内蒙古赤峰市2021届高考数学模拟试卷(文科)(3月份)(含答案解析)

内蒙古赤峰市2021届高考数学模拟试卷（文科）（3月份）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合4={x|3x—/>0},8={丫|丫=1一①},则4nB=（）

A.[0,3)B.(0,3)C.(0,1]D.(0,1)

2.已知i为虚数单位，则(2+i)・(l-i)=()

A.1-iB.1+iC.3—iD.3+i

fx—y—2<0

3,若实数x,y满足〈x+2y-4>0,则？的取值范围是（）

2y-3<0

A.【博B.奥

c・箕]D.(0,号呜+8)

4.重庆市2013年各月的平均气温（。。）数据的茎叶图如下:

089

1258

200338

312

则这组数据的中位数是()

A.19B.20C.21.5D.23

5.已知a>2,b>2,直线y=+b与曲线(x-I/+(y-1)2=1,只有一个公共点，则ab的

取值范围为()

A.(4,6+472)B.(4,6+4V2]C.[6+4在,+8)D.(6+4V2,+oo)

6.在AaBC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若乙4：乙B=1：2,a：b=2：3,则cos2A

的值为()

A.|B.JC.ID.1

3238

7.已知数列｛an｝是公比大于1的等比数列,若a2a4=16,ar+a5=17,则%+g+…+即=()

A.34B.255C.240D.511

8.函数/（%）=sin2%+遮s讥%cos%的一条对称轴为（）

A__兀n_Rn_兀T-V57r

A-X=_6BX=6C-X=^D.X=逅

9.2.已知抛物线y=a/的准线方程是y=l,则实数a的值是

A.4B.—C.——D.-4

44

10.若函数f(%)=2sin(3%+w)+1,对任意的x都有/'(x)=/(2-x),则sin(a)+口)等于()

A.±3B.OC.±1D.±2

11.已知函数/。)=产：；1)驾4。,"2的值域为七则〃的取值范围是()

(X十JL,%NZ

A.(1,|]B.(-8jC.5+8)D.4+8)

12.如图，在44BC中，乙4=^,AB=3,AC=5,AF=CE=|乙?,

BD=^BC,则万.而的值为()

A.；

C.-2

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.曲线f(x)=x/nx在点P(l,0)处的切线/与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是.

14.如图，有一块矩形空地，要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩

形的四条边上，已知4B=a(a>2),BC=2,且4E=4H=CF=CG,设4E=X,绿地面积

(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域;

(2)当AE为何值时，绿地面积y最大？

15.一个由棱锥和半球体组成的几何体，其三视图如图所示，则该几

何体的体积为.

©

16.若双曲线42一若=1的一个焦点到其渐近线的距离为2,则该双曲线的离心率为____.

bz

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.已知数列｛an｝满足:%=1且即—即-1=一2即斯-1522且neN*).

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)设%=即即+1，数列也｝的前〃项和为％,若对任意的neN*,都有无<M—/l-1,求实数4的

取值范围.

18.(本小题满分12分)如图，在直角梯形次麟普中，

酬〃蜀，,麟1.购，斯1，冷翩=调=愚=笺.

点感、F分别是,物、睡的中点，现将鳍翻霞台逾折起，使，出1,平面趋遇海，

(1)求证：粽‘〃平面,成感；

(2)求点遍到平面，辎烂的距离.

19.峰谷电是目前在城市居民当中开展的一种电价类别.它是将一天24小时划分成两个时间段，把

8：00-22：00共14小时称为峰段，执行峰电价，即电价上调；22：00-次日8：00共10个

小时称为谷段，执行谷电价，即电价下调.为了进一步了解民众对峰谷电价的使用情况，从某

市一小区随机抽取了50户住户进行夏季用电情况调查，各户月平均用电量以[100,300),

[300,500),[500,700),[700,900),[900,1100),[1100,1300](单位:度)分组的频率分布直方

图如图所示.若将小区月平均用电量不低于700度的住户称为“大用户”，月平均用电量低于

700度的住户称为“一般用户”.其中，使用峰谷电价的户数如表：

月平均用电量(

[100,300)[300,500)[500,700)[700,900)[900,1100)[1100,1300]

