河北省迁西县2023年高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2

1.设大，工分别是双线［-y2=1（。＞0）的左、右焦点，。为坐标原点，以耳心为直径的圆与该双曲线的两条渐近

线分别交于A,8两点（A,8位于》轴右侧），且四边形OA6B为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（）

A.x±y=0B.氐土y=（）C.x土岛=（）D.3x±y=0

2+3z

2.已知i为虚数单位，则（［_2/）广（）

74.74.47.47.

A.一+一，B.-----1C.—+—zD.----1

55555555

3.已知复数二满足手下=2-，（其中三为z的共甄复数），贝ij|z|的值为（）

1—1

A.1B.2C.73D.75

22

4.若双曲线;-与=13＞0力＞0）的一条渐近线与直线6x-3y+l=0垂直，则该双曲线的离心率为（）

a~b~

A.2B.立C.—D.26

22

5.一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40。的方向直线航行，30分钟后到达8处，在C处有一座

灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70。，在3处观察灯塔，其方向是北偏东65。，那么8,C两点间的距离

C.80海里D.86海里

03

6.设a=log3（）.5,b=log020.3,c=2>则a,6,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

7.(x—N)的展开式中，含/项的系数为()

A.-60B.-12C.12D.60

8.已知A={M|X|<1},B={X|2X<1},则AU3=()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(—l,+oo)D.(-00,1)

9.已知数列｛”“｝是公比为2的正项等比数列，若金、。“满足2a“<%<1024a“，贝!|(加一1)?+〃的最小值为()

A.3B.5C.6D.1()

10.已知x=0是函数f(x)=x(ar—tanx)的极大值点，则a的取值范围是

A.(-oo,-l)B.(-oo,l]

C.[0,+8)D.

11.已知机，”是两条不同的直线，。，尸是两个不同的平面，给出四个命题:

①若。0，=加，〃ua,nlm,则。_1_月；②若m_La,ml/3,则。〃/?；

③若加〃“，加ua,alip,则〃〃夕；④若〃z_La,nL/3,mLn,则。J-4

其中正确的是()

A.①②B.③④C.①④D.②④

.Ilog,x|,x>0„„

12.已知函数/(x)=I2cC八，方程/(x)-a=()有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合。，贝心函

x2+2x+2,x<0

数F(x)=f(x)-kx(xGD)有两个零点”是“A>；”的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀

率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论：

①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；

②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；

③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是

14.对任意正整数〃，函数/(")=2〃3-7〃2cos〃»-/l〃-l,若/(2)20,则X的取值范围是；若不等式

/(〃)>。恒成立，则4的最大值为.

15.已知函数/(x)对于xeR都有“4-x)=/(x),且周期为函当xe[—3,-2]时，/(x)=(x+2)2,则

呜卜------------------------.

16.若非零向量B满足(叫=2，同=6，忖+4=祈，则忖=____,

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建

立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监

测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有4月有1套系统监测出排放超标，则

立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立

即检查污染源处理系统.设每个时间段(以1小时为计量单位)被每套系统监测出排放超标的概率均为p(O<p<l),

且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.

(1)当p=g时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；

(2)若每套环境监测系统运行成本为300元/小时(不启动则不产生运行费用)，除运行费用外，所有的环境监测系统

每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计

算)？并说明理由.

x=3+2cos。

18.(12分)已知曲线C的参数方程为<,c.3为参数)，以直角坐标系原点为极点，以x轴正半轴为极轴并

y=l+2sina

取相同的单位长度建立极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；

(2)若直线I的极坐标方程为sin0-2cos。,求曲线C上的点到直线I的最大距离.

P

22

19.(12分)在平面直角坐标系中，椭圆C：二+斗=1(4>/,>0)的右焦点为口(4根,0)

a~b~

(加>0,，"为常数)，离心率等于0.8,过焦点尸、倾斜角为。的直线/交椭圆C于M、N两点.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵若8=90°时，」_+」一=述，求实数加；

MFNF9

⑶试问「一+」一的值是否与。的大小无关，并证明你的结论.

MFNF

20.（12分）在平面四边形AC8D（图①）中，AABC与AABD均为直角三角形且有公共斜边A3,设A3=2,

ZBAD=3O°,N84C=45°,将AABC沿45折起，构成如图②所示的三棱锥C'—ABO,且使C'O=JL

21.（12分）如图，三棱锥P—ABC中，点O,E分别为AB,8C的中点，且平面长羽，平面ABC.

（1）求证：AC//平面PDE；

（2）若PZ）=AC=2,PE=6求证：平面PBC_L平面A8C.

22.（10分）已知数列｛%｝的前"项和为S“，且满足S,,=24-15wN*）.

