高考第三轮复习平面向量中的最值范围

第27页（共27页）高考数学三轮复习精选平面向量中的最值范围eq\o\ac(○,易)eq\o\ac(○,错)eq\o\ac(○,考)eq\o\ac(○,点)eq\o\ac(○,解)eq\o\ac(○,读)高考预测高考预测平面向量中的最值范围问题是向量问题中的重难点，也是近几年新高考数学的热点问题。常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。主要考查向量数量积的最值、系数的最值、模长和夹角的最值。在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。预测分值：15分必考指数：★★★★★满分技巧满分技巧平面向量最值范围问题的常用方法1、定义法第1步：利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系；第2步：运用基本不等式求其最值问题；第3步：得出结论。2、坐标法第1步：根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标；第2步：将平面向量的运算坐标化；第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解。3、基底法第1步：利用基底转化向量；第2步：根据向量运算化简目标；第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数等得出结论；4、几何意义法第1步：结合条件进行向量关系推导；第2步：利用向量之间的关系确定向量所表达的点的轨迹；第3步：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围。eq\o\ac(

,以)eq\o\ac(

,练)eq\o\ac(

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,学)真题回顾真题回顾一．选择题1．（2021•全国）已知向量，，则的最大值是A．7 B．5 C．4 D．1二．填空题2．（2022•天津）在中，，，是中点，，试用，表示为，若，则的最大值为．3．（2022•上海）在中，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为．4．（2021•天津）在边长为1的等边三角形中，为线段上的动点，且交于点，且交于点，则的值为；的最小值为．5．（2021•浙江）已知平面向量，，满足，，，．记平面向量在，方向上的投影分别为，，在方向上的投影为，则的最小值是．6．（2020•天津）如图，在四边形中，，，，且，，则实数的值为，若，是线段上的动点，且，则的最小值为．7．（2020•浙江）已知平面单位向量，满足．设，，向量，的夹角为，则的最小值是．区域模拟区域模拟一．选择题1．（2023•达州模拟）已知向量满足，则的最大值为A． B． C． D．2．（2023•福建模拟）在中，，，，为所在平面上的一点，，则的最大值为A． B．25 C． D．3．（2023•丰台区二模）已知，，是单位圆上的三个动点，则的最小值是A．0 B． C． D．4．（2023•张家口一模）已知向量，，都是单位向量，若，则的最大值为A． B．2 C． D．5．（2023•乌鲁木齐模拟）已知向量，满足，，为与的夹角），则的最小值为A． B． C．1 D．26．（2023•吉安一模）已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为A． B． C． D．7．（2023•山西模拟）已知平面向量，是单位向量，且，向量满足，则的最大值为A． B． C． D．8．（2023•碑林区模拟）已知平面向量、、满足，，，则的最大值为A． B． C． D．29．（2023•河南模拟）在中，是边上的点，满足，在线段上（不含端点），且，则的最小值为A． B． C． D．810．（2023•桃城区模拟）在中，，，，，是平面上的动点，，是边上的一点，则的最小值为A．1 B．2 C．3 D．411．（2023•房山区一模）在中，，为所在平面内的动点，且，则的最大值为A．16 B．10 C．8 D．412．（2023•毕节市模拟）等腰三角形内接于半径为2的圆中，，且为圆上一点，的最大值为A．2 B．6 C．8 D．1013．（2023•抚顺模拟）已知是圆的直径，点是圆的圆心，则的最小值为A． B． C．1 D．014．（2023•毕节市模拟）等腰三角形内接于半径为2的圆中，，且为圆上一点，则的最大值为A．2 B．5 C．14 D．1615．（2023•成都模拟）在中，已知，，，当取得最小值时，的面积为A． B． C． D．16．（2023•沙坪坝区模拟）在中，，且，，动点在线段上移动，则的最小值为A． B． C． D．17．（2023•泉州模拟）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为A．1 B． C．2 D．4二．填空题18．（2023•泰安一模）如图，在等边三角形中，，点为的中点，点是边（包括端点）上的一个动点，则的最大值为．19．（2023•汉中模拟）已知，，为平面内一动点（不与，重合），且满足，则的最小值为．20．（2023•宣城模拟）已知向量满足，对任意的的最小值为，则与的夹角为．21．（2023•江西模拟）已知两个向量，则当取得最小值时，．22．（2023•滁州模拟）已知平面向量，满足，，则的最大值为．考前押题考前押题一．选择题1．已知正三角形的边长为6，，，，，且，则点到直线距离的最大值为A． B．3 C． D．2．已知正六边形的边长为2，是正六边形边上任意一点，则的最大值为A．13 B．12 C．8 D．3．已知平面向量，，，满足，，则向量与所成夹角的最大值是A． B． C． D．二．填空题4．平面四边形中，，，，，，点在线段上，点在线段上，且，，，则的最小值为．5．已知边长为2的菱形中，，、是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是．

