河北省滦州市2023年高三第一次模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量£=（i,o）,B则与共线的单位向量为（）

2.设全集U=R,集合M={x|x2Wx},N={X|2'V1},则()

A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.

22

3.已知抛物线y=20x的焦点与双曲线:一马=1（。＞0力＞0）的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的

a"b'

9

线段长为一，那么该双曲线的离心率为（）

2

4.已知小乃是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且归图＞俨用，椭圆的离心率为e一双曲线

的离心率为02,若|尸用=|月用，则：+年的最小值为（）

A.6+273B.6+2&C.8D.6

J2

5.已知斜率为-2的直线与双曲线C:2■—v%■=1（。＞0,6＞0）交于A8两点，若为线段AB中点且

4

kOM=-（。为坐标原点），则双曲线C的离心率为（）

A.石B.3C.GD.

4

6.已知F为抛物线丁=41的焦点，点A在抛物线上，且|从目=5,过点/的动直线/与抛物线民。交于两点，。为

坐标原点，抛物线的准线与X轴的交点为M.给出下列四个命题：

①在抛物线上满足条件的点A仅有一个；

②若P是抛物线准线上一动点，贝!||~4|+归0|的最小值为2万；

③无论过点F的直线/在什么位置，总有AOMB=NOMC；

④若点。在抛物线准线上的射影为。，则三点B、O、。在同一条直线上.

其中所有正确命题的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

7.已知直线4：x=my（加。0）与抛物线C：交于。（坐标原点），A两点，直线4：%=/取+〃?与抛

物线。交于3,。两点.若|8。|=3|。4|,则实数，"的值为（）

22

8.已知双曲线会—斗=1（。>00>0）的左、右焦点分别为耳，心,过鸟作一条直线与双曲线右支交于A,8两点,

坐标原点为。，若="+/,忸用=5。，则该双曲线的离心率为（）

A汨n加

A.---RB.-V-1-0C„.-V-1-5D.---

2233

9.某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001,002,

599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行:

32211831297864540732524206443812234356773578905642

84421253313157860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）

A.324B.522C.535D.578

10.设S“为等差数列｛q｝的前〃项和，若q=-3,$7=-7,则S”的最小值为（）

A.-12B.-15C.-16D.-18

11.已知机，〃是两条不重合的直线，a一是两个不重合的平面，下列命题正确的是（）

A.若加||a,m\\fi,n//a,n//(3,则a||广

B.若m//n,m^a,nL/3,则a||尸

C.若加_L〃，mua,nu/3,则a_L£

D.若m_L〃，m\\a,nL(3,则a_L/?

12.等差数列｛4,｝的前八项和为S“，若q=3,S$=35,则数列｛4｝的公差为（）

A.-2B.2C.4D.7

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）如图是一个算法的流程图，若输出y的值是5,则输入X的值为

14.曲线/（x）=4x--在点（0,/（0））处的切线方程为.

15.运行下面的算法伪代码，输出的结果为S=.

s。-...................;

\FortFrom1To10Step1;

EndFor

Prim3

_x〉2

16.已知函数f（x）=｛x'-'若关于x的方程f（x）=kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是.

（L1）3,0VXV2,

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

%=cose

17.（12分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为l一，"（。为参数）.以原点为极点，x轴的非负半轴

y=1+sin，

为极轴，建立极坐标系.

（1）求曲线C的极坐标方程;

x=]+/cose

（2）直线/：〈一,八（t为参数）与曲线c交于A,5两点，求IA8I最大时，直线/的直角坐标方程.

y=，sin〃

18.（12分）已知函数/（x）=2|x—2|-〃?（加＞0）,若/（x+2）＜0的解集为（一2,2）.

（1）求加的值;

1119

（2）若正实数。，b,c满足a+2Z?+3c=m,求证：一+—+—>—.

a2b3c4

19.（12分）已知函数/（x）=lnx-xe"+QX（Q£H）.

（1）若函数/0）在［1,H）上单调递减，求实数。的取值范围；

（2）若。=1,求/（幻的最大值.

