解三角形基础知识及典型例题（解析版）-2021年高考数学必考知识（解三角形）

专题1:解三角形基础知识及典型例题（解析版）

一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★）

1.正弦定理及其变形

—=—=—=2/?（7?为三角形外接圆半径）

sinAsinBsinC

变式：⑴Q=2RsinA"=2HsinSc=2HsinC（边化角公式）

（2）sinA=-^―,sinB,sinC=-^―（角化边公式）

2R2R2R

⑶a:8：c=sinA:sinB:sinC

,*、asinAasinAbsinB

（4）-=^—,-=­；,-=—；

bsinBcsinCcsine

2.正弦定理适用情况：

（1）已知两角及任一边；

（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）.

3.余弦定理及其推论

,b2+c2-a2

cosA=--------------

a2-b1+c2-2Z?ccosA2bc

a2+c2-b2

b1=a1+C1-laccosBDcosB=--------------

lac

222

c=a+i>-labcosC222

「a+b-c

cosC=-------------

2ab

4.余弦定理适用情况:

（1）已知两边及夹角;（2）已知三边.

注.解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化（这也

是正余弦定理的作用），统一成边的形式或角的形式.

5.常用的三角形面积公式

（1）=（x底x高；

(2)S=—ahsinC=—acsinB=—Z?csinA-装（A为AABC外接圆半径）

222

（两边夹一角）；

6.三角形中常用结论

（1）

a+b>c,b+c>a,a+c>仇即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）

（2）

在AABC中，A>Bu>a>/?osinA>sinB（即大边对大角，大角对大边）

（3）在中，A+3+C=，所以①sin（A+B）=sinC；②

cos（A+B）=-cosC；

③tan（A+5）=-tanC；④sincos£⑤cos*=

222

7.实际问题中的常用角

（1）仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文

的叫俯角（如图①）

（2）方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为a（如图②）

注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于

水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）

如：①北偏东。即由指北方向顺时针旋转1到达目标方向；

②“东北方向”表示北偏东（或东偏北）45°.

（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角。为坡角）

7）三角形的五心：

垂心一一三角形的三边上的高相交于一点

重心一一三角形三条中线的相交于一点

外心一一三角形三边垂直平分线相交于一点

内心一一三角形三内角的平分线相交于一点

旁心一一三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点

典型例题

典型例题

题型1正余弦定理的简单应用

1.在ABC中，角分别对应边a,〃,c,已知a=后，匕=6.角B=60，

求角C.

1.75

【分析】

先通过正弦定理求MA,再根据三角形的内角和为180求出C.

【详解】

解：由正弦定理得——=——，

sinAsinB

即yL=Ul_,解得sinA=立，

sinAsin602

因为b>a,则A必为锐角，

A=45，

,-.C=180—=180-60-45=75.

【点睛】

本题考查正弦定理的应用，是基础题.

2.已知：1如图，在梯形ABC。中，AD//BC,AB=AD=2，ZA=60°,BC=5,

求CO的长

2.719

【分析】

先在AABD求得BD,NABO,即得NDBC,再利用余弦定理求CD的长.

【详解】

因为A5=AZ>=2，NA=60。，所以八钻。为正三角形，

所以8D=2,NAB£>=60

因为AD〃BC,NA=60°，所以NABC=120ZDBC=60

因此CO?=22+52-2X2X5XCOS60=19；.C£>=M

【点睛】

本题考查余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.

3.△ABC中，a=7,c=3,_B————.

sinB5

(1)求b；

(2)求NA.

.(1)b=5；(2)ZA=120°.

【分析】

由正弦定理求得6,由余弦定理求得cos/A,进而求出N4的值.

【详解】

bc

(1)由正弦定理得——=-----可得,

sinBsinC

csinC35x3

一=-----=一，所以b=——=5.

bsinB53

(2)由余弦定理得

工=嗡詈=4'又因为叱(。小。)

所以NA=120。.

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属基础题，根据正弦定理求出b的值，是解题的

关键.

