2024年新高中考试数学解答题模拟训练-导数（答案版）

【基础训练】专题06导数1．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数，为的导数.(1)证明：当时，；(2)设，证明：有且仅有2个零点.【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析【分析】（1）令，利用导数判断的单调性，并求出其最小值即可证明；（2）由（1）可知，在上单调递增，利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点，通过构造函数即可证明在上单调递减，同理利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点，即可得证.【详解】（1）由，设，则，当时，设，，∵，，∴和在上单调递增，∴，，∴当时，，，则，∴函数在上单调递增，∴，即当时，;（2）由已知得，①当时，∵，∴在上单调递增，又∵，，∴由零点存在性定理可知在上仅有一个零点，②当时，设，则，∴在上单调递减，∴，∴，∴，∴在上单调递减，又∵，，∴由零点存在性定理可知在上仅有一个零点，综上所述，有且仅有2个零点.2．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数，是其导函数，其中．(1)若在上单调递减，求a的取值范围；(2)若不等式对恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出导函数，根据在上单调递减，可得在上恒成立，分类参数可得在上恒成立，令，利用导数求出函数的最大值即可得解；（2）将已知不等式转化为对恒成立，令，在对分类讨论，求出的最大值小于等于0，即可求出答案.【详解】（1）解：，因为在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以，所以a的取值范围为；（2）解：由得，即对恒成立，令，，当时，，不满足；当时，时，，时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，不符合题意；当时，时，，时，，所以函数在上递增，在上递减，所以，解得，综上所述，a的取值范围.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，考查了学生的计算能力.3．（2023春·天津·高二天津市宁河区芦台第一中学校联考期末）已知函数.(1)若是的极值点，求的值；(2)求函数的单调区间；(3)若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围.【答案】(1)1(2)答案见解析(3).【分析】（1）由题意，求导得，然后根据，即可得到结果；（2）由题意，求导得，然后分与两种情况讨论，即可得到结果；（3）由题意，构造函数，将函数零点问题转化为两个图像交点问题，结合图像即可得到结果.【详解】（1）因为则，即，所以，经检验符合题意（2），则.当时，，在上单调递增；当时，由，得，若，则；若，则.当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述，当时，函数的增区间为；当时，函数的增区间为，减区间为.（3）当时，由可得，令，其中，则直线与函数在上的图像有两个交点，，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减.所以，函数的极大值为，且，，如下图所示：由图可知，当时，直线与函数在上的图像有两个交点，因此，实数的取值范围是.4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求曲线在点处的切线的方程；(2)若函数在处取得极大值，求的取值范围；(3)若函数存在最小值，直接写出的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求导后求出切线的斜率，然后求出直线上该点的坐标即可写出直线方程；（2）根据函数的单调性和最值分类讨论；（3）分情况讨论，根据函数的单调性和极限求解.【详解】（1）解：由题意得：，故曲线在点处的切线的方程.（2）由（1）得要使得在处取得极大值，在时应该，在时应该，故①且，解得②且，解得当时，，满足题意；当时，，不满足题意；综上：的取值范围为.（3）可以分三种情况讨论：①②③若，在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，无最小值；若时，当时，趋向时，趋向于0；当，要使函数取得存在最小值，解得，故处取得最小值,故的取值范围.若时，在趋向时，趋向于0，又故无最小值；综上所述函数存在最小值，的取值范围.5．（2023春·黑龙江·高二富锦市第一中学校考阶段练习）已知函数.(1)讨论的极值点的个数；(2)若函数有两个极值点，证明：.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）的极值点的个数等价于的解的个数，分离参数得，构造函数，求导分析，作出其图象，数形结合可得的极值点的个数；（2）由（1）可知，设，则，由得，取对数得，同理，进一步分析可得.最后利用分析法与换元法，将问题转化证明，即可.【详解】（1）解：由题意得，，即，故令，所以函数的极值点的个数的等价于与的交点个数.