22

20.（12分）已知椭圆C:「+5=l（a>b>0）的左，右焦点分别为6,工，直线/：y="+加与椭圆C相交于p,。

a~b~

两点；当直线/经过椭圆C的下顶点A和右焦点用时，△耳PQ的周长为4近，且/与椭圆。的另一个交点的横坐标

日

（1）求椭圆C的方程；

（2）点”为△POQ内一点，。为坐标原点，满足和+而+质=0,若点/恰好在圆0：/+丁2=1上，求

实数机的取值范围.

x=2夜+2/

21.（12分）在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为《广。为参数），以。为极点，x轴的正半轴为极

y=J2T

轴建立极坐标系，曲线q的极坐标方程为夕=2sin8.

（1）求/的普通方程和G的直角坐标方程；

（2）把曲线G向下平移1个单位，然后各点横坐标变为原来的2倍得到曲线（纵坐标不变），设点尸是曲线上

的一个动点，求它到直线/的距离的最小值.

22.（10分）如图，直角三角形板）所在的平面与半圆弧BD所在平面相交于BD,AB=BD=2,E,F分别为AD,BD

的中点，。是80上异于8,0的点，fC=V2.

（1）证明:平面CEF_L平面BCD;

（2）若点C为半圆弧80上的一个三等分点（靠近点。）求二面角A-CE—B的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

根据题意得，23-设与垢-石共线的单位向量为（x,y）,利用向量共线和单位向量模为1,列式求出X，）'即

可得出答案.

【详解】

因为a=（1,0）,b=（1,>/3）»则25=（2,0）,

所以2力=0,用，

设与2a-b共线的单位向量为（X,）1），

-y/3x-y=0

则《

x2+y2=1

11

x=­x=——

22

解得《

73或

"一Ty=T

fi出、（i/7A

所以与名-否共线的单位向量为或-］，彳.

I'/k）

故选：D.

【点睛】

本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.

2.A

【解析】

求出集合M和集合N,,利用集合交集补集的定义进行计算即可.

【详解】

M={x|f<x}={x|OWxWl},N={x[2*<l}={x|xV0},

Q/N={x|xNO},

则MndN={x|OWxWl}=[O,l],

故选：A.

【点睛】

本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题.

3.A

【解析】

22

由抛物线V=20x的焦点(5,0)得双曲线3-标=1(。>0力>0)的焦点(±5,0),求出c=5,由抛物线准线方程

92b°9

x=—5被曲线截得的线段长为一，由焦半径公式丝=2,联立求解.

2a2

【详解】

解：由抛物线产=20%，可得2P=20,贝！]p=10,故其准线方程为％=-5,

22

••・抛物线y2=20x的准线过双曲线「_卓=1(。>0,/,>())的左焦点，

二.c=5.

9

・・・抛物线V=20x的准线被双曲线截得的线段长为],

2h29

又。2=25="+/，

a2

/.Q=4,Q3,

c5

则双曲线的离心率为e=2=；.

a4

故选：A.

【点睛】

本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率.弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.

4.C

【解析】

3e,

由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简一+=,结合基本不等式即可求解.

【详解】

设椭圆的长半轴长为“，双曲线的半实轴长为a',半焦距为c,

则q=£,e2=—,设|P闾=机

aa

由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：

\PF}\+\PF2\^2a=>a^^+c,\PF2\-\PF^2a'a'^--c

>6+2lJ--7^-_7”=8

7

当且仅当。=-c时，取等号.

3

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.

5.B

【解析】

设4（%,乂）,8（尤2，%），代入双曲线方程相减可得到直线A8的斜率与中点坐标之间的关系，从而得到的等式，求

出离心率.

【详解】

k-A--4

’22

设4（芯,弘）,8（无2，%），贝『“2b，，

三—2£=1

[a2b2

两式相减得&+无孕f)-(乂+”)?「也=0,

ab~

.k_从(百+々)(C_2O.Il.o

一二一西一了「封一2••7=8,..e=W/3.

故选：B.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，解题方法是点差法，即出现双曲线的弦中点坐标时，可设弦两端点坐标代入双曲线方程

相减后得出弦所在直线斜率与中点坐标之间的关系.

6.C

【解析】

①：由抛物线的定义可知|A斤|=。+1=5,从而可求A的坐标；②：做A关于准线％=-1的对称点为A',通过分析

可知当A',P,。三点共线时1PAi+|P0|取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值|4。|；③：设出直线/方程,

联立直线与抛物线方程，结合韦达定理,可知焦点坐标的关系，进而可求左MB+&MC=0，从而可判断出NOMB/OMC

的关系；④：计算直线ODOB的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点3、O、。在同一条直线上.

