全国百校名校2021届高考数学联考试卷(理科)(六)(含答案解析)

全国百校名校2021届高考数学联考试卷（理科）（六）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合人={（》，y）|x,y为实数，且产+y=1},B={（x,y）\x,y为实数，且）=》},则

An8的元素个数为（）

A.0B.1C.2D.3

2.在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2,—1）,则|z+l|等于（）

A.2B.V3C.V5D.V10

3.（文科）某中学有学生3000人，其中高一、高三学生的人数是1200人、800人，为了解学生的视

力情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个480人的样本，则样本中高一、

高二学生的人数共有（）人.

A.288B.300C.320D.352

4.已知函数匐用）是定义在R上的偶函数，且在区间蜀刈单调递增,若实数旗满足

频鸣则+我嫄翦划哩绘顿，则湎的取值范围是（）

c.MD.mW

5.函数f（x）+的单调递增区间为（)

A.（-oo,-3）,（l,+oo）B.(―00,-2)>(2,+8)

C.（-3,0）,（3,+8）D.(-2,0),(0,2)

6.已知集合4={2,3},B={1,2,3},从A,8中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是,

则这两数之和等于4的概率是（）

21C.-D.1

A.-B.-

3236

7.若〃为△ABC的重心，O为任意一点，OA+~OB+OC=nOM，则n=()

A.0B.1C.2D.3

8.曲线y=在x=1处的切线的倾；斗角为a,贝Ucos(2a+》的值为()

A-IB-C1D--l

B.2近

抛物线/一4y=0的准线方程是（

A.y=-1D.x=—

11.已知等腰直角三角形A8C中，AB=AC=2,D,E分别为A3,AC的

中点，沿QE将△ABC折成直二面角（如图），则四棱锥AOEC8的外接

球的表面积为（）

A.6兀

B.87T

C.97r

D.lOn-

12.若不等式财■!•氨高^嗤a（x+y）对一切正数x、y恒成立，则正数a的最小值为（）

D.兔曲+81；

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.如图所示，函数*■=1/麒的图象在点P处的切线方程是

14.5#。15除以13,所得余数为.

2

15.设&和尸2是双曲线W--y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足N&PFZ=90。，则AFIPF?

的面积是.

16.（文科）等差数列｛时｝的首项的=3,a5=11,bn=an-12

（1）求a”和｛%｝的前“项和Sn；

（2）若及=|瓦|+也|+…+|%|,求加

1

（3）设4=——,求数列｛4｝的前〃项和R.

anan+ln

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.已知:A、B、C是△ABC的内角，”也c分别是其对边长，向量记=(V3,cosA+l),n=(sinA,-l),

mln.

(I)求角A的大小；

(11)若。=2,cosB=y>求b的长.

18.如图，直三棱柱4BC-4/1的底面是等腰三角形(侧棱垂直于底面

的棱柱叫直棱柱)，&Ci=CiBi，。是线段&Bi的中点.

(1)证明：面4G。1平面4遇/4；

(2)证明：BiC〃平面4G。

19.某次大型抽奖活动，分两个环节进行：第一环节从10000人中随机抽取10人，中奖者获得奖金

1000元，并获得第二环节抽奖资格；第二环节在取得资格的10人中，每人独立通过电脑随机产

生两个数x,y(x,yG{l,2,3)),并按如图运行相应程序.若电脑显示“中奖”，则该抽奖者获

得9000元奖金；若电脑显示“谢谢”，则不中奖.

(/)已知甲在第一环节中奖，求甲在第二环节中奖的概率;

(〃)若乙参加了此次抽奖活动，求乙在此次活动中获得奖金的期望.

［结束］

20.已知椭圆C：q+]=l(a>b>0)的两个焦点分别为Fi，F2,离心率为3过居的直线/与椭

圆C交于M,N两点，且△MNF2的周长为8.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线y=kx+b与椭圆C分别交于A,8两点，且OA1OB,试问点O到直线A8的距离是否为

定值，证明你的结论.

21.已知函数/(x)=/—3ax-l(aeR)

(1)当a=1时，求函数f(x)的极值

(2)求函数f(x)在[0,1]上的最小值.

