北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期末练习数学试题（含答案）

海淀区2023-2024学年第一学期期末练习高三数学2024.01本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，，，则（A） （B） （C） （D）（2）如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为（A） （B） （C） （D）（3）已知直线，直线，且，则（A）1 （B） （C）4 （D）（4）已知抛物线的焦点为，点在上，，为坐标原点，则（A） （B）4 （C）5 （D）（5）在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（A）4 （B）2 （C） （D）（6）已知，直线与交于，两点．若为直角三角形，则（A） （B） （C） （D）（7）若关于的方程（且）有实数解，则的值可以为（A）10 （B） （C）2 （D）（8）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（9）已知是公比为的等比数列，为其前项和．若对任意的，恒成立，则（A）是递增数列 （B）是递减数列（C）是递增数列 （D）是递减数列（10）蜜蜂被誉为“天才的建筑师”．蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构．右图是一个蜂房的立体模型，底面是正六边形，棱，，，，，均垂直于底面，上顶由三个全等的菱形，，构成．设，，则上顶的面积为（参考数据：，）（A） （B） （C） （D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）在的展开式中，的系数为__________．（12）已知双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的离心率为__________．（13）已知点，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则__________；点到直线的距离为__________．（14）已知无穷等差数列的各项均为正数，公差为，则能使得为某一个等差数列的前项和的一组，的值为__________，__________．（15）已知函数．给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意；③当时，对任意非零实数，；④当时，存在，使得对任意，都有．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）如图，在四棱柱中，侧面是正方形，平面平面，，，为线段的中点，．（I）求证：平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值．（17）（本小题14分）在中，．（I）求的大小；（II）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长．条件①：的面积为；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（18）（本小题13分）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（I）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（II）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望；（III）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系．（19）（本小题15分）已知椭圆过点，焦距为．（I）求椭圆的方程，并求其短轴长；（II）过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，，连接并延长交椭圆于点，直线与交于点，为的中点，其中为原点．设直线的斜率为，求的最大值．（20）（本小题15分）已知函数．（I）当时，求证：①当时，；②函数有唯一极值点；（II）若曲线与曲线在某公共点处的切线重合，则称该切线为和的“优切线”．若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值．（21）（本小题15分）对于给定的奇数，设是由个实数组成的行列的数表，且中所有数不全相同，中第行第列的数，记为的第行各数之和，为的第列各数之和，其中．记．设集合或，记为集合所含元素的个数．（I）对以下两个数表，，写出，，，的值；111111111111111111111111111（II）若中恰有个正数，中恰有个正数．求证：；（III）当时，求的最小值．海淀区2023-2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A（2）D（3）B（4）D（5）C（6）A（7）D（8）B（9）B（10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）（12）2（13）（14）11（答案不唯一）（15）②④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（I）连接．在四棱柱中，侧面为平行四边形，所以，．因为，，为中点，所以，．所以，．所以四边形为平行四边形．所以．因为平面，所以平面．（II）在正方形中，．因为平面平面，所以平面．所以．因为，平面，与相交，所以平面．所以．如图建立空间直角坐标系．不妨设，则，，，．所以，，．设平面的法向量为，则即令，则，．于是．因为，所以直线与平面所成角的正弦值为．（17）（共14分）解：（I）由正弦定理及，得．①因为，所以．②由①②得．因为，所以．所以．因为，所以．（II）选条件②：．由（I）知，．所以．所以．因为，所以．所以，即．所以是以为斜边的直角三角形．因为，所以．所以边上的中线的长为1．选条件③：．由余弦定理得．设边上的中线长为，由余弦定理得．所以边上的中线的长为1．（18）（共13分）解：（I）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场．设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则．（II）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场．所以的所有可能取值为0，1，2．，，．所以的分布列为012所以．（III）．（19）（共15分）解：（I）由题意知，．所以，．所以椭圆的方程为，其短轴长为4．（II）设直线的方程为，，，则．由得．所以．由得直线的方程为．由得．因为，所以，．所以．因为为的中点，且，所以．所以直线的斜率．当时，．当时，因为，当且仅当时，等号成立．所以．所以当时，取得最大值．（20）（共15分）解：（I）①当时，．记，则．所以在上是增函数．所以当时，．所以当时，．②由得，且．当时，．因为，，所以．因为对任意恒成立，所以当时，．所以0是的唯一极值点．（II）设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，，其斜率分别为，，则．因为，所以．所以．不妨设，则．因为，由“优切线”的定义可知．所以．由“优切线”的定义可知，所以．当，，时，取，，则，，，，符合题意．所以．（21）（共15分）解：（I），；，．由定义可知：将数表中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），，的值不变．因为为奇数，，所以，均不为0．（II）当或时，不妨设，即，．若，结论显然成立；若，不妨设，，则，，．所以，结论成立．当且时，不妨设，，，，则当时，；当时，．因为当，时，，，所以．所以．同理可得：，，．所以．（III）当时，的最小值为．对于如下的数表，．111111111下面证明：．设中恰有个正数，中恰有个正数，．①若或，不妨设，即，．所