，得；得；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，所以的大致图象如图：由图可得，当时，恒成立，函数单调递增，极值点的个数为0；当时，与的交点个数有两个，分别设为且，当时，，时，，故函数有两个极值点；当时，与的交点个数有两个，不妨设为，则当，，当时，，故函数有1个极值点.（2）证明：因为函数f（x）有两个极值点，由（1）可知设，则，显然，所以，由极值点的概念知，，故，所以，同理，两式相减得，即.另一方面，要证，只需证，即因为，所以，故上式可化为，即令，则，上式即为，.令，则，故为减函数，所以，即，原命题得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点，利用导数证明不等式；考查分类讨论思想，运算求解能力，是难题.本题第二问解题的关键在于借助第一问的结论得，进而根据极值点的导数值为0等价转换得，进而将问题转化为，再结合换元法证明，即可.6．（2023·陕西西安·交大附中校考模拟预测）已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)若函数恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为，，求证：.【答案】(1)单调递增区间为、，递减区间为；(2)证明过程见解析.【分析】（1）利用函数的导数性质进行求解即可；（2）根据极值的定义，结合导数的性质进行证明即可.【详解】（1）当时，，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数的单调递增区间为、，递减区间为；（2），因为函数恰有两个极值点，所以方程有两个不相等的实根，设为且，因为函数当时图象关于直线对称，所以，即，因为，所以，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，所以分别是函数的极大值点和极小值点，即，，于是有，因为，所以，所以，而，所以设，，，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最小值，即，因此有，即.【点睛】关键点睛：根据极值的定义，构造新函数，利用导数研究新函数的单调性是解题的关键.7．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知函数，．(1)求函数的极值点；(2)若恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)是的极大值点，无极小值点(2)【分析】（1）首先利用导数判断函数的单调区间，再确定函数的极值点；（2）解法一，首先构造函数，，再根据函数的导数，判断函数的最大值，即可求解；解法二，首先证明，即可得，即，不等式恒成立，转化为，即可求解.【详解】（1）由已知可得，函数的定义域为，且，当时，；当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，所以是的极大值点，无极小值点．（2）解法一：设，，则，令，，则对任意恒成立，所以在上单调递减．又，，所以，使得，即，则，即．因此，当时，，即，则单调递增；当时，，即，则单调递减，故，解得，所以当时，恒成立．解法二：令，，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即．因为，所以，当时等号成立，即，当时等号成立，所以的最小值为1．若恒成立，则，所以当时，恒成立．8．（2023春·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）设是函数的一个极值点，曲线在处的切线斜率为8.(1)求的单调区间；(2)若在闭区间上的最大值为10，求的值.【答案】(1)单调递增区间是和，单调递减区间是(2)4【分析】（1）求导后，根据求出，再利用导数可求出单调区间；（2）根据（1）中函数的单调性求出最值，结合已知的最值列式可求出结果.【详解】（1），由已知得，得，解得．于是，由，得或，由，得，可知是函数的极大值点，符合题意，所以的单调递增区间是和，单调递减区间是.（2）由（1）知，因为在区间上是单调递减函数，在上是单调递增函数，又，所以的最大值为，解得.9．（2023春·宁夏银川·高二银川唐徕回民中学校考阶段练习）已知函数，其中．(1)若，求函数的极值；(2)讨论函数的单调性．【答案】(1)不存在极大值；存在极小值，且极小值为；(2)见解析【分析】（1）由导数得出单调性，进而得出极值；（2）求导，讨论和的大小关系，得出函数的单调性．【详解】（1）若，则，，，令，得．当时，；当时，．所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增．不存在极大值；存在极小值，且极小值为．（2），．①若，即，则令，得．当时，；当时，．所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增．②若，即，则令，得或．此时，的单调性如下表所示：x1+00+极大值极小值③若，则当时，，当且仅当时，等号成立．此时，在区间上单调递增．④若，即，则令，得或．此时，的单调性如下表所示：x1+00+极大值极小值综上：时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减；时，在区间上单调递增时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减；【点睛】关键点睛：在判断函数的单调性时，关键在于讨论和的大小关系，利用导函数的正负来判断单调性.10．