清华附中2020-2021学年第一学期期末考试高一数学试题及答案

清华附中2019-2020学年第一学期期末考试

高一数学试卷

一.选择题（每小题4分，共40分）.

1.(4分)已知集合A={x|f<1},且则〃的值可能为()

A.-2B.-1C.0D.1

2.(4分)下列函数在定义域内单调递增的是()

A.y=x2B.y=tanxC.y=0.5vD.y=/gx

3.(4分)若点P(4,3)在角a的终边上，则cosa=()

A.-B.-C.-D.-

5543

4.(4分)在a=k>g3().l,b=tan—,c=22，d=sin2中，最大的数为()

4

A.aB.bC.cD.d

5.（4分）“a+尸=耳+22乃，女eZ”是"sina=cos尸”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.（4分）下列区间包含函数/'（x）=x+log2X-5零点的为（）

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

7.(4分)函数/(x)=丁」一的定义域为(

)

历(元+1)

A.(-1,0)50，+8)B.[-1,0)50，”)

C.[―1,4-00)D.(-l,+oo)

8.（4分）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则

平均仓储时间为土天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均每件产品的生产准备

8

费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）

A.60件B.80件C.100件D.120件

9.(4分)已知6=(0,2),sin20=-贝!Jsin。-cos6=()

439

2「瓜D瓜

A.-B.—j—

3333

10.(4分)若函数f(x)的图象上存在一点A(Xo,%),满足为+%=0,且x(>y(产0，称函

数.f(x)为“可相反函数在：①y=sin无；②丫:/"*；③y=x?+4x+l；④丫=--”中,

为“可相反函数”的全部序号是()

A.①②B.②③C.①③④D.②③④

二、填空题(每小题5分，共30分).

11.(5分)已知幕函数f(x)=x"'经过点(2,；),则/(夜)=.

12.(5分)已知。为第二象限角，且sin®=2,则sin(O+2)=

32

13.(5分)已知函数/(x)=Asin(ox+e)(A>0,a)>0,\(p\<7t)的部分图象如图,则函数/(x)

的单调递增区间为一.

-1-

14.(5分)关于函数f(x)=sinx与g(x)=cosx有下面三个结论：

①函数/(x)的图象可由函数g(x)的图象平移得到：

②函数/(X)与函数g(x)在(乙，左)上均单调递减；

2

③若直线x=t与这两个函数的图象分别交于不同的A,8两点，则|A8|,,1.

其中全部正确结论的序号为—.

15.(5分)已知函数/。)=归+2'"，1,若函数丫=/(冷-左恰有两个不同的零点.则实

\x,x>\

数上的取值范围为.

16.(5分)定义：如果函数y=/(x)在定义域内给定区间［〃，上存在〈A1。<b),满

足/(为)=于9)一,9),则称函数尸/⑴是口,加上的“平均值函数”.X。是它的一个均

h-a

值点，若函数〃X)=X2+小是［7,1］上的平均值函数，则实数机的取值范围是—.

三、解答题(共6小题，共80分).

17.(13分)计算：

(1)log64+21og63.

(2)必痒啦

(3)cos120°+tan1350.

18.(13分)已知sina-cosa='

sina+cosa2

(1)若0为第三象限角，求COS2的值；

(2)求tan(a+?)的值；

(3)求cos2a的值.

19.(13分)己知函数f(x)=|log.x|(4>0MHl).

(1)若/(2)=-,求实数a的值；

2

(2)若0Vxi<工2，且/(5)=/“2)，求七工2的值；

(3)若函数/(x)在己，3]的最大值与最小值之和为2,求实数a的值.

2

20.(13分)已知函数/(x)=4cosxsin(x+三).

6

(1)求/弓)的值；

(2)求函数/(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程：

(3)对于任意xe[0,词均有f(x).J(0)成立，求实数机的取值范围.

21.(14分)若函数/(x)的定义域为R,且存在非零实数T,使得对于任意xeR,

/(x+T)=V(x)恒成立，称函数/(x)满足性质P(T).

