的学生约有100人.

故答案为：100.

【知识点】用样本估计总体、条形统计图、扇形统计图

24.如图，AC是Rt^OAB斜边上的高，到点O的距离等于OA的所有点组成的图形记为G,图形G与OB

交于点£＞，连接AD

(1)依题意补全图形，并求证：AO平分NBAC；

o

(2)如果0C=6,tanB=—,求80的长.

4

【分析】(1)图形G就是圆0,根据等角的余角可得结论：

(2)根据三角函数的定义设AC=3x,BC=4x,则A8=5x,得。A=盘，根据勾股定理列方

4

程可得X的值，由线段的和与差可得BD的长.

【解答】(1)证明：如图，；/。48=90",

：.ZOAD+ZDAB=90Q,

'：AC是RtAOAB斜边上的高，

：.ACLOB,

：.ZACD=/£>AC+NAQO=90°,

•.•图形G是圆0,

：.OA=OD,

：.ZOAD^ZADO,

：.ZDAB^ZDAC,

...AO平分/BAC；

Q

(2)解：VtanB=—.

4

•QAAC_3

AB"BC-T

设AC=3x,8c=4x,则A8=5x,

RtZ\40C中，：0C=6,

62+(3x)2=(率)2,

解得：x=±±生,

9

VA>0,

._24

：.BD=OC+BC-OD=6+4X94---15X24-=—20.

9493

【知识点】圆的认识、解直角三角形

25.如图，以△ABC的边AB为直径的。。交AC边于点。，且过点。的的切线OE平分8C边，交BC

于E.

（1）求证：3c是。0的切线.

（2）当△A8C满足什么条件时，以点0、B、E、。为顶点的四边形是正方形？

【分析】（1）要证BC是。。的切线，就要证OBLBC,只要证NO8E=90°即可，首先作辅助线，连接

OD、OE,由已知得OE为△48C的中位线，OE//AC,从而证得△OOE四△OBE,推出NODE=

NOBE,又。E是。。的切线，所以得NO8E=90°,BPOB1.BC,得证.

（2）由题意使四边形。8匹是正方形，即得到OD=BE,又由已知8E=CE,BC=2BE,AB

=200,所以AB=BC,即△ABC为等腰三角形（A8=8C）.再通过△A2C为等腰三角形（A8

=BC）论证以点。、B、E、。为顶点的四边形是正方形.

【解答】解：（1）连接0。、OE,

••,0为48的中点，E为BC的中点，

：.0E为△ABC的中位线，

：.OE//AC（三角形中位线性质），

.,.ZDOE^ZODA,（平行线性质），

,JOA^OD

：.ZA^ZODA

:.ND0E=NB0E（等量代换）

"：OD=OB,0E=0E

."./XODE^AOBE（SAS）

：.Z0DE=ZOBE

是。。的切线

:.NODE=NOBE=90"

：.OBLBC

，8。是0。的切线.

(2)当为等腰三角形(4B=8C)时四边形08£>E是正方形，证明如下:

连接BD,

是。。的直径，

：.BD±AC(直径所对的圆周角为直角)，

'：AB=BC,

为AC的中点(等腰三角形的性质)，

为8c的中点，

为△ABC的中位线，

J.DE//AB,

为0。的切线，

：.ODA.DE,

：.OD±AB,

：.ZDOB=ZOBE=ZODE=90°,

'：OD=OB,

，四边形。8£。为正方形.

【知识点】正方形的判定、圆周角定理、切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质

26.如图，已知点A(2,4)、B(4,a)都在反比例函数y=K的图象上.

X

(1)求攵和〃的值；

(2)以A8为一边在第一象限内作目A8C。，若点。的横坐标为8,且图A3CD的面积为10,求点。的坐

标.

【分析】(1)把点A坐标代入反比例函数y=K求得%的值，将点8坐标代入反比例函数的解析式求出a的

x

值即可；

(2)由题意得点D的横坐标为6,设。(6,"?),连接BD,过A作EF//y轴，作DE±EF,

BFLEF,则E(2,加，F(2,2),由SHUSEFB-SADEA-SAAFB=SA"/)得出方程，解方程即可.

【解答】解：(1);•点A(2,4)在反比例函数y=K的图象上，

X

•»=2X4=8,

:B(4,a)在反比例函数y=g的图象上，

(2)VA(2,4),8(4,2),点C的横坐标为8,

.,.点。的横坐标为6,

设。(6,加，

连接8D,过A作EF〃y轴，作。EJ_£F,BFLEF,如图所示：

则E(2,次)，F(2,2),

•・・囿488的面积为10,

S^ABD~~^10—5,

♦：S棉的DEFB-SADEA-SAAFB=SAARD，或S梯形QEFA+SADEA-SAAFB=S/\ABD，

：.—(2+4)(m-2)--X4X(MJ-4)-—X2X2=5,或工(2+4)(m-2)+—X4X(4-

22222

m)--2X2=5,

2

解得:m=59

・,•点。的坐标为：(6,5).

y八

ox

【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、反比例函数系数k的几何意义

27.如图，A、3两点的坐标分别是（8,0）、（0,6）,点尸由点3出发沿5A方向向点A作匀速直线运动，

速度为每秒3个单位长度，点。由A出发沿AO（。为坐标原点）方向向点。作匀速直线运动，速度为

每秒2个单位长度，连接P。，若设运动时间为f秒尊）.解答如下问题：

（1）当「为何值时，PQ//BO2

（2）设△AQP的面积为S,

①求S与，之间的函数关系式，并求出S的最大值；

②若我们规定：点PQ的坐标分别为（XI，力）,（X2,以），则新坐标（X2-X1，J2-V）称为“向量尸。”

的坐标.当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标.

【分析】（1）如图①所示，当PQ〃80时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式管=需，求出

，的值；

（2）①求S关系式的要点是求得△AQF的高，如图②所示，过点P作过点P作2。1_龙轴于点

。，构造平行线由线段比例关系绊=弊求得从而S可求出，S与/之间的函

AB0B

数关系式是一个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出5的最大值；

②本问关键是求出点P、。的坐标.当S取最大值时，可推出此时尸。为△OAB的中位线，从

而可求出点P的纵横坐标，又易求。点坐标，从而求得点尸、Q的坐标；求得尸、。的坐标之

后，代入“向量尸Q”坐标的定义（&-幻，”-»），即可求解.

【解答】解：（1）8两点的坐标分别是（8,0）、（0,6）,则08=6,。4=8,

/Mfl=VoB2-K）A2=V62+82=,°-

如图①，当PQ〃8O时，4Q=2f,BP=3t,则AP=10-3f.

\'PQ//BO,

,研_AQ^I，J10-3t_2t

**AB而，'10T

解得/=*，

...当/=曾秒时，PQ//BO.

（2）由（1）知：04=8,08=6,48=10.

①如图②所示，过点P作POLx轴于点。，贝I］尸。〃8。,

•AP=PD即陪得解得吁6号.

"AB-OB

11QQQC

S=—AQ^PD=—*2t<6-—r）=6/-—t2=2+5,

225553

••.S与f之间的函数关系式为：S=-N（L与）2+5（0<f<¥）,

534

当/=_1秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）.

②如图②所示，当