度)

使用峰谷电价

3913721

的户数

(1)估计所抽取的50户的月均用电量的众数和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代

表)；

(2)(i)将“一般用户"和''大用户"的户数填入下面2X2的列联表：

一般用户大用户

使用峰谷电价的用户——

不使用峰谷电价的用户——

(〃)根据①中的列联表，能否有99%的把握认为“用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关？

附：代=丽舞篇E

P(K2>k)0.0250.0100.001

k5.0246.63510,828

20.已知椭圆C：W+\=l(a>b>0)及点。(2,1),若直线OO与椭圆C交于点4,B,且|阴=

夜|00(。为坐标原点)，椭圆C的离心率为巨.

(1)求椭圆c的标准方程；

(2)若斜率为之的直线/交椭圆C于不同的两点M,N,求AOMN面积的最大值.

21.已知函数/'CO=正/。6(l,+oo))

(1)求函数/Q)的单调增区间；

(2)求函数/(x)在区间［2,+8)上的最大值.

22.在直角坐标系xOj中，直线/的参数方程为匕1#；：鬻(t为参数，0Sa<7T),以原点O为

—J十L5LILU.

极点,x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线。的极坐标方程为:pcos2j-pcos29-4cos9=

0.

(1)求曲线。的直角坐标方程；

(2)。=,兀时，设直线/与曲线C相交于A,8两点，M(4,3),求|M*•|MB|.

23.已知实数x,y满足x+y=l.

(1)解关于x的不等式-2|+\2x+y\<5；

(2)若x,y>0,证明：(委一1)(今一1)29

【答案与解析】

1.答案：C

解析：解：集合、={x\3x—x2>0}={x|0<x<3}=（0,3）,

B={y\y=1-y/x]={y\y<1]=（-8,1]；

则4nB=（0,1].

故选：C.

化简集合A、8,根据交集的定义写出ACB.

本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题.

2.答案：C

解析：解：（2+i）・（l-i）=2+l-i=3-i,

故选：C.

利用复数的运算法则即可得出.

本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

3.答案：A

解析：

作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的「及其内部，设月工.“）为区域内一点，得目

标函数k,P=-表示P、。两点连线的斜率，运动点尸并观察直线OP斜率的变化，即可得到-

XX

的取值范围.

y-240

解：作出不等式组《工+2炉-420.则幺表示的平面区域,

[2y—3W0工

得到如图的△A8r及其内部,

i…3、~73、2、

其中L5)，/”.)•.>,，其Q.,)，

///oo

设为区域内一个动点，

可得kVP=，表示尸、。两点连线的斜率,

3

运动点P,可得当P与A重合时，儿冲=弓达到最大值;

当尸与C重合时，kOp=；达到最小值，

：.-：<koP</3即包?/的取值范围为1匕，Q［.

4/I4/

故选4.

4.答案：B

解析：略

5.答案：C

解析：

本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查基本不等式的运用，属于中档题.

|———i+d|

由题意，圆心到直线的距离d1,化简可得2(a+b)=ab+224病，即可确定岫的

依+1

取值范围.

|———l+b|

解：由题意，圆心到直线的距离d=逐一=1,化简可得2(a+b)=ab+224病，

遂+i

•■a>2,b>2,4ab>2+V2,即abN6+4/,

故选C.

6.答案：D

解析：解：由题意得：B=24,即sbiB=sin2A,

va：b=2：3,

AsinA：sinB=2：3,即sinA：sin2A=2：3,

整理得：7■哼2=：，即cosA=：,

2stnAcosA34

2

则cos2A=2cosA-1=-8.

故选：D.

由题意得到B=24,把a：b=2：3利用正弦定理化简求出sinA与sinB之比，把sinB=sin24代入

并利用二倍角的正弦函数公式化简求出cosA的值，即可确定出cos2A的值.

