经典小学奥数《论证与构造》详解

［名校］经典小学奥数《论证与构造》详解

基础知识

数学中的每一个结论，都有着严格的证明，而不仅仅是简简单单的陈述

结论.这是数学的严谨性的体现.大家在解答每一个数学问题时，同样

应做到这种严谨性，这体现在:对于数学中的问答题，除了要给出结论，

还应该对给出的结论作出相应的证明.

如果问题是询问某种对象是否存在，当要肯定其存在性时，通常可以直

接构造出符合要求的对象；当要否定其存在性时，一定要对不存在作出

证明.今天主要体会构造的一些技巧.

新课讲解

1.Q)试画一个凸六边形，使得它可以划分成6个一样大小和形状的的

三角形；

(2)试画一个凸六边形，使得它可以划分成7个一样大小和形状的的三

角形；

解：Q)正六边形即可.(2)参考右图.

2.（1*）能否找到两个正整数a<6,使得f+2是整数？

⑵能否找到3个正整数a<b<c,使得£+2+£是整数？

bca

解：（1）不能.证法较多，下面仅述一种.

用反证法，假设存在两个整数使且+白是整数.设4+2=左，则左是

baba

正整数.

AD

令（a,b）=。，a=DA,b=DB,则N和5互质，且/<3,且巳+三=左.从

BA

而片+炉=由3,从而5|4，这与4和8互质相矛盾（任取5的一个质因数。,

则p|/2,则必_4,则p是.4和5公因数）.

（2）能，例如a=1,5=2,c=4.

3.（1）任意两个最简分数，如果它们的分母不同，那么它们的分母的最

小公倍数，一定等于它们的和（化成最简分数）的分母吗？

（2*）任意两个最简分数，如果它们的分母互质，那么它们的分母的最小

公倍数，一定等于它们的和（化成最简分数）的分母吗？

解：（1）不一定，例如上和工•.

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（2）一定.设勺和色•是两个最简分数，其中a与c互质，则要证明ac与（bc+ao）

ac

也互质

用反证法，假设ac与（Z?c+a功不互质，那么存在质数p,使得p|〃c且

p\（bc+ad）.由p为质数且p|ac,得夕或p|c,不妨设p|。.再由p|Qc+ad）

可知p|左，从而或加c.但这与白是最简分数、且a与c互质相矛盾.

a

4.将分子为1、分母为正整数的分数从大到小依次排列为：…，试

2345

从中找出100个数来，使它们成为等差数列.

k

解：如下100个数：向（其中k=L2,3,…100）即符合题意.

5.试写出5个正整数，其中任意4个数均不互质，但这5个数互质.

解：例如2x3x5x7,2x3x5x11,2x3x7x11,2x5x7x11,3x5x7x11.

注：学生可能无法正确理解几个数互质（不互质）的含义,请老师先帮孩子正确理

解题意.

注：学生可能无法正确理解几个数互质（不互质）的含义，请老师先帮孩

子正确理解题意.

6.试找出100个两两不同的正整数，使得：其中任意两个数之和都能

整除这两个数之积.

分析：设x和y是其中两个数，则它们的积除以它们的和就是W—:现在，如果

x+y

将X和y同时扩大左倍，得到的两个数"和加，新产生的两个数之积除新产生的

两个数之和就是在曳由此明显的看出生虫比色」更“容易”成

Ax+x+y辰+颔x+v

为整数.

由此容易产生如下想法：先随意寻找100个不同的数，将他们同时扩大适当

相同的倍数，就能得出符合题意的构造.

解：例如200!、200!x2x……、2001x100.

能力提升

能否用无限块单位立方体的砖，不留任何空隙的砌满整个空间，使得存

在某块砖，它的每个面上都至少接触了两块砖（若两块砖仅有公共棱,

则不算接触）？

分析：要能将构造方案叙述出来，就必须砌得很有条理才行.因而，要

找出符合题意的堆砌方案，最好在最简单的砌法上进行简单的修改，而

不是杂乱无章的乱砌.

解：能.首先，按标准的网格方式堆助整个空间，考虑其中小立方体转£.把与

X的前后两个面公共的两块转，沿左右方向移动半格（连同所有受影响的每/

块砖一起移动）：把与z的左右两个面公共的两块砖，沿上下方向移动半格7/YX\

（连同所有受影响的每块转一起移动）：把与E的上下两个面公共的两块转，

沿前后方向移动半格（连同所有受分响的每块砖一起移动）.则小立方体E的每个

侧面上至少接触了两块烤.