(1)分别判断下列函数是否满足性质p(1),并说明理由；

①fM=sin2/rx；

②g(x)=cos4x•

(2)若函数/(x)既满足性质P(2).又满足性质P(3),求函数/(x)的解析式；

(3)若函数f(x)满足性质尸(1.01).求证：存在使得|/(不)|<0.001.

22.（14分）已知集合A为非空数集，定义A+={x\x=a+b,a,b^A},AT={x\x=\a-b\,

a,feeA}.

(1)若集合A={-1,1},直接写出集合A*及A?

(2)若集合A={X1,x2,七，x4},xl<x2<x3<x4,且A=A,求证七+七=々+W；

(3)若集Aq{x|O领k2020,xeN},且川A-=0,求集合A中元素的个数的最大值.

参考答案与试题解析

一.选择题（每小题4分，共40分）.

1.（4分）已知集合4={回/<1},且aeA,则〃的值可能为（）

A.-2B.-1C.0D.1

【解答】解：集合A={x|x2<l}={x[—

四个选项中，只有OeA,

故选：C.

2.（4分）下列函数在定义域内单调递增的是（）

A.y=x2B.y=tan.rC.y=0.5vD.y-

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,y=V,是二次函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；

对于y=tanx,是正切函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意;

对于C,y=0.5',是指数函数，在定义域内单调递减，不符合题意；

对于。，y=lgx,是对数函数，在定义域内单调递增，符合题意；

故选：D.

3.（4分）若点P（4,3）在角a的终边上，贝Ucosa=（）

A.-B.-C.-D.-

5543

44

【解答】解：点尸（4,3）在角，的终边上，则cosa=J=3,

V42+325

故选：A.

I

4.（4分）在a=log3（）.l,/?=tan—,c=22，d=sin2中，最大的数为（

4

A.aB.bC.cD.d

【解答】解：a=log0.1<0,/?=tan—=1,c=22G（0,1）,J=sin2<1,

34

则最大的是匕=1.

故选：B.

5.（4分）“a+£=]+2Qr,女£Z”是"sina=cos〃”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

jr

【解答】解：sina=cos/3=>cos(~_=cosp,

IT

0=2k冗士23-a),k0Z.

JT-rr

化为：a+/3=-+2k7t,keZ,或尸一e=-一+2%/,keZ,

“a+/3=S2k兀,keZ"是"sinc=cos£”的充分不必要条件.

故选：A.

6.(4分)下列区间包含函数/Q)=x+log2X-5零点的为()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

【解答】解：经计算/(1)=1-5=-4<0,f(2)=2+1-5=-2<0,f(3)

=3+log23-5=log23-2<0,f(4)=4+2-5=1>0,

故函数的零点所在区间为(3,4),

故选：C.

7.(4分)函数/(外=丁」一的定义域为()

/心+1)

A.(-1,0)0(0,+00)B.[-1,0)0(0,+oo)

C.[—1,+oo)D・(—1,4-00)

【解答】解：要使函数有意义，则及(x+l)wo,且x+l>0,

即冗>一1且工工0,

故函数的定义域为｛x|x>-l且XH。｝,

故选：A.

8.(4分)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产1件，则

平均仓储时间为土天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均每件产品的生产准备

8

费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()

A.60件B.80件C.100件D.120件

【解答】解：根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是

Y1

800+X-=800+-X2

88

1

800+-x29

这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为/'(%)=——J=幽+4&为正整数)

Xx8

由基本不等式，得〃x)..2=20

当且仅当助=lx=10时，f(x)取得最小值、

x8

可得尤=80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小

故选：B.

冗1

9.(4分)已知6=(0二),sin26»=-,贝Hsin®-cos'=()

43

.22「巫76

A.—RB.—C.—nD.------

3333

【解答】解：0=(0,—)(sin20=—>

43

sin。-cos0<0,

sin0-cos0=—^/(sin0-cos0)2=-^1-sin20==~~~■

故选：D.

10.(4分)若函数/(x)的图象上存在一点A(与，y0),满足%+%=0,且%为=0,称函

数f(x)为“可相反函数在：®^=sinx；②y=/nx；③yn^+dx+l；④"—-"中,

为“可相反函数”的全部序号是()

A.①②B.②③C.①③④D.②③④

【解答】解：由定义可得：；

函数/(x)为''可相反函数”，即函数/(x)与直线y=-x有交点且交点不在坐标原点.