4.ABC的内角A，B,C的对边分别为。，b,c.已知a=币，b=2,A=60°.

(1)求sinB的值；

(2)求2的值.

4.(1)sinB=卢^；(2)c=3.

7

【分析】

由正弦定理求出sinB，由余弦定理列出关于c的方程，然后求出c.

【详解】

解：(1)因为°=近，b=2,A=60°.

由正弦定理，匚;2，可得及_=二_,所以sinB=变；

sinAsinBsin60°sinB7

(2)由余弦定理+。2-2/?ccosA，V72=22+C2-2X2CCOS60°'

c=3，c--\(舍)，所以c=3.

【点睛】

本题考查正弦定理和余弦定理，在已知两边和一边对角时可用余弦定理列方程求出第三

边.

5.若A8C的面积为也，h=Lc=C，且NA为锐角.

2

(1)求cosA的值;

sin2A

⑵求的值.

sinC

x一庭gsin2A273

5s.(n1)cosA=——(2)-----=----

3sinC3

【分析】

(1)根据面积公式求出sinA,再求出cosA,

-e/…2A2sinA-cosA2air

(2)先用余弦定理求出边a,再将式子化间.-------;----cosAA,求解即

smCsinCc

可.

【详解】

后

(1)因为A5C的面积为经，

2

所以SMe=gbcsinA=；xlxJ^xsinA=,所以sirb4=^^.

因为ABC中，NA为锐角，

所以cosA=Jl-sin2A=.

3

(2)在ABC中，由余弦定理，

2/Z

a2=Z72+c2—2bccosA=I2+—2xlxV6x—=3，所以a=>/3-

由正弦定理=所以也竺二色.

sinAsinCsinCc

sin2A2sinA-cosA2aA2x73瓜2百

所以------=-------------=----cosA=­；=—x——=----.

sinCsinCc<633

【点睛】

本题考查了三角形的面积以及正余弦定理，公式的熟练运用是解题的关键,属于基础题.

6.在AABC中，b=3叵,cosA-»B=+y-

32

(I)求4的值；

(II)求cos2c的值.

7

6.(I)a=3(II)—

【分析】

（I）根据同角的三角函数关系式，结合cosA="，可以求出sinA的值，运用正

3

弦定理，可以求出。的值；

（II）由cosA=45，B^A+-,运用诱导公式，可以求出sinB的值，根据同角

32

的三角函数关系式，可以求出cosB的值，运用三角形内角和定理和两角和的正弦公式

求出sinC，最后利用二倍角的余弦公式求出cos2c的值.

【详解】

解：（I）在AABC中，由cosA=——>Ae（0,乃）得sinA=Jl-cos?A=^~•

33

71

因为8=4+—，

2

由正弦定理，一=—也

sinAsinB

得asin(A+X)=3^2sinA,即acosA=3A/2X——,

23

所以。=3.

(H)因为cosA=逅，B=A+-,

32

所以sinB=sin(A+—)=cosA=，cosB--Jl-sin2B=--

233

所以sinC=sin(/r-A-B)-sin(A+B)=sinA♦cosB+cosA-sinB=-.

3

,7

故cos2c=l-2sm2C=—.

9

【点睛】

本题考查了正弦定理的应用，考查了同角的三角函数关系式,考查了：倍角的余弦公式,

考查了两角和的正弦公式，考查了数学运算能力.

题型2面积问题

7.已知。，a,c是A8c中3,A，。的对边，且5,A，C成等差数列.

（1）求A：

（2）若。=2,c-6,求ABC的面积.

7.(1)60°：(2)373.

【分析】

（I）由3，A，C成等差数列，得2A=8+C,再结合三角形内角和定理可求得结

果；

（2）直接利用三角形的面积公式求解即可

【详解】

（1）因为角8,A，C成等差数列

所以2A=5+C

又A+B+C=180°，所以A=60。.

（2）•••5。肥=^儿七由4=36

【点睛】

此题考查等差数列的性质的应用，考查三角形的面积公式的应用，属于基础题

8.在ABC中，a、b、c分别是角A.B.C的对边，且（2a-c）cos6=bcosC.