8.(1)将三角形的各边”等分，再把这些等分点用平行于原三角形三边的线段连

按，求证：原三角形一共被分割成了力个形状和大小完全一样的小三角形.(如

图是”=5的例子-)

(2层否存在一个三角形，它能恰好被划分成2000个形状和大小完全一样的小三

角形？

解：(1)分层直接计算，一共得到了1+3+…(2〃-1)=//个全导的小三角舫.(老师

们请注意：不必对这些小三角形的全导性作出严格证明)

⑵注意到ZOOOuZ^xS,如果某个三南形能裱分成5个全等的三角彩，再结合上

面的结论，这5个全导的三角形中的每一个又能分成2"个全等的小三龟形，因

此原三角彩就能被划分成2000个全等的小三南彩.即问卷归结为：寻找能被分

成5个全等的小三角形的三角彩.

葩意考虑一个&LBC.它能被分成4个全等的小三角形，如果能在它旁边再

“贴上”其中一份，并且“贴”完之后还能形成一个大三角彩，则大三角彩

能被分成5个全等的小三角身.而这里“贴"完之后还能用成一个大三上3A

BCD

角形，实怀上是对a的的彩状提出了要求.

稍微细致分析一下上面的思路.就能给出合乎要求的构造.如图，若使得

ACA.BC,^.BC=2AC=4CD,则dLBD就能裱分成5个全等的小三甭形.

注1：(1)的某种意义上的一个逆命题也成立，即：给定正整数若任意三角彩

都能•恰好被划分成m个全等的小三角形，则府为完全平方数.这一结论的证明已

运超出小学范围.

注2：是否存在一个三角形，它能恰好被划分成7个全等的的小三角形？这个看

似同学的问雄，是一个著名的尚未解决的问翘，有兴趣的同事可以去研究一下.

9.能否找出21个连续整数，使其中每个自然数都能被2、3、4...........

13中的某个数整除？

分析：设要寻找的21个连续自然数的正中间那个数为，则这21个自

然数分别是：

N-10,N-9,…,N-1,N,N+1,…,N+10.

注意到不超过10的全部素数为235,7,所以如果所寻找的H能够满足

2x3x5x7|N,那么以上21个自然数中，除了N-1和N+1之外的19个数均已

满足题述要求.

剩下的任务是：在2x3x5x7|N的前提下，寻找适当的N,使N-1和N+1

也能满足题目的要求.很明显，这只可能使曾-1和N+1其中一个被11整除，且

另一个被13整除(为什么？).这有两种选择余地，以下考虑使11|N-1且

13|N+1.

明显的，中国剩余定理保证了以上要求能同时达成(以上所有要求相当于同

?7=0(mod2x3x5x7)

余方程组＜N=l(modll)),并且容易算出同时满足以上要求的最小N为

N三一l(modl3)

AT=9450.

解：取9440,9441,9442,……9460共21个连续自然数，直接验证可知它们符

合题意.

10.是否存在甲、乙、丙三个班，使得：可以从甲班调一些人去乙班，

接着从原乙班调一些人去丙班，再从原丙班调一些人去甲班，让每个

班的平均身高都增加？(每人身高保持不变)

分析：假设甲乙丙三班原来分别有a,b,c人，原来的三个班的平均身高分别是

再设从甲班调x个平均身高为X米的人去乙班，从乙班调y个平均

身高为F米的人去丙班，从丙班调二个平均身高为Z米的人去甲班.

要使甲班平均身高增加，则空二灯二化简得(注意二>0)

A-X+二

x(A-X)>=(A-Z),(1)

类似的，考虑乙班和丙班，得到

y(B-Y)>x(B-X1(2)

z(C-Z)>v(C-n(3)

因此，目标就是要给每个字母赋一个适当的值使(1)(2)(3)式同时成立.