结合图象可得：只有②③④符合要求；

故选：D.

二、填空题（每小题5分，共30分）.

11.（5分）已知幕函数=/经过点（2」），则，（0）=_；

【解答】解：幕函数f（x）=x"'经过点（2,；）,

即2"'=1,解得机=-2,

4

所以f(x)=x~2；

所以/（收）=（0）-2=g.

故答案为：—.

2

12.（5分）已知。为第二象限角，且sin6=2,则sin（6+¥）=•

【解答】解：因为。为第二象限角，且sinO=2,

3

所以cos6=-正,

3

则sin（6+—）=cos0=一或•.

23

故答案为：-与

13.（5分）已知函数/（x）=Asin（0x+°）（A>0,ty>0,\（p\<7r）的部分图象如图,则函数f（x）

的单调递增区间为——

44

【解答】解：根据函数/(x)=Asin(s+e)(A＞(),口＞0\(p\＜乃)的部分图象,

可得A=l,1改=2一」,

2口44

再根据五点法作图，可得乃x'+夕=万，/.0=四，/(x)=sin(^-x+—).

444

令244一生领Jrx+且2Qr+生，求得24一9轰％2k-—

24244

故函数的增区间为[22-：，2-],keZ,

故答案为：［2%—5，2k—5,keZ.

14.(5分)关于函数/(x)=sinx与g(x)=cosx有下面三个结论:

①函数/(x)的图象可由函数g(x)的图象平移得至IJ：

②函数〃幻与函数g。)在上均单调递减；

③若直线x=f与这两个函数的图象分别交于不同的A,B两点，则|AB|,,1.

其中全部正确结论的序号为①②.

【解答】解：对于①，由于f(x)=sinx=cos(x+^),所以函数f(x)=sinx的图象可由函数

g(x)=cosx的图象向左平移至个单位得到；①正确；

2

对于②，函数/(x)=sinx在(工，万)上为减函数，函数g(x)=cosx在(工，%)上为减函数;

22

②正确；

对于③，若直线x=f与这两个函数的图象分别交于不同的A,3两点，则

\AB\=|sin-coV-12|建i嗔0.故③错误；

4

故正确结论序号为①②；

故答案为：①②.

15.(5分)已知函数/(x)=K+2x，X，l,若函数y=/(x)-k恰有两个不同的零点.则实

X,x>1

数上的取值范围为_(-1,0)[1^3]_.

【解答】解：条件等价于方程〃》)=人有2个不等实根，也即函数/。)与丁=k的图象有2

个不同的交点，

故左e(-l,0)[1,3],

故答案为(-1,0)[1,3].

16.(5分)定义：如果函数y=/(x)在定义域内给定区间[。，切上存在/(“<工0<6),满

足/'(%)=上吐3,则称函数>=/(》)是他，加上的“平均值函数”.X。是它的一个均

h-a

值点，若函数/。)=/+如是[7,1]上的平均值函数，则实数〃7的取值范围是—[0j+8)_

【解答】解：根据题意，若函数f(x)=d+/nr是[7,1]上的平均值函数，

则方程%2+mx=/⑴一/㈠),即f+必-=0在(-1,1)内有实数根，

1-(-1)

若函数g(X)=f+如；一〃?在(_]/)内有零点.

贝=>+4/九.0,解得〃2..0,或门，-4.

g(1)=1>0,^(―1)=1-2/77.g(0)=~m.

对称轴：X-――.

2

①机.0时，g(0)=r%,0,g(1)>0,因此此时函数g(x)在(-1,1)内一定有零

点..,.机.0满足条件.

②"4,-4时，-y..2,由于g(1)=1>0,因此函数g(x)=f+〃忒-加在(-1,1)内不可能

有零点，舍去.

综上可得：实数机的取值范围是［0,+00).

故答案为：［0,+00).

三、解答题(共6小题，共80分).

17.(13分)计算：

(1)log64+21og63.

(2)夜x⑸蚯

(3)cos120°+tan135°.

【解答】解：(1)log。4+21og63=3+2空=>4+k9=些=皿；

颔Ig6lg6颔

1

,11+11

(2)应x&x3=23+2)+2"=2r3"=21=2.