（1）求角B的大小；

（2）若b=7,a+c=8,求A8C的面积.

8.（1）B=-;（2）生.

34

【分析】

（1）根据正弦定理，将边化角，利用三角恒等变换以及三角形内角关系，即可求出结

果；

（2）利用余弦定理以及已知条件，即可求出ac=5,再根据S*Bc=；acsin8,即

可求出结果.

【详解】

解：（1）2sinAcossinCeosB=sinBcosC

2sinAcosB=sinCeosB+sinBcosC=sinA

...sinAwO,

cosB=一,

2

jr

又•：Bw（0,兀），：.B=-

3

（2）;Z?2=/+/—2〃ccos5，

49—u~+c~-cic—（Q+c）?—3ac-64—3ac,

."=5,S"c=gacsinB=|T5G

---.

4

【点睛】

本题主要考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基

础题.

题型3周长问题

9.在A6c中，角A，B,C的对边分别为。，b,J满足6c=《sinB+GcosB）.

（1）求角A；

⑵若a=25,ABC的面积为36，求45c的周长.

9.（1）y;（2）8+2V7.

【分析】

（1）由正弦定理可得百cosA=sinA，结合Ae（o,万）运算即可；

（2）由余弦定理结合三角形的面积公式可得解.

【详解】

解：（1）由正弦定理可得6x2RsinC=2RsinA（sinB+ecosB）,

"V3sinC=sinAsin8+百sinAcos6>

6sin（A+B）=sinAsinB+A/3sinAcosB，

V3cosAsinB=sinAsinB•

：sinBH0,

A/3COSA=sinA，tanA=G，

,/AG（0,兀）,

则A=三；

3

（2）由余弦定理可得q2=62+c2—3ccosA，

得（2历2=〃+c2-2bccos£,

化简得b1+c2-be-28>

又SABC=gbcsinA=3G，则。C=12,

解得b=6,c=2或8=2,c-6.

所以三角形周长为8+2/7.

【点睛】

本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了三角形的面积公式，属基础题.

10.ABC的内角A，B,C的对边分别为。，b,c,且满足：

2bcosBcosCcosA

-------------+-----.

acca

(1)求8；

(2)若ABC面积为S=26，外接圆直径为4,求ABC的周长.

10.(1)J；(2)6+26.

【分析】

(1)首先将己知等式化简，再利用正弦定理将边化角，即可求出结果；

(2)根据三角形面积公式可得ac,再正弦定理可求。，再利用余弦定理可求Q+C,

由此即可求出结果.

【详解】

2bcosBcosCcosA.,—x

(1)=------1-----=>2/?COSB=6ZCOSC4-CCOSA,

acca

得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB，

sinB^O/.cosB=—

2

・・.B=~.

3

(2)ABC的面积S=—acsinB=2\/3=>ac=S,

2

由正弦定理可知‘一=4n/?=2G,

sinB

illb2=a2+c2-2accosB=^a2+c2-ac=\2=>(a+c)2=12+3ac、=36,

则a+c=6,

A6C的周长为6+26.

【点睛】

本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

题型4判断三角形形状

11.在AA3C中，若/?=。(：05。，试判断AABC的形状.

11.AABC是直角三角形.

【分析】

由已知利用正弦定理再结合两角和正弦公式化简即可求解.

【详解】

b=acosC,

由正弦定理,得sin3=sinAcosC(*)

=+sinB=sin(4+C),从而(*)式变为

sin(A+C)=sinAcosC.

cosAsinC=0

又：A,Ce(O,%),

71

.••cosA=0,A=—,即AABC是直角三角形.

2

【点睛】

本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的简单应用，属于基础题.

12.在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2a?=(2b-c)b+(2c-b)c.

(I)求角A的大小；

(II)若6=2ccosA,试判断ABC的形状

12.(I)A=60°：(H)等边•:角形.

【分析】

(1)由已知三边关系，结合余弦定理即可求角4

(2)由正弦定理的边角互化，应用两角和正弦公式可得sin(A-C)=O,结合(1)的

结论即可知A6C的形状.