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角的对边分别为，且，，依次组成等差数列.(1)求的值；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)2(2)【分析】（1）根据，，成等差数列结合三角恒等变换可得，由正弦定理即可求得的值；（2）由（1）得，根据锐角三角形结合余弦定理可得的取值范围，将转化为，令，设根据函数单调性确定函数取值范围，即得的取值范围.【详解】（1）由条件得：，所以，由正弦定理得：，所以.（2）及，则，角一定为锐角，又为锐角三角形，所以由余弦定理得：，所以，即，解得：，又，所以.又，令，则，，所以在上递增，又，，所以的取值范围是.11．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)若，求证：.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）先求导，然后对参数进行分类讨论.（2）利用求导及零点定理及构造法解函数不等式.【详解】（1）因为，所以①若，则，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增②若，则，所以当时，，单调递减，当或时，，单调递增；③若，则，在上单调递增；④若，则，所以当时，，单调递减，当或时，，单调递增.综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增.（2）因为，所以，即，设则，易知在上单调递增因为，所以，所以存在，使得所以，在上单调递减，在上单调递增所以设，则，在上单调递增，所以所以，即.12．（2023春·新疆昌吉·高三校考阶段练习）已知函数，.(1)当时，①求曲线在处的切线方程；②求证：在上有唯一极大值点；(2)若没有零点，求的取值范围.【答案】(1)①；②证明见解析(2)【分析】（1）①利用导数求出切线的斜率，直接求出切线方程；②令，利用导数判断出在上有唯一零点，利用列表法证明出在上有唯一极大值点；（2）令.对a分类讨论：①，得到当时，无零点；②，无零点，符合题意.【详解】（1）若，则，.①在处，，.所以曲线在处的切线方程为.②令，，在区间上，，则在区间上是减函数.又，所以在上有唯一零点.列表得：+-极大值所以在上有唯一极大值点.（2），令，则.①若，则，在上是增函数.因为，，所以恰有一个零点.令，得.代入，得，解得.所以当时，的唯一零点为0，此时无零点，符合题意.②若，此时的定义域为.当时，，在区间上是减函数；当时，，在区间上是增函数.所以.又，由题意，当，即时，无零点，符合题意.综上，的取值范围是.【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围.13．（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考期末）已知函数．(1)若曲线在点处的切线斜率为，求的值；(2)若在上有最大值，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，即可求得实数的值；（2）分、、三种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，利用函数的最值与极值的关系可求得实数的取值范围.【详解】（1）解：函数的定义域为，，由已知可得，解得.（2）解：因为，令.①当时，对任意的，恒成立，则，此时函数在上单调递减，没有最大值；②当时，在上单调递减，则，则，此时函数在上单调递减，没有最大值；③当时，方程的两根分别为，，由可知，列表如下：增极大值减所以函数在处取得最大值，综上所述，实数的取值范围是.14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求证：；(2)若函数无零点，求a的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）求出，讨论其符号后可得函数的单调性，结合原函数的最值可得不等式成立.（2）分三种情况讨论，当时求出，利用导数可得函数最大值，根据无零点建立不等式求解，当时，可得满足无零点.【详解】（1），则当时，，当时，，故在上为增函数，在上减函数，故即.（2），故，当时，在定义域上无零点;当时，，故，所以当时，，当时，，故在上为增函数，在上减函数，因为函数无零点，故，即；当时，因为，所以，即，所以在定义域上无零点.综上，的取值范围是.15．（2023·河北·校联考一模）已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增；(2).【分析】（1）当时，对函数求二阶导可以得到二阶导大于等于零，即，，时，，即可得到答案.（2）根据题意有不等式恒成立．令，则等价于不等式恒成立，①若，不等式（*）显然成立，此时②若时，不等式（*）等价于.求出的最小值即可得到答案.【详解】（1），∵，所以是的一个零点．又令，，则，，时，∴在，单调递减；在单调递增（2）不等式在R上恒成立，即不等式恒成立．令，则等价于不等式恒成立，①若，不等式（*）显然成立，此时②若时，不等式（*）等价于设，当时，，令，则，，∵，∴在上单调递减，在单调递增，∴∴，在单调递增，∴综上所述，满足题意的实数a的取值范围为．16．（2023·青海西宁·统考一模）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)任取两个正数，当时，求证：.