决战2021届高考数学全真模拟黄金卷11（理）（新课标Ⅰ卷解析版）

黄金卷11(新课标I卷)

理科数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.设集合A={y|)，=l-2>,B={x|x<-1},则4口(品3)=()。

A、(-co,-1]

B、(—8,1)

C、(-1,1)

D、(—1,+8)

【答案】B

【解析】由题意可知，集合A=(-8,l),CR8=(-1,+OO),40(。~8)=(-1,1),故选C。

2.若复数z=则zS=()o

2-i

A、1

B、2

C、V5

D、5

【答案】A

2+i(2+i)2手，心二号.等“故选A.

【解析】z=----

2-i

03

3.已知=蚯，b=log3,c=(tany),则()。

A、a>b>c

a>c>b

C、h>a>c

D、c>a>b

【答案】D

030

【解析】a=V2=2、>2。=1,b=log3g<log31=0,0<c=(tan-^)<(tan-^)=1,

a>c>b，故选Bo

4.函数/（幻=/—的图像大致是（）o

【解析】构造函数必=/和丫2=%•，，则y=%，

则x=0或/="•,画g（x）=x4和h（x）=ex的图像,

则%4和e”在（-3,3）上有两个解，

其中一个在（-1,0）之间，一个在（1,2）之间,故选B。

5.小明在学校里学习了二十四节气歌后，打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗，他准备在冬季的

6个节气：立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒与春季的6个节气：立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷