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为号二、(t为参数)，点4(1,0)，8(3,-遮)，若以直

角坐标系xOy的。点为极点，x轴正方向为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系.

(1)求直线AB的极坐标方程；

(2)求直线4B与曲线C交点的极坐标.

23.设函数/(x)=x|x-a|+b,a,b&R

(1)当。>0时，讨论函数/(x)的零点个数；

(II)若对于给定的实数a(a>2),存在实数b,对于任意实数xe[1,2],都有不等式|f(x)|</亘成立，

求实数a的取值范围.

【答案与解析】

1.答案：c

,_V2点

X-1x=-----

/+丈=1得,

解析：法一：解方程组《2或＜*所以

y=x72

7-T

法二：圆/+>2=1的圆心(0Q)在直线),=x上，故直线)，=X与圆/+严=1有两个交点，故选

C项.

2.答案：D

解析：

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题.

由题意求得Z,进一步得到Z+1,再由复数模的计算公式求解.

解：由题意，z=2-3

则|z+l|=|2-i+l|=|3-i|

=J32+(-1)2=VTo.

故选：D.

3.答案：C

解析：解：高一、高二学生的人数与学校总人数之比等于若需丝=[,

故样本中高一、高二学生的人数与样本容量之比为|,

480x12=32。,

故选C.

先求出高一、高二学生的人数与学校总人数之比，此比值就等于样本中高一、高二学生的人数与样

本容量之比，

故用样本容量乘以此比值，即得所求.

本题主要考查分层抽样的定义和方法，各个部分的个体数之比等于各个部分对应的样本数之比，属

于基础题.

4.答案：D

解析：试题分析：因为函数1M编是定义在R上的偶函数，又因为

贯舸知:磁匕颔飕n礴=f：W-3礴匕圈一蜘礴瞰=&联鲍熙碱所以由冽晦剑+慨触I,脚嗖W'l

§目

可得典蚓聪碱!：三翼须•区间虱留冽单调递增且为偶函数.所以他叫谢忆工二父&蟠£骞故选D.

考点：1.对数的运算.2.函数的奇偶性、单调性.3.数形结合的数学思想.

5.答案：A

解析：解：/(X)=X+*的定义域为｛%｝x工一1｝，

、X2+2X-3(X+3)(X-1)

•••f(x)=

令/'(x)＞0可得久＞1或久＜—3,

故函数/(x)的单调递增区间为(L+8),(-00,-3).

故选：A.

对函数求导，然后结合导数与函数单调性的关系即可求解.

本题考查函数的单调区间的求解，解题的关键是导数的应用.

6.答案：C

解析：解：从A,8中各取任意一个数共有2x3=6种分法，

而两数之和为4的有：(2,2),(3,1)两种方法，

21

故所求的概率为：-=--

63

故选C.

7.答案：D

解析：解：如图，

0M=0A+AM

一21一一

=。4+夫(AB+AC)]

]

=0^4+-[(OB-0A)+(0C-初)]

=^(0A+0B+0C)；

,■…一一.,---->,

・•・0A+OB+0C=n0M=-(0/14-OB+0C)；

-=1;

*,*71—3.

故选：D.

可作出图形，从而有丽=瓦？+而M为重心，从而有祠=，(四+而)，再根据向量减法的几

何意义便可以得到n丽=l(OA+OB+OC),这样根据平面向量基本定理便可得到三=1，从而便

可得出“的值.

考查向量加法、减法及数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及平面向量基本定理.

8.答案：D

解析：

本题考查了导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率，三角恒等变换，属于基础题.

曲线在x=1处的切线的倾斜角为a,所以yin】=tana,再利用三角恒等变换化弦为切，将tana代

入即可.

解：依题意，yr=-+-^,所以tana=；+：=3,

X11

所以cos(2a+5)=—sin2a

2sinacosa

sin2a+cos2a

2tana

tan2a+1

=-----——,

32+l5

故选：D.

9.答案：C

解析：•••a>0,b>0,

••--+-+2^>2J—+2^=^=+2y^b>2f=・2疯=4(当且仅当。=匕时等号成

ab\ab寂［向

立).