13

(3)cosl20°+tan135°=cos(l800-60°)+tan(l80°-45°)=-cos600-tan45°=-----1=——.

22

18.(13分)已知sina-cosa='

sincr+coscr2

(1)若a为第三象限角，求cosa的值；

(2)求tan(a+?)的值；

(3)求cos2a的值.

【解答】解：(1)已知包"3£=工=咽心1,.」ana=3=@吧.

sina+cosa2tana+1cosa

a为第三象限角，/.cosa<0,sincr<0,且sin?a+cos?a=1.

七俎.3^ioVio

求得sina=---------,costz=---------.

1010

/、、.।—日/兀、tancr+13+1-

(2)由以上可得，tan(aH—)=----------=------=-2.

41-tan«1-3

(3)cos2a=2cos2a-l=2--1=・

105

19.(13分)已知函数/(力=|108“％|(4>0,〃。1).

(1)若/(2)=-,求实数。的值；

(2)若0V石〈W，且/(2)=/(工2)，求石”2的值;

(3)若函数/(九)在七，3]的最大值与最小值之和为2,求实数〃的值.

【解答】解：(1)依题意，|/og.2|=；,即/0g〃2=；或/%02=—；,

解得〃=4或〃=■!■；

4

(2)依题意，Ilog。石RlOgaWX0<Xj<X2,故k>g0再+1呜％2=0,即log”(2马)=。，

故X,X2=1；

(3)显然当x=l时，函数/(x)=|Iog〃x|取得最小值为0,则函数/(x)在3]的最大值

为2,

若/(g)Hlog”-1l=2,解得a=坐或a=&；

若/(3)=|logfl3|=2,解得”号或a=G；

结合(2)可知，只有〃=与或。=6满足题意.

20.(13分)己知函数/(x)=4cosxsin(x+马.

6

(1)求/令)的值；

(2)求函数/(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程：

(3)对于任意xe[0,词均有/(x).J(O)成立，求实数机的取值范围.

【解答】解：(1)/(x)=4cosxsin(x+—).

6

吗)=0.

(2)依题意，得函数

冗后]

/(x)=4cosxsin(x+—)=4cosx(-^-sinx+—cosx)=5/3sin2x+2cos2x-l+1

=2(^-sin2x+—cos2x)+1=2sin(2x+—)+1.

226

它的最小正周期为主=〃.

2

函数/(x)的图象的对称轴方程

^2x+—=k7r+—J求得元=,改》+工,keZ•

6226

(3)对于任意xw[O,均有/(x)...f(O)成立，

71

f(0)=4cosOsin—=2.

6

2sin(2x+*+l=2,可得x时，/(y)=2,

所以0</%—.

3

21.(14分)若函数/⑴的定义域为H,且存在非零实数T,使得对于任意XER,

/。+7)=疗。)恒成立，称函数/(x)满足性质P(T).

(1)分别判断下列函数是否满足性质尸(1)，并说明理由；

①/(幻=sin2/x；

②g(x)=cos万x.

(2)若函数/(乃既满足性质尸(2).又满足性质P(3),求函数的解析式；

(3)若函数f(x)满足性质尸(1.01).求证：存在/使得1/(%)|v0.001.

【解答】解：(1)令7=1,则/*+1)=/"),即该函数的周期为1,

OTT

/(x)=sin2乃尤的周期为一=1,故/(x)满足性质P(1),

2冗

②g(X)=COSTX的周期为至=2,故g(x)不满足性质尸(1),

71

(2)函数既满足性质P(2).又满足性质P(3),

f(x+2)=2/(x),f(x+3)=3/(%),

.••/(X+3)=f(x+1+2)=2/(x+1)=3/(x)①

X/(x+2)=/(x-l+3)=3/(x-1)=2f(x)②

结合.f(x+l)=/(x-l+2)=2/(x-l)③，联立①②③消去〃x+l)、/(x-1)

解得了(x)=0.

(3)因为/(x+1.01)=1.01/(x),所以/(x)=p^/(x+1.01),

所以/(-%1=+0(，取X=°，,/'(0-1.01