雨中一共选出4个节气，搜集与之相关的古诗，如果冬季节气和春季节气各至少被选出1个，那么小明选取

节气的不同情况的种数是（）。

A、345

B、465

C、1620

D、1860

【答案】B

【解析】根据题意可知，小明可以选取1冬3春、2冬2春、3冬1春,

故小明选取节气的不同情况有:C>C；+《.德+盘・以=465（种）,故选B。

6.运行如右图所示的程序框图，则输出的％的值为（）o

A、11

B、12

C、13

D、14

【答案】C

【解析】山算法框图可知，S是首项为1,公比为2的等比数列的前〃项和,

即S=2°+2:…+2"i=2"—1,

121312

Vlog2(2-l)<12,log2(2-l)>log2(2)=12,Z=13,故选C。

7.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）o

A、4兀

B、6兀

C、8兀

D>12兀

【答案】A

【解析】由三视图可知，该几何体是由两个半圆锥组合而成的,

两个半圆锥的底面半径均为2,高分别为4和2,

该几彳可体体积V=-X-XKX22X4+—X-XTCX22X2=4TI,故选A。

2323

8.已知函数/(x)=%3+sinx,若aw[O,兀],pe[-—,—],且『(二一a)=/(2。),则cose+0)=()。

4422

AV32

、

V3

B

、

72

2一

c

、

V23

D

、

【答案】B

【解析巾单调递增，fa)/等］,阻-等］,则小)在产中上递增,

6

则g-a=2P，cos(£+p)=cos；=-^-,故选B。

x-y<0

9.已知实数x、y满足约束条件加-yWO,其中mv-l,若目标函数y二二^的最大值为2,则机=()。

x-tn

A、-2

B、—2或上

2

C、—2或一

2

D、

2

【答案】A

【解析】表示区域为如图阴影部分，A(—^,上一)、,

勿2+1机+122

目标函数2=y的几何意义是可行域内的点（居y）与P（m,O）所连直线的斜率最大,

x-m

m

故有即A=-F±1—=2,即2机2+3机-2=0,解得机=—2或1（舍），故选A。

----------m2

m+1

10.已知边长为26的菱形ABC。中，44=60°,现沿对角线6D折起，使得二面角A—3D—C为120°,

此时点A、B、C、。在同一个球面上，则该球的表面积为（）。

A、20K

B、24TU

C、28兀

D、32K

【答案】C

【解析】如图分别取8D,AC的中点何、N,连MN,

7

则容易算得4W=CM=3,MN=-,MD=6

2

由图形的对称性可知球心必在MN的延长线上，

设球心为O,半径为R,HN=x，

227

/?­=X+一

则由题设可得（4,

/?2=（|+X）2+3

1177

解之得》=一，则/?2=一+一=7,，球的表面积5=4成2=28兀，故选C。

244

11.在双曲线C：5-2=1（。〉0,8〉0）的右支上存在点A,使得点A与双曲线的左、右焦点耳、居形

ab

成的三角形的内切圆P的半径为。，若A”；鸟的重心G满足PG〃6g，则双曲线C的离心率为（）。

A、V2

B,V3

C、2

D、M

【答案】C

【解析】如图，由PG平行于x轴可得%=力=。，则以=3几=3。，

•••53的=；2・3。=：（|46|+|Ag|+2c）a

又|用|一|伍|=2a,则|A^|=2c+a,\AF2\=2c-a,

由焦半径公式IAT1|=。+2工4得4=2a,

4a29Mf-

因此42a,3a)代入双曲线方程得空;-咚=1可得分=岛,

ab

/.c=y]a2+b~=2a,即6=£=2,故选C。

12.已知函数/(x)=2吧+a-2ax,若存在唯一的整数与，使，(面)>(),则实数。的取值范围是()。

X

Aln3In2.

A、r『T)

B、四垮

52

「ln2In3

0、(石丁

D、(In2,In3)

【答案】A

【解析】/(x)的定义域为(0,+8),由/(x)>0,得网2>2ax-a,

X

令g(x)='ln"，定义域为(0,+8),h{x)=2ax-a>定义域为(0,+8),

x

则,令‘(外二。，解得x=e,

则g(幻在(0,e)上单调递增，在(处+⑹上单调递减，・・・g(幻在1=e处取极大值也是最大值,

3

乂g(e)=—、g(D=。，当xf+8时g(x)>0,

e

・・・作出g(x)的大致图像如图所示，

易知/?(x)的图像是恒过点(；,0)的直线，

若々<0,则显然不符合题意，

3In2)

---->4a-a

g(2)>h(2)即[2,—<a<->故选A。

若。>0,

g(3)<M3)31n3-52

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量Z=(2,1),|3|=石，aY(k-2b),那么向量Z与］的夹角为

【答案】-

3

2——j————1—•f九

【解析】a-2ab,5=2xV5xv5cos<^/?>,则cosv〃”>=—,则〃与方的夹角为一。

23

14.在（1+刈4・（1+纺，）6的展开式中，若含f.『项的系数是［5,则实数。的值为o

【答案】-

2

【解析】含/.>3的项为C：•/.C：./.y3,则其系数C2c3a3==15,则4=:。

15.已知数列｛%｝的通项公式为4=〃（〃+l）.sin/（〃£N+）,其前〃项和为S〃，则§8二

【答案】-36

aa

［解析】对VAEN+,ck=a4k-3+4k-2+4k-\+a4k

/AIOX/A1C\.(4左—3)兀...1、.(4攵-2)兀

=(4攵-3)(4%-2)-sin------------F(z4k-2nx)/(/41%—I)-sin-----------

22

‘Ai.(42-1)兀.....［、.4%兀

+(42-1)4%-sin--------+42(4%+1)•sm

=(4左一3)(4%—2)X1+(4k—2)(4%—1)x0+(4%—1)44x(-1)+4k(4k+1)x0

=-16k+6,

S8=C［+c2=-16x(1+2)+6x2=—36。

16.在AABC中，内角A、8、C所对的边分别为a、b、c,且点。是AB的中点，若CO=1,（a-gb）-sinA=

（6+c）・（sinC-sinB）,则A4BC面积的最大值是

【答案】晅

5

【解析】如图，设NCR4=0,则/。03=兀—。，

在AAC。和中，分别由余定理可得：

22

幺+―2Ji-/

COS0=--------，COS0T-0）=---------,

两式相加整理得-+2-(a2+b2)^0,.,.c2=2(a2+/)-4①,

2

由（。-,6）・5亩4=（匕+。）-（5•。-5亩3）及正弦定理得（。一,。）.。=伯+。）.（。-方），

22

整理得/+〃_。2=丝②，由余弦定理的推论可得：COSC='+、C2

22ab4

・・・sinC=巫，把①代入②整理得：a2+b2+—=4,又/+〃之2而，

4-2

当且仅当a=b时等号成立，.••422M+丑=空，即"4号，

225

SMSC=-«/7.sinC<-x-x^l=^i,即A4BC面积的最大值是—。

MSC225455

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（12分）已知数列｛%｝和｛%｝都是等差数列，q=1。

n2

⑴求数列｛4｝的通项公式；

⑵设a=4，数列｛〃,｝的前W项和为S.,求证：S“<8。

【解析】（1）设等差数列｛/｝的公差为d，，a2=g+d，%=g+2d，

1分

2分

1,1

299

a(弓+")〜1(i+2")”