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）根据函数解析式求出定义域以及导数，对参数进行讨论，根据导函数的正负取值情况得出函数的单调性；（2）求出，运用分析法将需要证明成立的不等式转化，再利用换元法写出表达式，利用导数研究函数的单调性，进而证明原不等式成立.【详解】（1）.当时，，令，得；令，得.所以在上单调递增，在上单调递减.当，即时，令，得或；令，得.所以在，上单调递增，在上单调递减.当，即时，恒成立，所以在上单调递增.当，即时，令，得或；令，得.所以在，上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；（2）证明：由题意得，.要证，只需证，即证，即证.令，所以只需证在上恒成立，即证在上恒成立.令，则，令，则.所以在上单调递减，即在上单调递减，所以，所以在上单调递增，所以.所以.17．（2023春·福建厦门·高二厦门市湖滨中学校考期中）已知函数.(1)当时，求的单调区间与极值；(2)若在上有解，求实数a的取值范围.【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，无极大值(2)【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可；（2）分和两种情况分析求解，当时，不等式变形为在，上有解，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案．【详解】（1）当时，，所以当时；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时函数有极小值，无极大值.（2）因为在上有解，所以在上有解，当时，不等式成立，此时，当时在上有解，令，则由（1）知时，即，当时；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，所以，综上可知，实数a的取值范围是.【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题或有解问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围．18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若，证明：；(2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：．【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解．【分析】（1）令，利用导数分析其单调性求出最大值即可证明；（2）令，通过求导分析单调性，结合的单调性从而证明结结论．【详解】（1）当时，，定义域为令，则当时，；当时，；所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，所以，得；（2）因为有两个不同的零点，则在定义域内不单调；由当时，在恒成立，则在上单调递减，不符合题意；当时，在上有，在上有，所以在上单调递增，在上单调递减．不妨设令则当时，，则在上单调递增所以故，因为所以，又，则，又在上单调递减，所以，则．19．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．(1)求函数的单调区间；(2)若函数有三个零点，求的取值范围．【答案】(1)递减区间是；递增区间是，(2)【分析】（1）根据题意，列出方程组求得，得到，进而求得函数的单调区间；（2）由题意得到，利用导数求得函数的单调性与极值，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）解：由题意，函数，可得，因为函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值，可得，即，解得，

所以，可得，令，解得或．当变化时，，的变化情况如下：－1＋0－0＋2所以函数的单调递减区间是；单调递增区间是，．（2）解：由函数，，则，函数在处取得极大值，在处取得极小值，要使得有三个零点，则满足，即，解得，所以的取值范围为．20．（2023·江苏·高二专题练习）已知函数（a∈R且a≠0）．(1)讨论函数的单调性；(2)当时，若关于x的方程有两个实数根，且，求证：．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）求出函数的定义域及导数，再分类讨论求解不等式或的解集作答.（2）利用方程根的意义求出的关系等式，再变形换元，构造函数并借助函数单调性推理作答.【详解】（1）函数定义域为，求导得，当时，恒成立，即在上单调递增，当时，当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以当时，的递增区间是，当时，递减区间是，递增区间是.（2）当a＝2时，方程，即为，依题意，，且，两式相减，得，即，则，令，有，，从而得，令，求导得，即函数在上单调递增，，，即，而，因此，恒成立，所以．21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若有两个极值点，且，从下面两个结论中选一个证明．①；②．