（I）求数列伍"的通项公式;

（D）证明:

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

由于四边形。AgB为菱形，且=所以A4。6为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求出其斜率.

【详解】

如图，因为四边形0486为菱形，|0闾=所以△"）行为等边三角形，乙4。工=60°,两渐近线的斜

率分别为百和-

【点睛】

此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的思想，属于基础题.

【解析】

根据复数乘除运算法则，即可求解.

【详解】

2+3i_2+3i_（2+3i）（2-i）_74.

（l-2z）z-2+i~（2+z）（2-z）-55;

故选：A.

【点睛】

本题考查复数代数运算，属于基础题题.

3.D

【解析】

按照复数的运算法则先求出三，再写出z,进而求出忖.

【详解】

1+/(1+Z)22i.

♦口一(1-zxi+o-T-Z,

・・.-=2-z=>z-z=2-i=>z=^=-z(2-z)=-l-2z,

1-ii

z=T+2in|z1=7(-l)2+22=卮

故选：D

【点睛】

本题考查复数的四则运算、共扼复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.

4.B

【解析】

由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合°2=储+〃，构造齐次关系即得解

【详解】

双曲线二一E=13>。力>0)的一条渐近线与直线6x—3y+1=0垂直.

a~b~

...双曲线的渐近线方程为y=±gx.

得4/=/,/一。？=_£°2.

a24

则离心率6=2=好.

a2

故选：B

【点睛】

本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.

5.A

【解析】

先根据给的条件求出三角形A8C的三个内角，再结合A3可求，应用正弦定理即可求解.

【详解】

由题意可知：ZBAC=70°-40°=30o.ZACD=110°,/.ZACB=110°-65°=45°,

AZABC=180°-30°-45°=105°.又48=24x0.5=12.

BC

s山30°'

12_BC

即也一]_，・,•BC=6万

T2

故选：A.

【点睛】

本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中

档题.

6.A

【解析】

选取中间值。和1,利用对数函数y=log3X,y=log0,2光和指数函数y=2'的单调性即可求解.

【详解】

因为对数函数在上单调递增,

y=log3x（0,+e）

log,0.5<log,1=0,

因为对数函数,y=10go,2X在((),+8)上单调递减,

所以

0=log021<log020.3<log020.2=1,

因为指数函数y=2'在R上单调递增,

所以2°3>2°=1,

综上可知,a<b<c.

故选:A

【点睛】

本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是

求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

7.B

【解析】

在二项展开式的通项公式中，令x的塞指数等于3,求出厂的值，即可求得含丁项的系数.

【详解】

［x—之］的展开式通项为却=C；•产'(一之］=仁，(一2)，・产3"

令6-3厂=3,得r=1,可得含d项的系数为C：x(—2)=-12.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

8.D

【解析】

分别解出集合A、6,然后求并集.

【详解】

解：A=|x||x|<={x|-l<x<11,8={巾*<1}={x|x<0}

AU§=C00』)

故选：D

【点睛】

考查集合的并集运算，基础题.

9.B

【解析】

利用等比数列的通项公式和指数幕的运算法则、指数函数的单调性求得1<加-〃<1()再根据此范围求("Li)?+〃的

最小值.

【详解】

：数列{为}是公比为2的正项等比数列，%.、an满足2a“<am<1024%,

m+9

由等比数列的通项公式得2a,-2"-'<a,-2'"-'<l()24a/2"-',即2«<2-'<2"，

；2<2吁"<夕°，可得1〈加一〃<10,且〃八〃都是正整数，

求(机-1)2+〃的最小值即求在1<加—〃<10,且m、〃都是正整数范围下求加一1最小值和"的最小值，讨论〃?、n

取值.

,当加=3且n=1时，(m―I)?+〃的最小值为(3—I)?+1=5.

故选：B.

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式和指数幕的运算法则、指数函数性质等基础知识，考查数学运算求解能力和分类讨论思

想，是中等题.

10.B

【解析】

方法一：令g(x)=or-tanx,则/(x)=x-g(x),g\x)=a——^―,

cosX

当aWl,时，g'(x)40,g(x)单调递减，

IT

xe(——,0)时，g(x)>g(0)=0,f(x)=x-g(x)<0,且/(x)=xg'(x)+g(x)>0,

2

7T

.•.1(x)>0,即/(x)在(一一,0)上单调递增，

2

7T

xe(0,—)时，g(x)<g(0)=0,f(x)=x-g(x)<0,且/(x)=xg«)+g(x)<0,

2

7F

即/(X)在(0,耳)上单调递减，.••xnO是函数/(X)的极大值点，.•.avi满足题意；

JT1

当a>l时，存在"(。3)使得cos/二耳，即g")=0,

1jr

又炉(幻二。一一七在(0,小上单调递减，，X£(O,/)时，g(x)>g(0)=(),所以/3=x♦g(%)>0,

cos~x2

这与X=0是函数fM的极大值点矛盾.