又数列｛与｝是等差数列，；.2x、一=；+七一,3分

化简得"2一[+1=0,解得d=L,

4分

42

11ri

则4=5+("T)X]=5；5分

14

⑵由⑴可知"=—==，6分

%〃

当〃=1时，仄=4,S]=4=4v8,符合，7分

441I

当〃之2时，b=-^<-------=4x(-------),9分

n2n(n-l)n-\n

S〃=4+与+…+d<4+4x(--—+---+•••+--)=4+4x(l--)<8，11分

1223n-1nn

综上，当〃£&时，S〃<8。12分

18.（12分）如图,斜平行六面体43。。一45购。中，AB,±4°i-AiB=AB=BBi=4,AD=2,4。=26。

（1）求证：平面_1_平面A[BC；

（2）求二面角A-C4]的余弦值。

【解析】（I）由题意可知5c〃AA，•••1分

平行四边形ABB14中，钿=8四，.•.四边形河同为菱形，2分

ABi±AiB,•：\B^BC=B,，人用JL平面4BC,3分

丫AB|U平面.•.平面平面ABC；4分

（2）VBC1AB1,BC±平面ABB14,

,/8Cu平面ABCD,；.平面A3CO_L平面ABB^,

平行四边形CDRG中，AB=BB、，：.四边形CDD©为菱形，

连接BD，交AC于E,取CO中点。，连接。。、OE，可得。。J•平面ABC。，6分

故可以以OE、OC、。鼻所在直线分别为x、y、z轴建系如图，

则C（0,2,0）、8（220）、A（2,-2,0）、A,（2,0,2百），

则祝=（-2,2,-2回AC=（-2,4,0）,诙=（-2,0,0）,7分

设平面A41C的法向量为机=（孙yv4）,

则卜2%+2必-2岳=0,令％=2,则当=1,4=-旦

-22+4%=03

平面A4c的法向量为蔡=（2,1,-#），9分

设平面441C的法向量为，7=（如如Z2）»

则卜2々+2%-2怎2=。，令力=6,则30,Z2=l,

-2元2=0〜〜

；・平面BA］C的法向量为〃=（。，行/），11分

--2x0+1x73+（-x1

.31

..cos<mn>=————=/----------------------=—,

9川・问12+产+（当2.扬+向+/4

设二面角A—C41-3的平面角为。，经观察。为锐角，则cosO=|cos<，77,〃>|=j。12分

19.（12分）某企业有甲、乙两条生产同种产品的生产线，现从这两条生产线上各随机抽取50件产品检测

质量（单位：克），质量值落在（490,500］、（530,540］上为三等品，质量值落在（500,510］、（520,530］上为二

等品，质量值落在（510,520］上为一等品。下表为甲、乙两条生产线上抽取的50件产品的抽样情况，将频率

视为概率。若从甲生产线上随机抽取5件产品，其中二等品的件数X的数学期望是1。

产品质量（克）甲生产线抽样的频数乙生产线抽样的频数

(490,500J33

(500,510]47

(510,520]X30

(520,530]y8

(530,540]22

（1）求x、y的值；

（2）从两条生产线上各抽取一件产品，求甲生产线上产品的等级优于乙生产线上产品的等级的概率（一等品优

于二等品，二等品优于三等品）。

【解析】（1）由题中表格知甲生产线上：等品的频率为山，

50

将样本频率视为概率，可估计从甲生产线上任取一件产品为二等品的频率为P=&,

50

X〜,AE（X）=5x^-=^-=l,故y=6,x=35；4分

505010

（2）甲生产线上一等品概率为至=0.7,二等品概率为3=0.2,三等品概率为9=0.1,7分

505050

乙生产线上一等品的概率为—=0.6,二等品的概率为—=0.3.

5050

三等品的概率为』=0.1,10分

50

设A,用（i、/=1、2、3）表示甲产品是i等品，乙产品是/等品的事件，

则——）=0.7*0.3=0.21,P（A.）=0.7x0.1=0.07,P（A2B3）-0.2x0.1=0.02,

则甲生产线上产品等级优于乙生产线上产品等级的概率为：

P=P（A52）+P（AB3）+P（453）=0.3。12分

22

20.（12分）己知椭圆C|：二+斗=1（。>6>0）的一个焦点与抛物线C,：尸=2G的焦点尸重合，两条

a-h

曲线在第一象限内的交点M满足|。

（1）求椭圆C,以及抛物线C?的标准方程；

（2）过椭圆另一焦点E作直线/（斜率存在但不为0）与椭圆相交于A、B两点,在椭圆长轴上取一点P,使得

西•丽为定值，试求点P的坐标及这个定值。

【解析】⑴由已知尸仁,0）,则c=£,.,•〃二/一多产二（/,设y0）,

则由抛物线定义有.|MF|=Xo+1=g，即与2分

:点M在抛物线上,

22

C

椭圆G的标准方程是5+5=1，抛物线2的标准方程为V=4X：4分

y=Z*+l)