10.答案：A

解析：解：抛物线——4y=0,即-=4y,抛物线的直线方程为：y=—1,

故选：A.

利用抛物线方程，直接求出准线方程即可.

本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题.

11.答案：D

解析：解：取。E的中点M,8c的中点N,

贝上•等腰RtAABC中，AB=AC=2,D,E分别为A8,AC的中点,

沿。后将4ABC折成直二面角

沿。石将4ABC折成直二面角后，

四棱锥4-DECB的外接球的球心在和4M平行的直线00'上，

设四棱锥A-DECB的外接球的半径为R,球心到BC的距离为d,

则，R2=d2+2,R2=(d+y)2+(y)2

解得：R2=l，

故四棱锥4-CECB的外接球的表面积为S=4兀辟=io兀，

故选：D.

取。E的中点M,8c的中点N,则四棱锥A-DECB的外接球的球心在MN上，利用勾股定理，求出

半径，可得答案.

本题考查的知识点是球的体积与表面积，难度中档.

12.答案:C

解析：试题分析：•:不等式居1■刘麻哩a(x+y)对一切正数x、y恒成立，二a2(

令/(x,y)=,%>0,y>0.

令史=t>0,贝=3*既屉,g<t)=

鬟收中音浸j-gl朴鼠底g上篇一现［府«-&j

然，碘=

%峭3

-图倔7.|腐竹垂K序底

,,——j——J令“(t)=0,解得t=上,可知当t=±时，g(t)取得极大值即最大值,

&0

%工量叁邪渡走

g(C)=-------=兽，a22.故。的最小值为2.故选C.

5”亭

考点：恒成立问题的等价转化、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法

13.答案：2

解析：试题分析：由图及导数的几何意义知贵醇》=-：1,又/(5)=—5+8=3,故』飞四乜,非崎=

2

考点：本题考查了导数的几何意义

点评：函数朋=.巽:礴在需=强的导数值即是过点，翼星格疑¥所作该函数所表示的曲线切线的斜率

14.答案：12

2014

解析：解：5/015+1=(52—1)2015+1=cooi5.522015.(_1)。+do15.52•(―1)1+废015•

522013.(一1)2+…+C能-521.(—1)2014+f2015.52。.(-1)2015+1

=C乳5.522015.(_1)0+-522014.(_])1+.52^13.(_1)2+…+c第翟•521.(一1)2014,

因为每一项都有52,且52能被13整除，

故5/015+1被13整除，

则512015除以13,所得余数为12,

故答案为：12.

根据二项式定理，512015+1=(52-1)2015+1展开后即可判断.

本题考查了数的整除问题，利用二项式定理是关键，属于中档题.

15.答案：解：设|PF1|=x,|PF2l=y>(x>y)»根据双曲线性质可知％—y=4,

"

,.,ZF1PF2=90,

x2+y2=20,2xy=x2+y^~(x-y)2=4，xy=2,

二AF[PF2的面积为，y=l，故答案为1.

解析：思路分析：

设|PF1|=x,|PFzl=y，根据根据双曲线性质可知x-y的值，再根据NFIPF2=9(T，求得x2+y2的

值，进而根据2xy=x2+y2_(x-y)?求得xy,进而可求得，ZSFiPF2的面积.

解：设|PF"二x,|PF2|=y，(x>y)，根据双曲线性质可知％-y=4，VZF1PF2=90

x^+y^=20，；・2xy=x2+y2_(x-y)2=4,/.xy=2,

，△F1PF2的面积为;xy=l,故答案为L

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质.要灵活运用双曲线的定义及焦距、实轴、虚轴等之间的

关系

16.答案：解：(1)等差数列｛即｝的首项的=3,%=11，设公差为4则3+4d=ll,解得d=2.

・•・an=3+2(n-1)=2n4-1.

bn=an-12=2n—11.

数列｛%｝的前n项和%=n(-9+jnTi)=n2-10n.

(2)令%=2n-ll<0,解得九<5.

2

-n<5时，Tn=一瓦---bn=—Sn=-n+lOn.

nn6时，Tn——瓦一…一Z?5+“6+…+%=—2s5+Sn—九？一lOn-2X(25—50)—层—10n+

50.

