辽宁省沈阳市重工第五高级中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析

辽宁省沈阳市重工第五高级中学2022-2023学年高三数

学理联考试卷含解析

一、选择题：本大题共1（）小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.（5分）若a>0,b>0,且arl,则log,b>0是（a-1）3-1）>0的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

参考答案：

C

【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的单调性与特殊点.

【专题】：计算题.

【分析】：先判断P?q与q?P的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p

与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题

q的关系.然后判断“logab>0"？“（a-1）（b-1）>0”与“（a-1）（b-1）>

0”?"log.b>0”的真假即可得到答案.

解：因为a>0,b>0,a#l,

则若log,b>0成立，当a>l时，有b>l；当0Va<l,有0Vb<l,则“（a-1）（b-

1）>0”成立；

若“（a-1）（b-1）VO”，有a>l且b>l或0<aVl且OVbCl则“log.b>0”

故"logab>0”是“（a-1）（b-1）>0”的充要条件

故选C

【点评】：判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命

题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不

充分条件；③若P?q为真命题且q?P为真命题，则命题P是命题q的充要条件；④若P?q

为假命题且q?P为假命题，则命题P是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题P与

命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题P与命题q

的关系.

fcos/Er(xWQ)4.A

已知2.1/a-D+i("0),则"？的值为()

2.2

A.2B.2C.-1D.1

参考答案：

D

3.设圆C：3?5尸+。?3)2=5,过圆心C作直线/与圆交于A,B两点、,与x轴交于P

点，若A恰为线段BP的中点，则直线/的方程为

(A)A?2y+l=0,田2/?11=0(B)2A?/?7=0,

2户/?13=0

(C)y?36'4=0,93/?14=0(D)3A?y?12=0,

39/?18=0

参考答案：

A

'x+_yW3,

(x-yN-L

4.设变量x,y满足约束条件1尸一】20,,则目标函数Z=3x+2，的最大值为

(A)10(B)8(07(D)2

参考答案：

B

5.已知等差数列｛%＞的公差d不为0,等比数列｛入｝的公比q是小于1的正有理数，若

4=44=/，且瓦+%+多是正整数，则9的值可以是()

1!!!

A.7B.-7C.2D.-2

参考答案：

C

由题意知与=%+4=24勺=%+)="，=所以

+a^+a^_d3+4d3+9d314222

4+4+4d+dq+dq1+<?+<?,因为4+与+%是正整数，所以令

-------r=fg'+g+l=g，+g+1-=0

1+o+g，:为正整数。所以14,即14，解得

-1+j.4(1—.[♦，].4(1—-1+J"+变

~~2~,因为上为正整数，所以当

-1+J-3+7-1+21

”8时，222。符合题意，选C.

6.函数人力=而；+蝇/6-力的定义域是（）

A.卜次叫B{r|-3<r<6}c{r|x>-3}D（r|-3«x<6）

参考答案：

D

略

/J?

7.已知双曲线/一7"1'">的左右焦点分别为瓦•鸟，6为双曲线的离心率，P

是双曲线右支上的点，△郎玛的内切圆的圆心为1,过鸟作直线P1的垂线，垂足为B,

则0B=

A.aB.bC.

eaD.eb

参考答案：

D

8.已知等比数列8/的公比为正数，且4%二4姆,，=1,则。］=（）

1正

A.2B.VC.J5D.2

参考答案:

B

9.如果函数/（x）・1】glx-1II在定义域的某个子区间.-1*♦D上不存在反函数，贝吠

的取值范围是.

参考答案：

x,y

10.已知x,y均不为0,贝lj|x||y|的值组成的集合的元素个数为（）

A.1B.2C.3D.4

参考答案：

C

【考点】元素与集合关系的判断.

【专题】计算题.

x_y

【分析】对lx||y|由X、y的正负分四种情况去绝对值讨论即可.

X_y

解：xy均正或均负时，|x||y|=o；

x,y

X正y负时，|x||y|=2；

x_y

X负y正时，lxI|y1=-2,

x_y

故lxIlyI的值组成的集合的元素个数为3个

故选C.

【点评】本题考查绝对值的运算，属基础知识的考查.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.“a=1”是“函数」”=汨二在其定义域上为奇函数”的条

件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）

参考答案:

充分不必要

12.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F倾斜角为60°的直线1与抛物线C

|AF|

在第一、四象限分别交于A、B两点，则|BF|的值等于—.

参考答案：

3

【考点】直线与圆锥曲线的关系.

【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程.

p2

【分析】设出A、B坐标，利用焦半径公式求出|AB|,结合xix尸N,求出A、B的坐标，

然后求其比值.

2

【解答】解：设A(xi,yi),B(X2,yz),则y『=2pxi,y2=2px2>

—85

AB|=xi+x2+p=sin9=3p,即有xi+x2=3p,

由直线1倾斜角为60°,

则直线1的方程为：y-0=V3(x-2),

近

即丫=立*-2p,联立抛物线方程，

消去y并整理，得

12x2-20px+3PJ。，

P231

则X1X2~4,可得Xi—2p,X2—6p,

3J

2p+2p

|AF|11

则厨?中=3,

故答案为：3.

【点评】本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能

力，属于中档题.

13.已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm,如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那

么这个圆锥的母线长为—cm.