【答案】(1)的单增区间为；单减区间为，(2)证明见解析【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，即可求解；（2）若选①，不等式转化为证明，变形为证明，通过构造函数，即可证明；若选②，首先根据函数有两个极值点，证得，，再变换为，通过构造函数，利用导数，即可证明.【详解】（1），当时，，令，解得；令，解得或，所以的单增区间为；单减区间为，．（2）证明①：由题意知，是的两根，则，，将代入得，，要证明，只需证明，即，因为，所以，只需证明，令，则，只需证明，即，令，，所以在上单调递减，可得，所以，综上可知，．证明②：设，因为有两个极值点，所以，解得，因为，所以，，由题意可知，可得代入得，，令，，当，所以在上单调递减，当，所以在上单调速增，因为，所以，由，可得，所以，所以，所以，即．22．（2023·天津河北·统考一模）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值.【答案】(1)；(2)递减区间是，递增区间是；(3)3.【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答.（2）利用导数求出的单调区间作答.（3）等价变形给定的不等式，构造函数，利用导数求出函数的最小值情况作答.【详解】（1）函数，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程是.（2）函数的定义域是，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以函数的递减区间是，递增区间是.（3），，令，求导得，由（2）知，在上单调递增，，，因此存在唯一，使得，即，当时，，即，当时，，即，因此函数在上单调递减，在上单调递增，于是，则，所以整数的最大值是3.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.23．（2023·北京·高三专题练习）已知函数，其中，为的导函数.(1)当，求在点处的切线方程；(2)设函数，且恒成立.①求的取值范围；②设函数的零点为，的极小值点为，求证：.【答案】(1)(2)①;②详见解析【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解.（2）①先对函数求导，得到，推出，求导，得到，解对应不等式，得到单调性，求出其最小值，再根据恒成立，即可得出结果；②先设，求导得.设，对其求导，判定单调性，从而得到函数单调性，得到是函数的极小值点，得到，再由①得时，，推出所以，得到，得到函数在区间上单调递增，再由题意，即可得出结论成立.【详解】（1）时，,,,，所以函数在处的切线方程，即.（2）①由题设知，，，，由，得，所以函数在区间上是增函数；由，得，所以函数在区间上是减函数.故在处取得最小值，且.由于恒成立，所以，得，所以的取值范围为；②设，则.设，则，故函数在区间上单调递增，由（1）知，，所以，，故存在，使得，所以，当时，，，函数单调递减；当时，，，函数单调递增.所以是函数的极小值点.因此，即.由①可知，当时，，即，整理得，所以.因此，即.所以函数在区间上单调递增.由于，即，即，所以.又函数在区间上单调递增，所以.24．（2023·青海西宁·统考一模）已知函数存在两个极值点.(1)求的取值范围；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据极值点的定义可知，即有两个不等正根，由一元二次方程根的分布可构造不等式组求得的取值范围；（2）由（1）可知，由此化简为，令，利用导数可求得，即为所求的最小值.【详解】（1）由题意知：定义域为，；令，则有两个不等正根，，解得：，实数的取值范围为.（2）由（1）知：，是的两根，则；；令，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；，即的最小值为.25．（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若，证明:.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负得单调区间；（2）计算，构造函数，，求出，对再一次求导（需引入新函数），确定的单调性后得其正负，从而确定的单调性，得证结论成立．【详解】（1），若，，即，此时在R上单调递减．若，解得，解得，∴在上单调递减，在上单调递增．（2）∵，设，

，设

，∴在上单调递增，，．∴，在上单调递增．∴．∴．26．（2023春·山东淄博·高二山东省淄博第一中学校考阶段练习）已知函数（为自然对数的底数）.(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）先判断在上单调递增，再利用单调性解不等式得解；（2）等价于对恒成立，令，利用二次求导对分类讨论求函数的最大值得解.【详解】（1）解：，由复合函数的单调性原理得在上单调递增，由得，即.（2）解：对恒成立令，，，在上单调递减，，若，即时，在上恒成立，则在上单调递减，符合题意.若，即时，（i）若，则，在上单调递增，这与题设矛盾，舍去.（ii）若，则存在使，且当时，单调递增，此时这与题设也矛盾，舍去.综上：实数的取值范围为.27．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校考三模）已知函数．(1)若，求函数的单调区间；(2)若，且在上，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为；(2).