【详解】

解：对于①，设A(a,b),由抛物线的方程得打1,0),贝!||A同=a+l=5,故a=4,

所以4(4,4)或(4,T),所以满足条件的点A有二个，故①不正确；

对于②，不妨设4(4,4),则A关于准线x=—l的对称点为4(-6,4),

^.\PA\+\OP\=\PA'\+\OP\>\A'O\=y[52=2y[i3,

当且仅当A；尸，。三点共线时等号成立，故②正确；

对于③，由题意知，M(—1,0),且/的斜率不为0,则设/方程为：x=,取+1(加工0),

设I与抛物线的交点坐标为B(x[,y),。(%,％)，联立直线与抛物线的方程为，

x=my+1_

,2x，整理得y-4加丁-4=0,则X+%=4乂%=-4,所以

y=4x

22

%]+=4m2+2,x1x2=(myj+1)(tny2+1)=-4m+4m+1=1

Uj.,L+K=y+%=)[(>+1)+*(王+1)=2%+2y2+2/孙为

"出”,%1+1X2+1(%j+1)(X2+1)Xj+X2+X1X2+1

,x4m-Qm*4

=•—f=0.故MB,A/C的倾斜角互补,所以NOMB=NOMC,故③正确.

Am-+2+1+1

对于④，由题意知。（T,%），由③知，X+必=4加,X%=T

则上。8==_%，由％8—攵。》=—+了2=廿）12=0,

知即三点&O、。在同一条直线上，故④正确・

故选:C.

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的

斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值.

7.D

【解析】

设8（F，X）,。（±,%），联立直线与抛物线方程，消去工、列出韦达定理，再由直线％=〃少与抛物线的交点求出A

点坐标，最后根据得到方程，即可求出参数的值；

【详解】

解：设8（X1,yJ,。（肛力），由〈2；，得y一一4机>一4/〃=0,

[y=4x

VA=16/n2+16/M>0»解得机<一1或/%>0,•••%+>2=4加，乂必=一4/".

又由,得y2-4/ny=0,y=0或y=4m,二

y=4x、/

•：\BD\=3\OA\,

（1+m2）（乂一>2y=9（16H?+16机2）,

又,••（必-%）2=（*+%）?-4yly2=16加2+16%

二代入解得加=：.

8

故选：D

【点睛】

本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.

8.B

【解析】

由题可知|OA|=c=g《司，鸟=90。，再结合双曲线第一定义，可得|A4|=|Ag|+2a,对放有

的『+区康=|附之，

即(|A用+24+(k周+3力=(5。『，解得|A周=m再对Rt"耳心，由勾股定理可得/+(3力=(2靖，化简

即可求解

【详解】

如图，因为忸周=5%所以怛用=5a—2a=3a.因为|Q4|=c=(年用所以〃48=90。.

在/?必然8中，,瑞+,8『=|明『，即(卜用+2“+(|A用+3a『=(5a)2,

得用=a,贝!!|A司=a+2a=3a.在RtA4[E中，由/+(3°了=(2<?)2得6=£=义^.

【点睛】

本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题

9.D

【解析】

因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的,

重复出现的舍去，直至得到第六个编号.

【详解】

从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为：

436,535,577,348,522,535,578,324,577,…，因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为

436,535,577,348,522,578,324,…，故第6个数据为578.选D.

【点睛】

本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.

10.C

【解析】

根据已知条件求得等差数列｛4｝的通项公式，判断出s“最小时〃的值，由此求得s“的最小值.

【详解】

ci,+2d——39

依题意r，解得q=-7,4=2,所以a“=2〃—9.由4=2〃—9<0解得〃所以前〃项和中，前

7a,+2la=-/2

4项的和最小，且S4=46+6"=-28+12=-16.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查等差数列通项公式和前〃项和公式的基本量计算，考查等差数列前〃项和最值的求法，属于基础题.

11.B

【解析】

根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果.

【详解】

A选项，若加||。，m\\/3,n//a,n///3,则c||尸或a与夕相交；故A错；

B选项，若加〃“，,则〃_La,又〃_L尸，夕是两个不重合的平面，则夕||夕，故B正确；

C选项，若加_1_〃，根ua,则〃ua或〃〃a或〃与a相交，又〃u尸，a,〃是两个不重合的平面，则二||/或a

与夕相交；故C错；

D选项，若m\\a,则"ua或〃〃&或〃与a相交，又〃，尸，a,£是两个不重合的平面，则二||/或a与

夕相交；故D错；

故选B

【点睛】

本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型.