【详解】

(I)V2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,整理得bc=〃+c?—〃，

A=60°.

(II)由正弦定理，得sin3=2sinCcosA,而8=%—(A+C),

/.sin(i4+C)=2sinCeosA=sinAcosC+cosAsinC,即

sinAcosC-cosAsinC=0.

sin(A-C)-0,A-C,

A=B=C=60°>

二ABC为等边三角形.

【点睛】

本题考查了正余弦定理，根据三边关系应用余弦定理求角，由正弦定理的边角互化、两

角和正弦公式判断三角形形状，属于基础题.

题型5三角形外接圆问题

13.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a+,b=LCOs3.

2

(I)求角C;

(2)若。=2,6=3,求A3C外接圆的半径.

(1「2万m,57

13.(1)C=--；(2)----.

33

【分析】

(1)利用正弦定理边化角公式可得sinA+-sinB=sinCeosB，再将•

2

sinA=sin(C+B)

整理可得cosC=—4，C=女

23

(2)根据余弦定理可得c=晒再根据正弦定理求出2R=，即可得R

sine

【详解】

解:(1)由正弦定理知sinA+』sin8=sinCcosB

2

有sin5cosc+cosBsinC+—sinB=sinCeosB,且sinBw0,C£(0,TT)

2

12"

所以cosC=——,C=——

23

⑵/=a24-Z?2-2abcosC=19,c=V19,

°_M_2庖明回

/1\_____—~~——-----f\-----

所以sinCG3'3

2

【点睛】

本题考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题.

14.在418c中，a、b、c分别为角A、B、。所对的边，20cosC—2a+c=0.

⑴求角8的大小；

(2)若b=2,求AABC外接圆的半径.

7t

14.(1)B=--.(2)

3

【解析】

【分析】

(1)利用余弦定理将已知等式转化为cosB的，由此求得cosB的值并求得8的大小;

(2)利用正弦定理可直接求得三角形的外接圆半径.

【详解】

(1)2bcosC-2«+c=0,由余弦定理得：

c,a2+b2-c2c

2bx-----------2cl+c=()n,

lab

=>cr+c~一h~—cic<

lac2

0<B</r

(2)设AA3C外接圆的半径为R，由正弦定理知

【点睛】

本小题主要考查利用余弦定理和正弦定理解三角形.求出cosB的值后，由于其值为正

数，故为锐角.题目属于基础题.

题型6求范围问题

12

15.在ABC中，己知tanA=一

13

(1)若A3c外接圆的直径长为一，求的值;

2

(2)若ABC为锐角三角形，其面积为6,求BC的取值范围.

6：⑵,竽

15.(1)

.7

【分析】

由三角形内角求得sinA,cosA,

(1)由正弦定理，一=2H可得;

sinA

(2)由三角形面积得bc=13,利用正弦定理可把一@一用仇。表示为

sinA

a_/be

，这样只要求得sinBsinC的范围即

sinA-VsinBsinC

可.sinsinC=sinBsin(^-A-B)=sinBsin(A-I-B),展开后应用二倍角公式,

辅助角公式化为Asin(松“)+攵形式，然后结合正弦函数性质可得范围，其中可求得

re.7i

Bw——A一.

22J

【详解】

12

(1)由已知tanA=不，又人£(0,万)，sinA>0,cosA>0,

sinA12

----=—125

山〈cosA13解得sinA=—，cosA=一,

.2A2A11313

sinA+cosA=1

由正弦定理得-^=2R=U,13

:.BC=—sinA

sinA22213

12则S"c=；b°sinA=6,be=13.