—n2+10n,n<5

综上可得：T=

nn2—lOn+50,n>6

1111

z__

(3)danan+1(2n+l)(2n+3)2(2n+l

2n+3八

--

数列｛4｝的前«项和Rn=J[(I^)+•"+(3缶—蕾？]

_1/1_____n

-2%2n+3J~2n+3'

解析：(1)利用等差数列的通项公式可得M，再利用等差数列的求和公式可得数列｛%｝的前"项和%.

(2)令垢=2n一11W0,解得nW5.nW5时，Tn=-br--------%=-5".九26时，Tn=-br--------

%+坛T---+%=—2S5+Sn.

⑶J=3—=(2"+1；2n+3尸“*一熹)，利用“裂项求和”方法即可得出•

本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法、等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，

考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

17.答案：解：(I)•・,记_L元，，沅•五=(V3,cosA+1)•(si几4,-1)=y/3sinA+(cosA+1)•(-1)=0,

即遮sinA—cosA=1,sin(A-7o)="Z.

1.cA7TA7T57T

由于0<4<7T,6A66

.nn.n

AA——6=6’A=-3.

(II)在△ABC中，/=g,a=2,cosB=寺：•sinB=号

由正弦定理知：目=-4，

stnAsinB

2oxxz历i—

：,astnBv472

•b=—si—nA=—退=——3.

2

解析：本题主要考查正弦定理、同角三角函数之间的关系、两个向量垂直的性质及两个向量的数量

积公式的应用，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力.

(I)根据沅1n可得记•元=0,化简得至UsinQ4-勺=点再由0<4<兀可得一<4—<从而

6Noo6

得到4一£=?由此求得A的值；

OO

(II)利用同角三角函数的基本关系求出sinB的值，由正弦定理号=号，得b=吧哼,运算求得结

''sinAsinBsinA

果.

18.答案：证明：(1)•.•面4B1GL面41当84面4B1G。面=AXBX,JD1

CrD1平面人避避力，

GDu面"1。，

.,.面4G。1平面41B1B4.

(2)连结41c交4cl于。，连结。0,

-D,0分别是4/1，41c的中点，

•••D0//BrC,

•：DOu面AG。，

B]C〃面4GD

解析：(1)先证明出G"J■平面利用线面垂直的判定定理证明出面4cle1平面4/1B4

(2)连结41c交4cl于0,连结。0,先证明出。0〃BC根据线面平行的判定定理证明出8停〃面ACQ

本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理的应用.证明面面垂直的重要方法就是先找到线面

垂直.

19.答案：解：(I)从1,2,3三个数字中有重复取2个数字，其基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),

(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共9个,

设“甲在第二环节中奖”为事件A,则事件A包含的基本事件有(3,1),(3,3),共2个，

二P⑷=I.

(□)设乙参加此次抽奖活动获得奖金为X元，则X的可能取值为0,1000,10000….(7分)

9991771?2

P(x=°)=而P(x=iooo)=诉•产碱P(X=10000)=­—

・・・X的分布列为

X0100010000

99972

p

100090009000

99972

・•・EX=0x+1000x——+10000x——=3.

100090009000

解析：(1)确定从1,2,3三个数字中有重复取2个数字的基本事件，甲在第二环节中奖的基本事

件，即可求得概率;

(n)确定乙参加此次抽奖活动获得奖金的取值，求出相应的概率，可得分布列与数学期望.

本题考查概率的计算，考查分布列与期望的计算，考查学生的计算能力，属于中档题.

20.答案：解：(1)由题意知，4a=8,则a=2,

由椭圆离心率e=：=Ji=|则炉=3.

•••椭圆C的方程式+^=1；

43

(2)由题意，当直线A8的斜率不存在时，此时可设4(通,殉)，8(q,一出).又A,B两点在椭圆C上,

.竭4.四一1„2-12

..-+--l,xo-y,

•••点O到直线AB的距离d=后=穿，

当直线AB的斜率存在时，设AQi，yi),B(X2，、2)

y=kx+b

联立方程｛式+配=i，消去V得(3+4k2*+Qkbx+4b2-12=0.