12.B

【解析】

在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得。3,再由等差数列通项公式求得公差.

【详解】

在等差数列｛%｝的前〃项和为S“，则S5=5"%)=5a3=35n%=7

则/=q+2d=3+2d=7=>d=2

故选：B

【点睛】

本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.0或2

【解析】

依题意，当xWl时，由5=y=2'+4,即2'=1，解得工=0;当x>l时，由5=y=/+i,解得x=2或x=—2(舍

去).综上，得尤=0或2.

14.3%一丁一1=0

【解析】

求导，得到./(。)和/(0)，利用点斜式即可求得结果.

【详解】

由于f(0)=T，f'(x)=4-ex,所以/(o)=4-1=3,

由点斜式可得切线方程为3x-y-l=0.

故答案为：3x-y-l=0.

【点睛】

本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属基础题.

10

15.

11

【解析】

模拟程序的运行过程知该程序运行后计算并输出S的值，用裂项相消法求和即可.

【详解】

模拟程序的运行过程知，该程序运行后执行:

s„+

1x22x33x410x11

10

-T7,

故答案为:号

【点睛】

本题考查算法语句中的循环语句和裂项相消法求和;掌握循环体执行的次数是求解本题的关键;属于基础题.

16.0

【解析】

由图可知，当直线y=kx在直线OA与x轴(不含它们)之间时，y=kx与y=f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两

个不相同的实根.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1).一2sin£=0；(2)x+y-l=0.

【解析】

(1)利用cos2，+cos26=l消去参数得到曲线C的普通方程，再将x=pcos。，y=psin。代入普通方程，即

可求出结论；

(2)由(1)得曲线C表示圆，直线曲线C交于A,8两点，|A31最大值为圆的直径，直线/过圆心，即可求出直线

/的方程.

【详解】

X-cos0

(1)由曲线C的参数方程,.八(。为参数)，

y=l+sin〃

可得曲线C的普通方程为1+()，一1尸=1,

因为x=pcos0.y=psin^,

所以曲线C的极坐标方程为(0cose)2+(psine-1)2=1,

即p-2sin^=0.

X=l+tCOS0

(2)因为直线/：<.八(，为参数)表示的是过点(1,0)的直线，

曲线C的普通方程为f+(y—1)2=],

所以当IABI最大时，直线/经过圆心(0,1).

，直线/的斜率为一1,方程为y=-x+i,

所以直线/的直角坐标方程为x+y-1=0.

【点睛】

本题考查参数方程与普通方程互化、直角坐标方程与极坐标方程互化、直线与曲线的位置关系，考查化归和转化思想,

属于中档题.

18.(1)m=4；(2)证明见详解.

【解析】

(D将不等式/(x+2)<()的解集用〃z表示出来，结合题中的解集，求出，〃的值；

(2)利用柯西不等式证明.

【详解】

777

解：(1)/(x+2)=2|x|-m<0,|x|<-,

mm

---<X<——9

22

因为“x+2)<0的解集为(―2,2),所以g=2,

/."2=4;

(2)由(1)a+2/?+3c=4

由柯西不等式('+'-+-1)3+28+332(1+1+1>=9,

a2b3c

111、9

"a2b3c-4

424

当且仅当a=§,b=~,c=g,等号成立.

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的解法，利用柯西不等式证明不等式的问题，属于中档题.

19.(1)1(2)/^(.^)max=-1

【解析】

(1)根据单调递减可知导函数恒小于等于0,采用参变分离的方法分离出“，并将X的部分构造成新函数g(x),分

析“与g(X)最值之间的关系；

(2)通过对/(X)的导函数y,(x)分析,确定/(X)有唯一零点X。，则X。就是/(X)的极大值点也是最大值点，计算/(X。)

的值并利用/'(%)=0进行化简，从而确定fWmm.

【详解】

(1)由题意知，f'(x)=^--(ex+xex}+a=2—(x+l)e*+aW0在工+»)上恒成立，所以a«(x+l)e'-！在

Xx'XX

[1,+8)上恒成立.