⑵由⑴可知点石的坐标为(-1,0),设直线/：)=依％+1),联立2

—+—=1

43

消去y化简得(4r+3)x2++4/-12=(),

-SA?Ab2-12

设A(w，%)、B(X2,y2),则百+%2=4入2a，FFJ心2J7分

QK十34K十J

设P(m,0)(—2〈加〈2),则：

PA•PB=(x)-m,切),(々一根，％)=($一团，攵(国+1))・(々一6，2(巧+1))

2

=(1+%2)X]-x2+(42-m)(Xj+X2)+/H+42

(4/n2+8w-5H2+(3,n2-12)，八人

=------------5-------------，10分

4&2+3

~~i4m2+8/77-53m2-12,113m2-12135

若B4-P3为定值，则ni-----------=--------，解/A7得zrlm=一一，止L匕l时--------=-----，

438364

故点尸的坐标为(-：,0),定值为-詈。12分

»77•

21.(12分)已知函数/(九)=-...+lnx-x(me/?)o

x

(1)当m=2时，求函数/(x)的最小值；

e

_9/71,PX—%?

(2)若加・02之2,g(x)=----------,求证：/(x)vg(x)。

X

1x

【解析】(l)/(x)的定义域为(0,+8),当初=一时，/(%)=e—+lnx-x,

eex

小)=03—1=如冲心，1分

exxex

令N(x)=e*—0(x>0),则|j'(x)=e*—e,当R'(X)=0时x=l,

当0<x<1时ji'(x)<0,则似幻在(0,1)上单调递减，

当x>l时|i'(x)>0,则n(x)在(1,+QO)上单调递增，

则x=1时g(x)取极小值也是最小值,则g(x)>g(l)=0,

即在(0,+8)上|_i(x)=e*-"NO恒成立，4分

则当0<x<1时/'(x)<0,则f(x)在(0,1)上单调递减，

当x>l时_f(x)>0,则f(x)在(1,+8)上单调递增,

.•.当x=l时/>(X)取极小值也是最小值，/(x)min=/(l)=0；6分

77?•夕'

(2)令F(x)=/(x)—g(x)=lnx---,F(x)的定义域为(0,+oo),

x

..2、r.、2.,1m-ex-x-mexx-m\x-V)-ex

・me>2,..m>-y,.•加>0,F(x)=----------勺----------7分

exx

当OvxKl时，F(x)>0,尸(x)在(0,1］上单调递增,

F(x)<F(l)=—me<0»/(x)<g(x),8分

当时'/⑶:一中叱一小］,

1

令G(x)=e"-----——(x>l),则当“/22时，Gf(x)=ex+>0,

G(2)=e2--=m'e'~2>o,•：m-e2>2,：.\<-^—<2,9分

mmm-1

2

,存在f满足l</<42得—-->e2,则有GQ)=e'------—<e2-e2=0,

me-1m(t-l)m(t-l)

•/G(f)•G⑵<0,G(x)存在唯一零点x0e(1,2],

即尸(x)有唯一的极值点且为极大值点x0,x06(1,2],10分

x

由G(x0)=0可得e°=—————，故F(x0)=lnx0----—,

/7?(x0-1)x0-1

令N(x)=Inx---,xe(1,2].则^(x)=—+——~->0,

x-1x(x-1)

p(x)在(1,2]上单调递增，,n(x)<黑2)=In2—1,

故尸(瓦)〈1112-1<0,.\/。)<8(无)，11分

综上，f(x)<g(x)o12分

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目

计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x-l『+V=1,直线/：机=(),以坐标原点为极点，x轴

的正半轴为极轴建立极坐标系。

(1)求圆C的极坐标方程与直线/的参数方程；

⑵设点P(“,0),若直线/与圆C交于A、B两点,且|Q4|-|P8|=1,求实数机的值。

6

x=——t+m

2

【解析】(1)圆C：x2+y2=2x,则极坐标方程为p=2cos0直线/：(f为参数)；4分

1

y=­t