高考数学总复习 第七章 不等式、推理与证明 第38讲 不等关系与不等式练习 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三数学试题

第七章不等式、推理与证明eq\x(知识体系)【p81】第38讲不等关系与不等式夯实基础【p81】【学习目标】1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景．3．掌握不等式的性质及应用． 【基础检测】1．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．a2>b2C.eq\f(a,c2＋1)>eq\f(b,c2＋1)D．a|c|>b|c|【解析】由题意可知a，b，c∈R，a>b，对于选项A，取a＝1，b＝－2，显然满足a>b，但eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故错误；对于选项B，取a＝1，b＝－2，显然满足a>b，但a2<b2，故错误；对于选项C，∵eq\f(1,c2＋1)>0，a>b，∴eq\f(a,c2＋1)>eq\f(b,c2＋1)，故正确；对于选项D，当c＝0时，显然a|c|＝b|c|，故错误．【答案】C2．已知1<a<2<b<4，则a2＋b的取值范围是()A．(3，6)B．(2，6)C．(3，8)D．(4，8)【解析】∵1<a<2，∴1<a2<4，又2<b<4，∴3<a2＋b<8.【答案】C3．用不等号“＞”或“＜”填空：(1)a＞b，c＜d⇒a－c________b－d；(2)a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac________bd；(3)a＞b＞0⇒eq\r(3,a)________eq\r(3,b).【答案】(1)＞；(2)＜；(3)＞4．已知a>0且a≠1，P＝loga(a3＋1)，Q＝loga(a2＋1)，则P与Q的大小关系为__________．【解析】P－Q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝logaeq\f(a3＋1,a2＋1).当a>1时，a3＋1>a2＋1，所以eq\f(a3＋1,a2＋1)>1，则logaeq\f(a3＋1,a2＋1)>0；当0<a<1时，0<a3＋1<a2＋1，所以0＜eq\f(a3＋1,a2＋1)<1，则logaeq\f(a3＋1,a2＋1)>0.综上可知，当a>0且a≠1时，P－Q>0，即P>Q.【答案】P>Q5．三个正数a，b，c满足a≤b＋c≤2a，b≤a＋c≤2b，则eq\f(b,a)的取值范围是________．【解析】三个正数a，b，c，满足a≤b＋c≤2a，b≤a＋c≤2b，∴1≤eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)≤2，eq\f(b,a)≤1＋eq\f(c,a)≤2eq\f(b,a)，即－2eq\f(b,a)≤－1－eq\f(c,a)≤－eq\f(b,a)，不等式的两边同时相加得1－2eq\f(b,a)≤eq\f(b,a)－1≤2－eq\f(b,a)，则等价为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2\f(b,a)≤\f(b,a)－1，,\f(b,a)－1≤2－\f(b,a)，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)≥\f(2,3)，,\f(b,a)≤\f(3,2)，))即eq\f(2,3)≤eq\f(b,a)≤eq\f(3,2).【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,2)))【知识要点】1．不等式的定义用不等号“>，≥，＜，≤，≠”将两个数学表达式连接起来，所得的式子叫做不等式．2．实数大小顺序与运算性质之间的关系a－b>0⇔__a>b__；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔__a<b__．3．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔__b<a__；(2)传递性：a>b，b>c⇒__a>c__；(3)可加性：a>b⇔__a＋c>b＋c__；a>b，c>d⇒__a＋c>b＋d__；(4)可乘性：a>b，c>0⇒__ac>bc__；a>b，c<0⇒__ac<bc__；a>b>0，c>d>0⇒__ac>bd__；(5)倒数法则：a>b，ab>0⇒__eq\f(1,a)<eq\f(1,b)__；(6)乘方性质：a>b>0⇒__an>bn__(n≥2，n∈N*)；(7)开方性质：a>b>0⇒__eq\r(n,a)>eq\r(n,b)__(n≥2，n∈N*)；(8)有关分数的性质：若a>b>0，m>0，则①真分数的性质：eq\f(b,a)__<__eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)__>__eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)；②假分数的性质：eq\f(a,b)__>__eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)__<__eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．典例剖析【p82】考点1比较两个数(式)的大小eq\a\vs4\al(例1)(1)已知实数a，b满足a＋b>0，则x＝eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)与y＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小关系为()A．x>yB．x<yC．x≤yD．