(2)由(1)sinA=—cosA=—

1313

bcpaIbe

由正弦定理」----=-----得-----B<-,C<-

sin8sinCsinAVsin5sinC

BG

a=be=13=13

sinAVsinBsinCvsinBsin(^-A-B)vsinBsin(A+B)

25."仁一后+斗

••.3="4时，焉==苧，a=呼,

2幅5

关键点点睛：本题考查正弦定理，三角形面积公式，考查三角函数的恒等变换.关键是

由正弦定理用角表示出边一@—=J——....再利用三角函数性质得出边的范围.

sinAVsin5sinC

16.如图，在平面四边形ABC。中，Zfi=120°,AB=2，NR4C的平分线与交SC于

点E，且AE=J^.

(I)求及AC；

(II)若ZM>C=60。，求四边形A5CD周长的最大值.

16.(1)NBAE=15°,AC=26；(II)473.

【分析】

AEAB

(1)在ZXABE中，由正弦定理，-----=----------，求解出N8E4和NS4石，再

sinBsinZBEA

由4L4E得到N84c和ZACB，根据余弦定理求解出AC的值即可；

（2）由（1）知，BC=AB=2,令AD=〃Z,CD=n,在八48中，由余弦定理

可以得到（小+〃）2=12+3加，再由基本不等式可求出机+〃的最大值，即可求出四边

形ABCD周长的最大值.

【详解】

（I）在△AfiE中，由止弦定理得sin/A£B=-------=-----产=—，

AE屈2

又ZAEB<NB，则NA£B=45°,于是44E=180。-120。-45。=15°,

.-.ZBAC=30,ZACB=180°-120°-30°=30°,:.BC=AB=2,

在MC中，根据余弦定理得AC?=2?+22—2X2X2XCOS1200=12，

:.AC=20.

（II）令AD=根，CD=n.在△ACZ）中，

由余弦定理得（26）=m2-\-rT-2mncos60=（m+n^-3/nn,

即有（m+〃）2=12+3，w〃〈12+3x（生土4,即（"'+"）«12,...（〃?+〃）44省，

k2J4

当且仅当根=〃=26时，"=”成立.

【点睛】

方法点睛：本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查基本不等式的应用，解三角

形问题中可以应用正余弦定理的题型有：

1.已知一边和两角；

2.已知两边和其中一边的对角；

3.已知两边和它们所夹的角；

4.已知三边.

17.在ABC中，ZA,B8,NC的对边分别为“，b,c.已知

V2ccosC-acosB+£>cosA

（1）求/C的大小；

（2）已知。+匕=4,求ABC的面积的最大值.

71L

17.（1）C=—；（2）V2.

【分析】

（1）利用正弦定理将边化角，结合诱导公式可化简边角关系式，求得cosC即可求解;

（2）利用基本不等式可求得（ab）max=4,代入三角形面积公式可求得结果.

【详解】

（1）由0。以的。=。（：058+/?以的4，化简可知，

>/2sinCcosC=sin（A+B）=sinC,

得cosC=-，

2

由Ce（O,万），故C=

（2）由。+。=4,得"46+.）=4,

4

故S5c=g"sinC<亚，

当且仅当。=〃=2时取等号，

所以ABC面积的最大值为近.

【点睛】

关键点点睛：由正弦定理进行边角转化是化简三角恒等式的关键，求面积的最值转化为

求。。的最值，合理使用均值不等式求最值，是解决问题的关键.

题型7三角形解的个数

18.在ABC中，a,b,c是角A，B,。所对的边，且a=3,b=&>，NB=45°,

则NA等于（）

A.60°B.120°C.60°或120°D.135°

18.C

【分析】

利用正弦定理求得sinA，根据大边对大角确定A的范围，得到A的值.

【详解】

a=3,h=底，NB-45°,

&显

由正弦定理得..asinB-26

sinA=-----=—r=-=—

b屈2

a>b,:.A>B'

.•.45°<A<180°

.,.A=60°或A=120°,

故选：c.

【点睛】

本题考查正弦定理，在已知两边一对角时，利用正弦定理解三角形，注意大边对大角，

对另一个对角的范围进行限定，从而做出正确选择.

19.已知ABC中，内角A、B、C所对的边分别b,c,4=30°,a=0,

b=2,那么满足条件的ABC()

A.有一种情形B.有两种情形

C.不可求出D.有三种以上情形