此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，熟练掌握定理是解本题的关键.

7.答案：B

解析：解：根据题意，设数列｛册｝的公比为生

若a2a4=16,则有=16,

又由Ct[+=17,且＞%，

4

解可得：a5=16,ax=1,则q=^=16,则q=2；

则a1+a2+•••+a6=。心；，=255；

故选：B.

根据题意，设数列｛册｝的公比为%由等比数列的性质可得a1as=16,结合由+as=17,计算可得

a5=16.%=1，进而求出的值，由等比数列的前〃项公式分析可得答案.

本题考查等比数列的前〃项和公式的应用，关键是求出数列的公比，属于基础题.

8.答案：A

解析:解：函数f(x)=sin2x+\[3sinxcosx=X~c°s2x-j-ysin2x=sin(2x—^)+1，令2%—^=kTt+^,

求得x=_+%k&Z,可得函数的图象的对称轴为久=:+%fcGZ.

结合题意，可得函数的图象的一条对称轴为％=一｝

O

故选：A.

利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的图象的对称性，求得它的一条对称轴.

本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，属于中档题.

9.答案：C

解析：将抛物线方程变为标准式其

准线方程为y=i,那么可知a<0,且

故选C.

x22

10.答案:C4

解析：解：因为/'(%)=2s讥Ox+w)+1,对任意的尤都有/1(x)=f(2-x),

故函数图象关于X=1对称，则3+9=：兀+/C7T

则sin（3+<p）=±1.

故选：C.

由样子可知，函数的图象关于x=1对称，代入即可求解.

本题主要考查了正弦函数对称性的应用，属于基础试题.

11.答案：C

解析：解：函数十⑴二色:：”广见》”的值域为R

可得:{(3xa-l)x2+4a>2+l,解得2-a,

故选：C.

运用分段函数以及一次函数，简化函数的单调性，函数的值域列出不等式组，求解即可.

本题考查分段函数的知识，值域的求法，是基础题.

12.答案:D

解析：解：建立如图所示的直角坐标系，则有4(0,0),

8(0,3),C(5,0),

由万工福~CE=-~CA,BD=-~BC,

254

可得：F(0,|),E(3,0),

所以屁=(：,_：),而=

所以屁•加=--X-+-X-=-i,

44442

故选：D.

向量的坐标表示及运算可得：A(0,0),B(0,3),C(5,0),由而=三南，CE=-CA,~BD=-~BCf可

得:尸(0》E(3,0),所以反=(：,_：),DF=得解

本题考查了向量的坐标表示及运算，属简单题.

13.答案：(x-|)2+(y-|)2=|

解析：

求出原函数的导函数，求得/(1),写出切线方程的点斜式，求得/与/

坐标轴围成的三角形，数形结合求得三角形的外接圆方程.------料~------>

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，函数在曲线上某］/

点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，训练了三角形外接/T

圆方程的求法，是基础题.

解：由/'(x)=x/nx,得/''(X)=/nx+1,

"(1)=1，

则曲线f(x)=仪nx在点P(1,O)处的切线方程为y=x-1.如图，切线/与坐标轴围成的三角形为A08,

其外接圆的圆心为C1),半径为争

二三角形的外接圆方程是：(%-1)2+(y-=1.

故答案为(x—1)2+(y—

2

14.答案：解：(1)依题意，ShAEH=S^CFC=^x,

SABEF=S“DGH=*a-x)(2-x),

••・y=SABCD-2S&AEH—2s>BEF

=2a—%2—(a-x)(2—%)

=—2x2+(a+2)%,

>0

由题意—解得：O<X42,

la>2

:.y=—2x2+(Q+2)x,其中0V%W2；

⑵・・,y=-2x2+(a+2)x的图象为抛物线，

其开口向下、对称轴是％=等,

4

・•・y=-2x2+(Q+2)%

在上(0,等］递增，在［等,+8)上递减,

若等<2,即a<6,则x=等时，y取最大值空；

若等22,即a26,则y=-2/+(a+2)x,0<xS2是增函数，

故当x=2时，y取最大值2a-4；

综上所述：若a<6,则AE=竽时绿地面积取最大值妇之；

48

若a>6,则AE=2时绿地面积取最大值2a-4.

