2023年普通高等学校招生全国统一考试数学名师押题信息卷（1）（原卷版）

2023年普通高等学校招生全国统一考试名师押题信息卷（1）数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，，则实数的值为（

）A． B． C． D．2．复数满足，则（

）A． B． C． D．3．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．安排甲、乙、丙、丁4名航天员到空间站开展工作，每个舱至少安排1人，若甲、乙两人不能在同一个舱开展工作，则不同的安排方案共有（

）A．36种 B．18种 C．24种 D．30种4．今年入夏以来，南方多省市出现高温少雨天气，持续的干旱天气导致多地湖泊及水库水位下降.已知某水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔下降到时，减少的水量约为（）（

）A． B．C． D．5．如图，2022年世界杯的会徽像阿拉伯数字中的“8”．在平面直角坐标系中，圆和外切也形成一个8字形状，若，为圆M上两点，B为两圆圆周上任一点（不同于点A，P），则的最大值为（

）．A． B． C． D．6．已知函数（其中为常数，），若实数、、满足：①；②；③，则的值为（

）A． B． C． D．7．若实数，，，且满足，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．8．记为点到平面的距离，给定四面体，则满足的平面的个数为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在三棱锥中，，，，分别是，，，的重心.则下列命题中正确的有（

）A．平面 B．C．四条直线，，，相交于一点 D．10．已知函数，曲线的切线l的斜率为k，则下列各选项正确的是（

）A．在上单调递减B．是偶函数C．当时，取得极大值D．当时，l在x轴上的截距的取值范围为11．已知，，点P满足，则（

）A．点P在以AB为直径的圆上 B．面积的最大值为C．存在点P使得 D．的最小值为12．已知，，若直线与、图象交点的纵坐标分别为，，且，则（

）A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．的展开式中含项的系数为30，则实数a的值为___________．14．写出一个半径为1，且与圆和圆均外切的圆的方程__________．15．在18世纪，法国著名数学家拉格日在他的《解析函数论》中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陈述如下，如果函数f（x）区间[a，b]上连续不断，在开区间（a，b）内可导（存在导函数），在区间（a，b）内至少存在一个点x0∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝（b﹣a），则x＝x0称为函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上的中值点，则关于x的f（x）＝ex+mx在区间[﹣1，1]上的中值点x0的值为__________________.16．已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．数列满足.(1)求证：是等比数列；(2)若，求的前项和为.18．如图，D为内部一点，于E，.请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立.①；②；③.19．魏晋时期数学家刘徽（图a）为研究球体的体积公式，创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上．如图，将两个底面半径为1的圆柱分别从纵横两个方向嵌入棱长为2的正方体时（如图b），两圆柱公共部分形成的几何体（如图c）即得一个“牟合方盖”，图d是该“牟合方盖”的直观图（图中标出的各点，，，，，均在原正方体的表面上）．(1)由“牟合方盖”产生的过程可知，图d中的曲线为一个椭圆，求此椭圆的离心率；(2)如图c，点在椭圆弧上，且三棱锥的体积为，求二面角的正弦值．20．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示．当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题：(1)请直接写出与的数值．(2)证明是一个等差数列，并写出公差d．(3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义．21．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，Р为渐近线上一点，且，.(1)求双曲线的离心率