x≥y【解析】x－y＝eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(a－b,b2)＋eq\f(b－a,a2)＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,a2)))＝eq\f(（a＋b）（a－b）2,a2b2).∵a＋b>0，(a－b)2≥0，∴eq\f(（a＋b）（a－b）2,a2b2)≥0，∴eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)，∴x≥y.【答案】D(2)若a>0，b>0，则p＝(ab)eq\s\up6(\f(a＋b,2))，q＝abba的大小关系是()A．p≥qB．p≤qC．p>qD．p<q【解析】因为p>0，q>0，所以eq\f(p,q)＝eq\f(（ab）\s\up6(\f(a＋b,2)),abba)＝aeq\s\up6(\f(a－b,2))beq\s\up6(\f(b－a,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up6(\f(a－b,2))，若a>b>0，则eq\f(a,b)>1，a－b>0，∴eq\f(p,q)>1；若b>a>0，则0<eq\f(a,b)<1，a－b<0，∴eq\f(p,q)>1；若a＝b，则p＝q；所以p≥q.【答案】A(3)若a＝eq\f(ln3,3)，b＝eq\f(ln4,4)，c＝eq\f(ln5,5)，则()A．a<b<cB．c<b<aC．c<a<bD．b<a<c【解析】对于函数f(x)＝eq\f(lnx,x)，f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，易知当x>e时，函数f(x)单调递减．因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，即c<b<a.【答案】B【点评】(1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．考点2不等式的性质eq\a\vs4\al(例2)(1)已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是()A．ab>acB．(b－a)c<0C．cb2<ab2D．ac(a－c)>0【解析】由c<b<a，且ac<0，知a>0，c<0，故由b>c，a>0⇒ab>ac，A正确；由b<a，c<0⇒(b－a)c>0，B错误；由c<a，b2≥0⇒cb2≤ab2，当b＝0时取等号，故C错误；由c<a，ac<0⇒ac(a－c)<0，D错误．【答案】A(2)如果a<b<0，那么下列不等式成立的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．ab<b2C．－ab<－a2D．－eq\f(1,a)<－eq\f(1,b)【解析】法一(性质判断)：对于A项，由a<b<0，得b－a>0，ab>0，故eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)>0，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故A项错误；对于B项，由a<b<0，得b(a－b)>0，ab>b2，故B项错误；对于C项，由a<b<0，得a(a－b)>0，a2>ab，即－ab>－a2，故C项错误；对于D项，由a<b<0，得a－b<0，ab>0，故－eq\f(1,a)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,b)))＝eq\f(a－b,ab)<0，－eq\f(1,a)<－eq\f(1,b)成立，故D项正确．法二(特殊值法)：令a＝－2，b＝－1，则eq\f(1,a)＝－eq\f(1,2)>eq\f(1,b)＝－1，ab＝2>b2＝1，－ab＝－2>－a2＝－4，－eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)<－eq\f(1,b)＝1.故A、B、C项错误，D项正确．【答案】D【点评】不等式性质应用问题的三大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．考点3不等式性质的应用eq\a\vs4\al(例3)设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．【解析】法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m、n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，于是得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,n－m＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝1.))∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即5≤f(－2)≤10.法二：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－1）＝a－b，,f（1）＝a＋b，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)[f（－1）＋f（1）]，,b＝\f(1,2)[f（1）－f（－1）].))∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.法三：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1≤a－b≤2，,2≤a＋b≤4.))确定的平面区域如图阴影部分，当f(－2)＝4a－2b过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))时，取得最小值4×eq\f(3,2)－2×eq\f(1,2)＝5，当f(－2)＝4a－2b过点B(3，1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.