真题回顾真题回顾一．选择题1．【解答】解：向量，，则，其中．，的最大值是5．故选：．二．填空题2．【解答】解：中，，，是中点，，如图：．，，，即，即，即，当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故的最大值为，即的最大值为，故答案为：；．3．【解答】解：建立平面直角坐标系如下，则，，，直线的方程为，即，点在直线上，设，，，，的最小值为．故答案为：．4．【解答】解：如图，设，是边长为1等边三角形，，，，，，，是边长为等边三角形，，，则，，，的最小值为．故答案为：1，．5．【解答】解：令，因为，故，，，，令，平面向量在，方向上的投影分别为，，设，则：，从而：，故，方法一：由柯西不等式可得，化简得，当且仅当，即时取等号，故的最小值为．方法二：则表示空间中坐标原点到平面上的点的距离的平方，由平面直角坐标系中点到直线距离公式推广得到的空间直角坐标系中点到平面距离公式可得：．故答案为：．6．【解答】解：以为原点，以为轴建立如图所示的直角坐标系，，，，，，，，，设，，，，，，，解得，，，，，，，，设，则，其中，，，，，，当时取得最小值，最小值为，故答案为：，．7．【解答】解：设、的夹角为，由，为单位向量，满足，所以，解得；又，，且，的夹角为，所以，，；则，所以时，取得最小值为．故答案为：．区域模拟区域模拟一．选择题1．【解答】解：，且，可设，，再设，又，，即，令，，，，则．．故选：．2．【解答】解：以为原点，，分别为轴，轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则，，设，则，，，所以，而与的距离为，根据圆的几何性质可得的最大值为，的最大值为．故选：．3．【解答】解：以的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设，，，则，，故，当时，取得最小值，最小值为，由于，，故当时，最小，故最小值为，此时，满足要求．故选：．4．【解答】解：由，得，即．设，则，显然，所以，又，所以，所以，即的最大值为．故选：．5．【解答】解：已知向量，满足，，为与的夹角），则，则，当且仅当时取等号，即的最小值为1，即的最小值为1．故选：．6．【解答】解：依题意得，半径，设点坐标，易知直线恒过点，直线恒过，且，则，即，点轨迹为，圆心为，半径为，但是去掉点，若点为弦的中点，位置关系如图：，连接，由易知，，，此时在处，可以取到，故正确．故选：．7．【解答】解：平面向量，是单位向量，且，，，，设，，则，，点在以为圆心，以为半径的圆上，的最大值表示圆上的点到原点距离的最大值，如下图所示：设圆心为，则，的最大值为：．故选：．8．【解答】解：如图，在平面内一点，作，，，则，即，根据题意可知，为腰长为1的等腰直角三角形，则，又，所以，取的中点，则，因为，所以，则，所以．当且仅当、同向时，等号成立，故的最大值为．故选：．9．【解答】解：，又，，又在线段上（不含端点），，且，，，当且仅当时，等号成立，的最小值为．故选：．10．【解答】解：取的中点，则，可得，，当且仅当在线段上时，等号成立，故，显然当时，取到最小值，，故．故选：．11．【解答】解：由题意可得，点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，取的中点，则，所以，故选：．12．【解答】解：以圆的圆心为原点，射线为轴建立平面直角坐标系，连接，，如图，，，又圆的方程为，设点，，，，当，即时，，的最大值为6．故选：．13．【解答】解：是圆的圆心，点为直线上的任意一点，又，当最小时，的取值最小，的最小值是圆心到直线的距离，即，．故选：．14．【解答】解：已知等腰三角形内接于半径为2的圆中，，则，为正三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，设，，，则，，，又，，则当时，取最大值14，则的最大值为14，故选：．15．【解答】解：在中，已知，，不妨设，则，，，又，则，则，设，则，又，则，则，又，当时，取得最小值，则，则，则，则，故选：．16．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，又，则，已知动点在线段上移动，设，，则，则，则，，，又，则当时，取最小值，故选：．17．【解答】解：已知平面向量，，满足，设，，，又，，，，即，则，则，当且仅当时取等号，即的最小值为2，故选：．二．填空题18．【解答】解：以中点为原点，边所在的直线为轴，边的垂直平分线为轴，建系如图，则，，，中点，设，则，，，在直线上，，，，当时，的最大值为3．故答案为：3．19．【解答】解：设，，，整理得，即，可得，，，又，则，，，可得当时，取到最小值．故答案为：．20．【解答】解：因为向量满足，所以向量满足．设与的夹角为，，所以，因为任意的的最小值为，所以恒成立，配方后可得：恒成立，所以当时，取得最小值3，此时，解得．又因为，所以．因为，所以．故答案为：．21．【解答】解：由题意可得，则，所以，所以，取得最小值．故答案为：．22．【解答】解：不妨设，，则，则，即，，取，，，设点在圆上，表示，因此的最大值为，从而最大值为．故答案为：20．考前押题考前押题一．选择题1．【解答】解：以为原点，为轴建立平面直角坐标系，如图所示：则，，，，，，，，，因为，，，，且，所以，，，，所以，所以，，直线的方程为，即，所以点到直线的距离为，因为，，所以时，取得最大值为．故选：．2．【解答】解：如图建立直角坐标系：由题意知，，设，则，，所以．表示的是以点为圆心的圆的半径的平方，即，由图象知，为正六边形边上任意一点，所以，即，所以，即，所以，即的最大值为12．故选：