容易发现不能取x=y=二.尝试取

x=v=1,z=2,(4；

则(1)(2)(3)式进一步化简为

X>Y,C+Y>2Z>A+X.(5)

即只要找到符合(5)式的一组数据，就能找到符合题意的3个班以及调动方

式.符合这要求的有多种取法，以下取

X=17,Y=L6,Z=165,A=L5,C=1.8,(6)

容易验证这一组值就能满足(5)式，所以按照(4)和(6)就能设计出符合题意的构

造.

解：按以上分析可以构造出如下具体的例子：甲乙丙三个班原来各有5

人.甲班有4人身高为1.45米，1人身高为1.7米(此人将调到乙班)；

乙班5人身高都是1.6米，有1人将调往丙班；丙班有3人身高为1.9

米，2人身高为1.65米(此2人将调到甲班).

那么,调动前甲乙丙三个班的平均身高分别是：1.5米、1.6米、

1.8米，调动后三个班的平均身高分别是：1.52米(近似值)、1.62米、

1.83米(近似值)，每个班的平均身高都增加了.

思考题

试找出一个自然数，使得：在它末尾紧接着把这个数重复写一次，得到

的新数（例如若该数为3781,则按这个方法得到的新数为37813781）

是完全平方数.

思路分析：假设X是一个符合要求的“位数，即x(10"+l)是一个完全平方数.则

经过简单的分析，容易看出以下两点：

第一，(10"+1)必定含有素数平方因子(否则由x(10"+l)是一个完全平方数可

知(i(r+D|x,但这与x是一个〃位数相矛盾)：

第二，若〃使得(10"+1)含有素数平方因子，则符合题意的X就很容易构造出

t2

来.(设『|(10"+1),那么可以取x==(10"+l),则已能保证武10"+1)是一个完

a

全平方数，而适当调整b的大小，就能保证x是一个“位数——这实乐上只需要

让0.1＜一＜1就行了.)

a

因此，问题归结为：寻找一个正整数“，使得(io"+D含有素数平方因子.

很明显.(10”+1)不可能含才这种因子，自然考虑是否能含方-7?作为

因子，即是否存在正整数〃，使得7)Q(f+l).经过探索发现721(10"+1).

解：令x=9(102l)下面分三步来证明这个数符合要求：

49

第一步证明x是整数.事实上

2111

10+l=10xl000+U10x2°+l=10241s0(mod49).

第二步证明x是21位数.这只需要脸证明=49(10"+1)＜I。”而这是显然

49

的.

第三步证明在x末尾紧接着写一遍x,得到的数是完全平方数.事实上，因

为x是21位数，所以由x重复写一次得到的新数是

9。。"+1。10%)=产1。-)『,是完全平方数.

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注1:如何快速寻找一个最小的正整数使得7=(10"+1)?这可从欧拉定理人

手，由欧拉定理知1042=l(mod72),所以尸|(IO?1+1X10”一1),所以71(1021+1)

或者^IQO^-D,再具体计算能断定72|(1021+1),即取〃=21即可.

课后作业：

1.请你从1到9这9个数字中选出6个不同的数字排成一圈，使得每

相邻的两个数之和都是一个质数.请写出你的排法.

解:因为相邻两数之和都为质数所以这个和必为奇数2不可能出现），

所以这6个数为3奇3偶，如1、2、3、8、5、6;或1、6、7、4、9、

2就符合题意.

2.有一把长为9厘米的直尺，在上面刻几条刻度线，使得这把尺子能

一次量出1到9厘米的所有整厘米的长度.问：至少要刻几条线？要刻

在哪些位置上?

解：至少刻3条线，分别刻在1厘米，4厘米，7厘米处.首先9厘米

的尺子，9肯定能测出来，刻在1则知道8,刻在4则知道5,亥口在7

则知道2,与此同时4与1差3,7与1差6,则全能测出来.只要考

虑到刻度可以成对出现，在以此构造即可.

3.在4x4的方格表中至少应该去掉多少个格子，才能使得剩下的图形

中不存在如左图所示的"L型"？

解：8个为使左图的图形不出现每个2x2的正方形中必须去掉两个，

容易看出一共至少去掉8个.方法比较多，可以去掉竖着中间两排，或

横着中间两排都行.

4.能否将1~9写到一个3x3的方格表中，使得他们每行每列的和都

不是3的倍数？

解：1到9的和能被3整除，而每行（每列）的和都不是3的倍数，所

以三行的和被3除的余数要么均为1