解析：本题考查函数模型的选择与应用，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题.

(1)利=SHBCD_2(SAAEH+SABEF)，化简即得结论；

(2)通过(1)可知y=-2x2+(a+2)x的图象为开口向下、对称轴是x=等的抛物线，比较等与2的

大小关系并结合函数的单调性即得结论.

15.答案：等

解析：

由题意，结合图象可得该几何体是四棱锥和半球体的组合体，根据图中的数据即可计算出组合体的

体积选出正确选项.

本题考查由三视图求体积，解题的关键是由三视图得出几何体的几何特征及相关的数据，熟练掌握

相关几何体的体积公式也是解题的关键.

解：由三视图知，该几何体下半部分为半球，球的直径为2,上半部分为正四棱锥，锥体高为2,底

面正方形对角线长为2,

则阵球=：x得,%体=；、；*2、2*2=；,

所以几何体体积等，

故答案为:4+27r

3

16.答案:V5

解析：解：根据题意，双曲线/-1=1的焦点在X轴上，设其坐标为(土c,0),

则有c=V1+b2，

双曲线的渐近线方程为：y=±bxf即y土加:=0,

又由题意，双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为2,则有d=塔驾=b=2,

即b=2,

则c=+4=A/5,

则其离心率e=(=^；

故答案为：y/5-

根据题意，设双曲线的焦点坐标为(土GO),求出其渐近线方程，结合题意，由点到直线的距离可得

黑=2,解可得b的值，进而由双曲线的几何性质可得c的值，由双曲线的离心率公式计算可得

y/1+b2

答案.

本题考查双曲线的几何性质，关键是求出双曲线方程中人的值.

17.答案：解：⑴由已知可得高1一£1=2522,且neN*)

所以，数列｛：｝是等差数列，公差为2,首项是1,

an

1

于是2-=l+(n-l)x2=2n-l,

an

所以斯=圭・

(，”2),:b入=--1-----1-=~1(-/-1-------1-)、9

、)n2n-l2n+l2v2n-l2n+l7

1111111

n2113352n-12n+Y

11

=-(1-------)

212n+lJ

n

2n4-1

1

=系

n

•••n印ooSn-I，即又<

,••对任意的nGN*,都有的<M—"I，

A2-A—|>[恒成立，

即M-A-2>0

解得2<一1或；I>2

所以实数;I的取值范围为(一8,—1]U[2,+oo).

解析：⑴由册一即_I=—2即展1式子两边同除以即即_1可得力一［一=2522,且neN*),从

an%iT

而得出数列｛《｝是等差数列，求出通项，再求出a“即可；

an

(2)由匕可将勾消项化简，求无的极限值可得工的最大取值范围，利用

式子工<A2-A-学亘成立可以列不等式求得4的取值范围.

本题考查了等差数列的定义，以及等式的变形，数列求和的裂项法等，技巧性很强，较难.

18.答案：.解⑴连结AC,底面ABCD是正方形，二AC交BD于点凡且尸是AC中点

又点E为PC中点，=EF//PA,.踊境平面懿龈.然却二平面微逊

二，蹿7/平面24。--------5分

(2)设点A到平面PBC的距离为h。■;P。！,底面ABCD,PDl_BC,

又QCJ_.BC,DC^PC=D,：.BC±.^PDC,：.BC±PC.