43―

8kb_4b2-12

由已知△>0,%!+X2

3+4H'-3+4k2

由。41OB,则+ViV2=0，即欠i%2+("i+b)(k*2+b)=0,

2

整理得：(k++kb(X]+x2)+炉=0,

4b2-128k2b2

・・.(fc2+1)+b2=0.

3+4k23+4k2

7b2=12(/+1),满足△>0.

.•・点。到直线AB的距离d=7吗=怪=3空为定值.

Vl+fc2\77

综上可知：点O到直线AB的距离4=竽为定值.

解析：(1)由题意可知：4a=8,e=£=Ji-g=|,即可求得a和h的值，求得椭圆方程；

(2)分类讨论，当直线斜率存在时，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得6和左的关系，利

用点到直线的距离公式，即可求得点O到直线AB的距离是否为定值.

本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的

坐标运算，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题.

21.答案：解：(1)当a=1时，/(x)=x3-3x-1,则/'(x)=3X2-3=3(X-1)-(%+1),如下表：

X(-00,-1)-1(-14)1(1,+8)

/'(X)+0—0+

/(X)单增极大值单减极小值单增

故极值：1或一1.

=3x2-3a=3(x2-a)：①当aS0时，f'(x)20在［0,1］恒成立，即/(%)在［0,1］单增，.•.函

数/(©的最小值为f(0)=-1;②a>0时，/'(X)=0nx=或一6，xG/(x)为减，

［伍+8),f(x)为增；当7^21,即a21,xe［0,1］,f(x)单减，所以/"(1)最小值，而/■(1)=-3a；

当0<<1,即0<a<1,/(x)先减后增，所以/(VH)最小，f(VH)=(Va)3-3a-Va-1=—2a-

y/a—1:

综上，aWO时，/'(%)最小值-1,

aG(0,1),/(x)最小值一2<2仿一1,

ae［l,+oo),f(x)最小值-3a.

解析：(1)求极值和最值问题通常利用求导，根据导函数等于零，再判断是否是极值点，求出原函数

的单调性，进而求最值.

(2)要求［0,1］上的最小值，需求导利用单调性来求，必须对参数a讨论，。的取值范围不同，在所求

区间上的单调性不同，最小值时的自变量也不同.

本题考查函数的极值最值问题，先根据参数的取值不同，得函数的单调区间，再求最值，属于中难

度题.

22.答案：解：（1）由点4（1,0）,B（3,-遮〉

所以直线A8的直角坐标方程为：gx+2y-疗=0，“.（2分）

化为极坐标方程是：>/3pcosd+2psin6=遍；…（4分）

消去参数，化为普通方程是：y2=x（yN（））；...（6分）

即交点的直角坐标为点分“.（8分）

化为极坐标是：（|谭）….（10分）

解析：（1）由点A、8写出直线AB的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可：

（2）把曲线C的参数方程化为普通方程，求出直线与曲线的交点，再化为极坐标即可.

本题考查了直角坐标与参数方程和极坐标的互化问题，是综合性题目.

%2—ax+瓦(X之a)

23.答案：解：（1）/。）=%|%-可+8=

—x2+ax+仇(％<Q)'

va>0,

・•・当b>0时，x2—ax+b=0在％>Q上无解，—/4-a%4-b=0在％<a上恰有一解；

当b=0时，%2-ax4-h=0在x>Q上恰有一解，一/+ax+h=。在％<a上恰有一解；

当b<0时，%2—ax+h=0在％>Q恰有一解，若4=a2+4h<0,则―/+。％+匕=。在％<Q上

无解；

若4=a?+4b=0,则―/+Q%+匕=0在％<Q上恰有一解；若^=a24-46>0,贝ij—%?-|-ax4-h=

0在％<a上有两个不同解；

综上，在a>0的条件下，

当b>0或小+4b<0时，函数/（%）有一个零点；

当b=0或M+4/7=。时，函数/（%）有两个零点；

当一9<bv0时，函数f（%）有三个零点.

x2—(a+l)x+b(x>a)

⑺记以不)=/(%)-%