【分析】（1）根据函数的导数与函数单调性的关系即得；（2）由题可得，然后利用参变分离可得在上恒成立，构造函数利用导数求函数最值即得.【详解】（1）当时，，函数的定义域为，∴，由，得，当时，，故在上是增函数，当时，，故在上是减函数，∴的单调增区间为，单调减区间为；（2）由，得，∴，∴，由在上恒成立，得在上恒成立，令，，可得，，令，得，令，得，∴在上单调递减，在上单调递增，∴在处取得极小值，也是最小值，即，∴的取值范围是．28．（2023春·天津和平·高三天津市第二南开中学校考开学考试）已知函数．(1)当时，求的极值．(2)讨论的单调性；(3)若，证明：．【答案】(1)极大值为，无极小值(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用导数求解极值即可；（2）利用导数分类讨论求解单调性即可.（3）首先将题意转化为证明证，当时，不等式显然成立．当时，转化为证明，再构造函数利用导数求最值即可.【详解】（1）当时，，则，令，得，2+0-单调递增单调递减所以的极大值为，无极小值．（2）的定义域为，对于二次方程，有．当时，恒成立，在上单调递减．当时，方程有两根，若，在上单调递增，在上单调递减；若，在与上单调递减，在上单调递增．（3）要证，即证，因为，所以．当时，不等式显然成立．当时，因为，所以只需证，即证．令，则，由得；由，得．所以在上为增函数，在上为减函数，所以．，则，易知在上为减函数，在上为增函数，所以，所以恒成立，即．29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点．(1)求a的取值范围；(2)设是的两个零点，证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）等价于有两个零点，设，求出函数的最小值利用零点存在性定理分析即得解；（2）不妨设，等价于证明，再利用极值点偏移的方法证明.【详解】（1）解：由，得，设，则，，因为，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．又因为，所以，，，所以a的取值范围是．（2）证明：不妨设，由（1）知，则，，，又在上单调递增，所以等价于，即．设，则．设，则，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，又因为，，，所以存在，使得，当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增．又因为，，所以当时，，当时，，所以当时，，单调递减，因为，所以，所以，即原命题得证．【点睛】关键点睛：解答本题的关键是掌握极值点偏移的解题方法，对于这些典型题型，学生要理解并灵活掌握.30．（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知函数．(1)若存在使得成立，求a的取值范围；(2)设函数有两个极值点，且，求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）分离参数可得，设，原题可转化为.求出，构造，可证得恒成立，进而得出单调递增，即可得出a的取值范围；（2）求出.由已知可得，是方程的两个相异实根，且.求出，整理可得.换元令，，求出，即可得出.【详解】（1）由于，故转化为．设，则.设，则.由于，解，解得.解可得，，所以在上单调递增；解可得，，所以在上单调递减.故在处有极小值，也是最小值.所以故在上总成立，所以为单调增函数.又存在使得成立，只需即可，所以，即a的取值范围是．（2）由已知可得，定义域为，且.由已知有两个极值点，所以方程有两个相异根，则，且，，，所以，.所以，，所以.令，则，设.则，所以在为减函数，所以.即．【点睛】方法点睛：小问1中，根据，分离参数得到.构造函数，通过求解函数的最值，即可得出的取值范围.31．（2023春·河北石家庄·高二石家庄市第二十五中学校考期中）已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数．(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间上的最大值为－3，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，利用导数判断函数的单调性，由此可得函数的最值；（2）求出，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值，结合题意列出方程，求解的值即可.【详解】（1）解：函数的定义域为，当时，，则，当时，，当时，，所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，所以，所以当时，求的最大值为；（2）解：函数，则，，，①若，则，所以在上单调递增，故，不符合题意；②若，当时，，当时，，所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，则，令，可得，解得，因为，所以符合题意，综上所述.32．（2023春·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求在区间上的最大值；(3)设实数使得对恒成立，写出的最大整数值，并说明理由.【答案】(1)(2)(3)，理由见解析【分析】（1）求出函数在处的导数，即切线斜率，求出，即可得出切线方程；（2）求出函数在区间上的单调性，求出最值即可；（3）将不等式等价转化为在上恒成立.