【答案】[5，10]eq\a\vs4\al(例4)已知1≤lgxy≤4，－1≤lgeq\f(x,y)≤2，求lgeq\f(x2,y)的取值范围．【解析】由1≤lgxy≤4，－1≤lgeq\f(x,y)≤2，得1≤lgx＋lgy≤4，－1≤lgx－lgy≤2，而lgeq\f(x2,y)＝2lgx－lgy＝eq\f(1,2)(lgx＋lgy)＋eq\f(3,2)(lgx－lgy)，所以－1≤lgeq\f(x2,y)≤5，即lgeq\f(x2,y)的取值范围是[－1，5]．【点评】(1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围．(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．方法总结【p82】1．用同向不等式求差的范围．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<x<b，,c<y<d，))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<x<b，,－d<－y<－c，))⇒a－d<x－y<b－c.这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到．2．倒数关系在不等式中的作用．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab>0，,a>b，))⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab>0，,a<b，))⇒eq\f(1,a)>eq\f(1,b).3．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一．作差法的主要步骤：作差—变形—判断正负．在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商．4．求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法．[失误与防范]①a>b⇒ac>bc或a<b⇒ac<bc，当c≤0时不成立．②a>b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)或a<b⇒eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，当ab≤0时不成立．③a>b⇒an>bn需根据n，a，b的取值范围确定．④eq\f(a,b)>1⇔a>b，对于正数a、b才成立．⑤注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：a>b，b>c⇒a>c，但a>c不能推出eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>b,b>c)).⑥比商法比较大小时，要注意两式的符号．走进高考【p83】1．(2016·北京)已知x，y∈R，且x>y>0，则()A.eq\f(1,x)－eq\f(1,y)>0B．sinx－siny>0C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)<0D．lnx＋lny>0【解析】选项A中，因为x>y>0，所以eq\f(1,x)<eq\f(1,y)，即eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0，故结论不成立；选项B中，当x＝eq\f(5π,6)，y＝eq\f(π,3)时，sinx－siny<0，故结论不成立；选项C中，函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)是定义在R上的减函数，因为x>y>0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(y)<0；选项D中，当x＝e－1，y＝e－2时，结论不成立．【答案】C2．(2017·山东)若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是()A．a＋eq\f(1,b)<eq\f(b,2a)<log2(a＋b)B.eq\f(b,2a)<log2(a＋b)<a＋eq\f(1,b)C．a＋eq\f(1,b)<log2(a＋b)<eq\f(b,2a)D．log2(a＋b)<a＋eq\f(1,b)<eq\f(b,2a)【解析】根据题意，令a＝2，b＝eq\f(1,2)进行验证，易知a＋eq\f(1,b)＝4，eq\f(b,2a)＝eq\f(1,8)，log2(a＋b)＝log2eq\f(5,2)>1，因此a＋eq\f(1,b)>log2(a＋b)>eq\f(b,2a).【答案】B考点集训【p218】A组题1．若a，b，c∈R，且a＞b>0>c，则下列不等式错误的是()A.eq\f(1,a)>eq\f(1,c)B．(a－b)c2>0C．a2＞b2D．ac＞bc【解析】对于A，eq\f(1,a)>0，eq\f(1,c)<0，所以eq\f(1,a)>eq\f(1,c)，故A正确；对于B，由a>b，c<0知a－b>0，c2>0，故B正确；对于C，由a>b>0知a2>b2，正确；D错误．【答案】D2．若a<0，b<0，则p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)与q＝a＋b的大小关系为()A．p<qB．p≤qC．p>qD．