参考答案：

V17

考旋转体(圆柱、圆锥、圆台)；球的体积和表面积.

点：

专计算题.

题：

分求出球的体积，利用圆锥的体积与球的体积相等，求出圆锥的高，然后求出圆锥的

析：母线长即可.

解竺3"

解：由题意可知球的体积为：

答：3=3,

几

同珈的状41xnxl2zXh^-h

圆锥的体积为：3=3,

因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等，

4冗冗

所以---3--——3hn,所以h=4,

圆锥的母线：V12+42=V17.

故答案为：V17.

本题考查球的体积与圆锥的体积公式的应用，考查计算能力.

评：

>=OB(2X--)(a<x<M[-1,

14.若函数6'的值域是2,则占一。的最大值是

参考答案：

2x

T

班“■功-飞，贝ij3tan。的值为

15.在锐角三角形物中,

参考答案：

79

3+1

tanB=tan[«4-(X—B)]-\

依题意，.公彳，土石，则

3+13

3tanC-・3皿/♦为--3x-^—-79

V唱;

16.在乙超。中，AB=2,AC=3,Z)是边5C的中点，则万•而=

参考答案：

_8

答案：F

解析：根据向量的加减法法则有：而=而一而

AD=AB^BD^AB-¥-(AC-AB)=-AC-¥-AB

333，此时

而而=(g而+译)(而■而得可+,而瓦|同

=—1——8——1二—8—

3333.

17.已知函数/(0耳2*-2|-6有两个零点，则实数。的取值范围是.

参考答案：

(0,2);

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

-----)(<7>^>0)-—

18.(本小题满分12分)已知椭圆C:aA的离心率为2,以原点为

圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线r*>相切.A、B是椭圆的左右顶

点，直线1过B点且与x轴垂直，如图.

⑴求椭圆的标准方程；

(II)设G是椭圆上异于A、B的任意一点，GH_Lx轴，H为垂足，延长HG到点Q使

得HG=GQ,连接AQ并延长交直线1于点M,点N为MB的中点，判定直线QN与

以AB为直径的圆O的位置关系，并证明你的结论.

参考答案:

£皂

解：(I)由题可得：e=u2.

•••以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线》+>\5=0相切，

赤7；=b,解得氏1.

再由4=〃+。2,可解得：“2.

.••椭圆的标准方程：彳'.........................ks5u........5分

(II)由(I)可知：A(-2,0),BQ,0),直线/的方程为：x=2.

设G(x0»州)(州和)，于是CUo,2yo),

豆・“=】

且有丁八一,即4yo2=4凶2.

y=臼二q一2)

二直线AQ的方程为：7+',

2%、

>•'(12).

<•2

y

由*解得：.

4/

2/

4+2

直线QN的斜率为:4f'4九'2九,

4%

y-…寸一2)

二直线QN的方程为:

仇

T—*+>,--且=0

即氨~+2汽

・••点0到直线QN的距离为

0_幺一区+胃+2勺

5+2先g+2)yo

1=2

:+4"

物

•••直线QN与以AB为直径的圆O相切.12分

19.在某娱乐节目的一期比赛中，有6位歌手(1至6号)登台演出，由现场的百家大众媒

体投票选出最受欢迎的歌手，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体

甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号

歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的

选出3名.

(I)求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率;

(I【)X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望.

参考答案:

(I)设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，

P(A)P(B)冶=工，。

事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，C55C55

媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率:

_=2x(i-，

P(AB)=P(A)(1-P(B))5525

C

「3

(II)P(C)<6,由己知得X的可能取值为0,1,2,3,

P(X=O)=P(ABC)=(1-^)(1--^)(1-^)"

55225

P(X=l)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)。

=-(1--)(1-+(1--)x.5x(1-^)+(1-(l-g)x工驾，

55255255250

P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=-x-X(1-1)+1(1--^)x[+(l-2)

5525525

驾"

5250

P(X=3)=P(ABC)=-？x—X-=—,。

55225

...X的分布列为：v

XQ32。3/

P*也以

25505025

EX=OX^+1X圣+2X浮+3X冬,E

Z

xr.y

—+=1

20.(本小题满分8分)在椭圆1612上求一点P,使得该点到直线，：x-2y-

12=0的距离最大，并求出最大值。

参考答案：

P(-2,-3)最大值4小

略

AJI^-AD=2

21.如图所示的矩形A8CZ)中，2，点E为A。边上异于A,。两点的动点，

且跳7/45,G为线段的中点，现沿将四边形CO所折起，使得AE与CT的夹角

为60。，连接3£),FD.

(1)探究：在线段EF上是否存在一点M,使得GMI平面8。凡若存在，说明点M的位

置，若不存在，请说明理由；

(2)求三棱锥G-即尸的体积的最大值，并计算此时DE的长度.

参考答案：

(1)证明：如图所示，取线段M的中点M,

因为G为线段KD的中点，M为线段叩的中点，

故GW为AEM的中位线，故＜3/HDF,

乂平面笈QF,AFu平面瓦1F,故Of〃平面MF.

(2)解：•.•&/〃)■£,且公与CF的夹角为60°,

故/刘与力的的夹角为60°,

过。作”垂直于公交〃于产，

所以ZW1瓦乙AEIQ^,故DP为点。到平面4tf西的距离，

设Z)E=x，则dE-M