构造函数，利用导数求出函数的单调性和最小值，进而得证.【详解】（1）因为，所以，则，又，所以曲线在点处的切线方程为.（2）令，则，当时，，在上单调递增.因为，，所以，使得.所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，又，，所以.（3）满足条件的的最大整数值为.理由如下：不等式恒成立等价于恒成立.令，当时，，所以恒成立.当时，令，，，与的情况如下：1所以，当趋近正无穷大时，，且无限趋近于0，所以的值域为，因为，所以的最小值小于且大于.所以的最大整数值为.33．（2023春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，在上，是减函数,当时，在上，是减函数,在上，是增函数；（2）【分析】求出函数的定义域，函数的导数，通过a的范围讨论，判断函数的单调性即可．（2）对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，转化为在（0，+∞）上f（x）min＞0，利用函数的导数求解函数的最值即可．【详解】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）又当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数当a＞0时，由f′（x）=0得：或（舍）所以：在上，f′（x）＜0，f（x）是减函数在上，f′（x）＞0，f（x）是增函数（2）对任意x＞0，都有f（x）＞0成立，即：在（0，+∞）上f（x）min＞0由（1）知：当a≤0时，在（0，+∞）上f（x）是减函数，又f（1）=2a﹣2＜0，不合题意当a＞0时，当时，f（x）取得极小值也是最小值，所以：令（a＞0）所以：在（0，+∞）上，u′（a）＞0，u（a）是增函数又u（1）=0所以：要使得f（x）min≥0，即u（a）≥0，即a≥1，故：a的取值范围为[1，+∞）【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．34．（2022春·北京·高二北理工附中校考期末）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)当时，证明：.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导可得，再分和两种情况讨论即可；（2）当根据函数的正负证明，当时，转证，构造函数求导分析单调性与最值即可(1)依题意知，，令得，当时，在上，单调递减，在单调递增；当时，在上，单调递增，在单调递减.(2)依题意，要证，①当时，，，故原不等式成立，②当时，要证：，即证：，令，则，，∴在单调递减，∴，∴在单调递减，∴，即，故原不等式成立.35．（2020·全国·高三专题练习）已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，，，证明：．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先求导，再对分和两种情况即得函数的单调性；（2）分析得到所以，，再化简得到，构造函数，得到，不等式即得证.【详解】（1）．因为.当时，，此时在上单调递减；当时，由解得或，∵是增函数，∴此时在和单调递减，在单调递增．（2）由（1）知，∴，所以，所以，∵，∴，，令，∴，∴在上是减函数，，∴，即．所以原不等式得证.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.36．（2022·湖南常德·临澧县第一中学校考一模）已知函数，．（1）若函数在处取得极大值，求实数的值；（2）当时，若对，不等式恒成立，求实数的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先根据极值点对应的导数值为零求解出的可取值，然后检验的取值下在处是否取极大值，由此确定出的值；（1）先将问题转化为“时，”，再通过换元将问题转化为“恒成立”，然后构造函数，采用分类讨论的方法分析的最小值与的关系，由此求解出的值.【详解】（1）因为，所以，因为在处取极大值，所以，所以，所以当时，，+单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以在处取极大值，符合题意；（2）当时，，．又因为对，不等式，所以时，，所以时，，令，因为为上的增函数，且的值域为，所以，故问题转化为“恒成立”，不妨设，所以，当时，，所以在上单调递增，且，所以当时，，这与题意不符；当时，令，解得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，所以，记，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，又因为，即，所以.【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围的两种常用方法：（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)设在区间上的最小值为，求及的最大值．【答案】(1)极大值，极小值0(2)，的最大值为0，【分析】（1）由极值的概念求解，（2）根据的取值分类讨论求解的单调区间后得，再由导数判断单调性后求解最大值，【详解】（1）当时，，，当或时，，当时，，