p≥q【解析】p－q＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)－a－b＝eq\f(b2－a2,a)＋eq\f(a2－b2,b)＝(b2－a2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,b)))＝eq\f(（b2－a2）（b－a）,ab)＝eq\f(（b－a）2（a＋b）,ab)，∵a＜0，b＜0，∴a＋b＜0，ab＞0，若a＝b，则p－q＝0，此时p＝q，若a≠b，则p－q＜0，此时p＜q，综上p≤q.【答案】B3．设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，那么2α－eq\f(β,3)的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,6)π))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5,6)π))C．(0，π)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，π))【解析】由0<α<eq\f(π,2)，0≤β≤eq\f(π,2)得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<2α<π，,－\f(π,6)≤－\f(β,3)≤0.))∴－eq\f(π,6)<2α－eq\f(β,3)<π.【答案】D4．若a<b，d<c，并且(c－a)(c－b)<0，(d－a)(d－b)>0，则a，b，c，d的大小关系为()A．d<a<c<bB．a<d<c<bC．a<d<b<cD．d<c<a<b【解析】因为a<b，(c－a)(c－b)<0，所以a<c<b，因为(d－a)(d－b)>0，所以d<a<b或a<b<d，又d<c，所以d<a<b.综上，d<a<c<b.【答案】A5．设实数x，y满足1≤xy2≤2，2≤eq\f(x2,y)≤3，则eq\f(x4,y7)的取值范围是________．【解析】因为eq\f(x4,y7)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,y)))\s\up12(3),（xy2）2)，8≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,y)))eq\s\up12(3)≤27，1≤(xy2)2≤4，所以eq\f(x4,y7)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,4)，\f(27,1)))＝[2，27]．【答案】[2，27]6．近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/斤、b元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为实惠)________．(在横线上填甲或乙即可)【解析】由题意得甲购买产品的平均单价为eq\f(3a＋3b,6)＝eq\f(a＋b,2)，乙购买产品的平均单价为eq\f(20,\f(10,a)＋\f(10,b))＝eq\f(2ab,a＋b)，由条件得a≠b.∵eq\f(a＋b,2)－eq\f(2ab,a＋b)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))\s\up12(2),2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b)))>0，∴eq\f(a＋b,2)>eq\f(2ab,a＋b)，即乙的购买方式更优惠．【答案】乙7．若0<a<b，且a＋b＝1，则将a，b，eq\f(1,2)，2ab，a2＋b2从小到大排列为________．【解析】∵0<a<b且a＋b＝1，∴a<eq\f(1,2)<b<1，∴2b>1且2a<1，∴a<2b·a＝2a(1－a)＝－2a2＋2a＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)<eq\f(1,2).即a<2ab<eq\f(1,2)，又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab>1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，即a2＋b2>eq\f(1,2)，a2＋b2－b＝(1－b)2＋b2－b＝(2b－1)(b－1)，又2b－1>0，b－1<0，∴a2＋b2－b<0，∴a2＋b2<b，综上，a<2ab<eq\f(1,2)<a2＋b2<b.另解：特殊值法，如取b＝eq\f(3,4)，a＝eq\f(1,4).【答案】a<2ab<eq\f(1,2)<a2＋b2<b8．已知a∈R，试比较eq\f(1,1－a)与1＋a的大小．【解析】eq\f(1,1－a)－(1＋a)＝eq\f(a2,1－a).①当a＝0时，eq\f(a2,1－a)＝0，∴eq\f(1,1－a)＝1＋a.②当a＜1且a≠0时，eq\f(a2,1－a)＞0，∴eq\f(1,1－a)＞1＋a.③当a＞1时，eq\f(a2,1－a)＜0，∴eq\f(1,1－a)＜1＋a.综上所述，当a＝0时，eq\f(1,1－a)＝1＋a；当a＜1且a≠0时，eq\f(1,1－a)＞1＋a；当a＞1时，eq\f(1,1－a)＜1＋a.B组题1．已知x1＝lneq\f(1,2)，x2＝e－eq\f(1,2)，x3满足e－x3＝lnx3，则()A．x1<x2<x3B．x1<x3<x2C．x2<x1<x3D．x3<x1<x2【解析】已知x1＝lneq\f(1,2)＝－ln2<0，x2＝e－eq\f(1,2)＝eq\f(1,\r(e))∈(0，1)，e－x3＝lnx3>0，∴x3>1，进而得到x1<x2<x3.【答案】A2．设a，b∈R，定义运算“⊗和“⊕”如下：a⊗b＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a>b，))a⊕b＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b，a≤b，,a，a>b.))若m⊗n≥2，p⊕q≤2，则()A．mn≥4且p＋q≤4