又由PQWC,PD=DC=2,得PC=£，二%踹4M酬4.第修.篝=£阿

从而为嫡“=3.黑维“，金=也迦-----------------8分

另一方面，由PD_L底面ABC。，AH±BC,且PD=4B=BC=2,得

解析：试题分析：(1)欲证EF〃平面APG,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证”与平面

EFG内一直线平行即可，取A。中点M,连接FM、MG,由条件知EF〃DC〃MG,则E、F、M、G

四点共面，再根据三角形中位线定理知MF〃P4满足定理所需条件；

（2）利用等体积法来表示得到高度问题。

考点：本题主要是考查线面平行的判定定理和点到面的距离的求解运用。

点评：解决该试题的关键是通过利用三就爱哦行的中位线来得到平行线，然后借助于线线平行来得

到线面平行的证明。同时利用等体积法求解高度问题。

19.答案：2510510

解析：解：（1）根据频率分布直方图的得到100度到300度的频率为：

1-0.001X200-0.0015x200-0.0012x200-0.0006X200-0.0002X200=0.1,（2分）

估计所抽取的50户的月均用电量的众数为：色等凶=600（度）；（3分）

估计所抽取的50户的月均用电量的平均数为：

x=（200x0.0005+400x0.001+600x0.0015+800x0.0012+1000x0.0006+1200x

0.0002）x200=640（度）.（6分）

（2）依题意，2x2列联表如下：

一般用户大用户

使用峰谷电价的用户2510

不使用峰谷电价的用户510

（8分）K2的观测值k==—«6.349<6.635（11分）

35x15x30x2063

所以不能有99%的把握认为“用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关.（12分）

（1）根据频率分布直方图能求出100度到300度的频率，并能估计所抽取的50户的月均用电量的众

数和平均数.

（2）依题意，作出2X2列联表，求出K2的观测值，从而不能有99%的把握认为“用电量的高低”与

“使用峰谷电价”有关.

本题考查频率、众数、平均数的求法，考查独立性检验的应用，考查频率分布直方图等基础知识，

考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题.

20.答案：解：（1）由椭圆C的离心率为理，得且！=立，所以。2=4炉.

2a2

设点A在第一象限，由椭圆的对称性可知|0*=|。团，所以瓦？=日成，

因为点。坐标为（2,1）,所以点A坐标为（夜冷，

代入椭圆C的方程得三+m=1,与a2=4b2联立，

a£2b&

可得a2=4,b2=1,所以椭圆C的标准方程为?+y2=i.

ify=1x+t

(2)设直线/的方程为y=+芋0),由《广得/+2tx+2t2-2=0.

22=1

由题意得，△=4t2—4(2t2—2)>0,

整理得2-t2>0,所以一夜<t<0或0<t<痘.

设N(x2,y2)>则“，

22

所以IMN|=V(xi-x2)+(yi-72)=苧出一打1

xx22

=yV(i+2)-4Xix2=V5V2-t.

又由题意得，。(2,1)到直线丫=|x+t的距离d=詈.

△DMN的面积S=^d\MN\=3,詈，V5V2-t2=7(2-t2)t2</产=1.

当且仅当2-产=产，即£=±1时取等号，且此时满足△>(),

所以ADMN面积的最大值为1.

解析：⑴利用椭圆的离心率以及|AB|=&|。0(0为坐标原点)，求解即可mb即可得到椭圆的标

准方程.

(2)设出直线方程，利用直线与椭圆方程联立，结合韦达定理以及弦长公式，结合点到直线的距离求

解即可.

本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力.

(x-l)(-x+2a-l)

21.答案：解：(1)](约(XT)，

当2a-l>l,即a>l时，令/''(x)>0,解得：l<x<2a-l,故/(x)在(1,2a-1)递增,

当2a—1W1,即aWl时，令:(x)>0,不等式无解，故/(x)无单调递增区间；

(2)①当2a-122时，即a2|时，列表如下:

X[2,2a-1)(2a-1,4-co)

+—

/(X)递增递减

f^max=/(2a-1)=

②当l<2a-l<2,即l<a<|时，在区间[2,+8)上，，(x)<0恒成立,

・••/。）在［2,+8）上递减，二f（x）在区间［2,+8）的最大值为/（2）=2-a,

③当2a-lWl,即aWl时，在