令gO)=(x+l)eA则g'(x)=(x+2)e*+4>0,

XX

所以g(x)在[1,4W)上单调递增，所以g(X)min=g⑴=2e-1,

所以a工2e—1.

(2)当〃=1时，/(%)=Inx-xex+x(x>0).

则f(x)=：-(x+l)e*+1=(尤+1)

令〃2(x)=L-e",贝!|/n(x)=--\-ex<0,

xx

所以皿X)在(0,+8)上单调递减.

/\X1

由于切不>0,m(l)<0,所以存在%>0满足〃2(%)=0,即6。=一.

\2y玉)

当刀€(0,%)时，m(x)>0,f'(x)>0；当xe(xo，+oo)时，m(x)<0,/,(x)<0.

所以fM在(0,%)上单调递增，在(天,包)上单调递减.

所以/(x)3=/(%)=In%-不井+题,

因为所以x()=-lnxo，所以/(/"fQ-l+Xo=-1，

冗0

所以/(0皿=T・

【点睛】

(1)求函数中字母的范围时，常用的方法有两种：参变分离法、分类讨论法；

(2)当导函数不易求零点时，需要将导函数中某些部分拿出作单独分析，以便先确定导函数的单调性从而确定导函数

的零点所在区间，再分析整个函数的单调性，最后确定出函数的最值.

2

20.(1)—+y2=1；(2)，〃>1或/“<一1

2

【解析】

(1)由椭圆的定义可知，焦点三角形的周长为44=4&，从而求出a=J5.写出直线的方程，与椭圆方程联立,

4

根据交点横坐标为求出。和尸,从而写出椭圆的方程；

(2)设出尸、。两点坐标，由砺+碗+液=0可知点M为△POQ的重心，根据重心坐标公式可将点M用产、

。两点坐标来表示.由点M在圆。上，知点M的坐标满足圆。的方程，得(*)式.P,Q为直线/与椭圆C的两个交点,

用韦达定理表示将其代入方程(*),再利用/>0求得攵的范围，最终求出实数的取值范围.

【详解】

解：(1)由题意知4。=4夜.

a=>/?.，

直线AF,的方程为y=2(x—c)

C

4

•••直线A工与椭圆C的另一个交点的横坐标为-

3

解得c=1或c=2(舍去)

椭圆。的方程为1+丁=1

⑵设尸(和y),Q(孙必)

•.•标+加+破=0.

.•.点"为△POQ的重心,

%+々y+%

33

0o4

••,点”在圆。：x2+y2=-±,

22

.,■(xl+x2)+(yl+y2)=4(*)

y=kx-vm

2

由＜x2得(1+2左+4。噂+2m之一2=0

.万+y=1

4km2m2-2

"+"一"

代入方程（*）,得

/、2/、2/4km”「，/4km、八位、

（玉+%）一+（乂+%）=（-j^T）+伙（-77^）+2加「=4,

160+&2快2/16公他2

即+4/n2-4

(1+2//1+2/

由d>0得1+2公>加2

:.l+2k2>,

4二+1

解得kwO.

5=监3=i+1=i+/x>i

k2k2

【点睛】

本题考查了椭圆的焦点三角形的周长，标准方程的求解,直线与椭圆的位置关系，其中重心坐标公式、韦达定理的应

用是关键.考查了学生的运算能力，属于较难的题.

2x/10

21.(1)/:x+2y-4啦=0,C:x2+(y-l)2=1；(2)

5

【解析】

（1）在直线/的参数方程中消去参数/可得出直线/的普通方程，在曲线G的极坐标方程两边同时乘以「得

"=20sine,进而可化简得出曲线G的直角坐标方程:

(2)根据变换得出G的普通方程为、+丁=1,可设点p的坐标为(2cos8,sine),利用点到直线的距离公式结合

正弦函数的有界性可得出结果.

【详解】

x2\/2+2/x-2\/2I—

(1)由《厂Q为参数)，得——'=一2,化简得x+2y-4夜=0,

y=yJ2-ty-12

故直线/的普通方程为x+2y-4血=0.

由/?=2sin6,得0?=2夕sin。，Xp2=x2+y2,x=pcQsO,y=°sin。.

所以G的直角坐标方程为一+(y-=1；

(2)由(1)得曲线G的直角坐标方程为V+(y-lf=l,向下平移1个单位得到/+y2=],

纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线C2的方程为?+/=1,

x=2cos6

所以曲线G