综上，a<l.故选B.

方法二：依据极值的定义，要使x=0是函数Ax)的极大值点，须在x=0的左侧附近，f(x)<0,即or-tanx>0；

在x=0的右侧附近，f(x)<0,即or-tanxvO.易知，。=1时，>=也与y=tanx相切于原点，所以根据丁=办

与y=tanx的图象关系，可得故选B.

11.D

【解析】

根据面面垂直的判定定理可判断①；根据空间面面平行的判定定理可判断②；根据线面平行的判定定理可判断③；根

据面面垂直的判定定理可判断④.

【详解】

对于①，若cn，=〃?，〃ua,机，a,夕两平面相交，但不一定垂直，故①错误；

对于②，若〃z_La,mL/3,则。〃尸，故②正确；

对于③，若根〃〃，mua,al1/3,当〃u£,则〃与夕不平行，故③错误；

对于④，若〃z_La,6，m_L〃，则故④正确；

故选：D

【点睛】

本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题.

12.A

【解析】

作出函数f(x)的图象，得到D=(2,4],把函数F(x)=f(x)-kx(xeD)有零点转化为y=kx与y=f(x)在(2,

4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得k的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断.

【详解】

作出函数f(x)=[llo§2xh->°的图象如图，

7X2+2X+2,X<0

由图可知，D=(2,4],

函数F(x)=f(x)-kx(xeD)有2个零点，即f(x)=kx有两个不同的根，

也就是丫=1«与丫=“乂)在(2,4]上有2个交点，则k的最小值为:；

设过原点的直线与y=log2X的切点为(Xo』Og2Xo),斜率为《百，

则切线方程为yTog2X=—：(X—X0),

x0ln2

把(0,0)代入，可得一k)g,Xo=-」，即x0=e,.,.切线斜率为工，

m2em2

.•.k的取值范围是(工，匚1)，

\2eln2)

函数F(x)=f(x)-kx(xeD)有两个零点，，是“k>的充分不必要条件,

本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上

某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(2X3)

【解析】

根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案.

【详解】

不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；

因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女

生成绩的优秀率，故②正确；

因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关

系，故③正确.

故答案为：②③.

【点睛】

本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.

【解析】

将〃=2代入求解即可；当〃为奇数时,cos〃万=-1,则转化/(〃)=2/+7"—加_12o为几W2〃2+7〃-L设

n

g(〃)=2/+7〃-士由单调性求得g(〃)的最小值；同理，当〃为偶数时,cosn兀=1,则转化

n

/(〃)=2〃3_7〃2一而_120为4W2*-7〃—L,设。(幻=2%2—7X—工(X22)，利用导函数求得h(x)的最小值,

nx

进而比较得到兄的最大值.

【详解】

13

由题J(2)=16—28—22—120,解得/IW—5.

当〃为奇数时,cos〃乃=一1,由f(n)=2/+7/­4〃一1，0,得2W2n2+7n--,

n

°1

而函数g(n)=2n2+7〃一一为单调递增函数，所以=g⑴=8,所以兄48；

n

当〃为偶数时,coswr=l,由/5)=2/-7〃2一九〃一120,得4辽2〃2一7〃一,，

n

设/z(x)=2x2-lx--(x22),

x

•••X22,h'(x)=4x—7+-V>0,〃(x)单调递增，

x

1313

〃⑴mm=hQ)=—；■，所以4W—j

13

综上可知，若不等式/(«)>0恒成立，则2的最大值为-

生依m且(13*]13

故答案为：(1)|一°°,一77：⑵一'—•

I2」2

【点睛】

本题考查利用导函数求最值，考查分类讨论思想和转化思想.

1

5.41

利用"4一x)=/(x),且周期为2,可得/(—x)=/(x),得/

【详解】

V/(4-x)=/(%),且周期为2,

二/(—x)=/(x),又当xe[—3,—2]时，/(x)=(x+2)2,

故答案为：g

【点睛】

本题考查函数的周期性与对称性的应用，考查转化能力，属于基础题.

16.1

【解析】

根据向量的模长公式以及数量积公式，得出|方『+3出1-4=0,解方程即可得出答案.

【详解】

根+可=J(G+5)2=J同2+2万石+忖=币

W+2x-s/3xcos-^x|^|+3=7,即+3|S|-4=0

解得|B|=1或|B|=-4(舍)

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查了向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

25

17.(1)—；(2)不会超过预算，理由见解析

32

【解析】

(1)求出某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为

=C；(g)3+C；(g)3=1，某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系

统的概率为C](1)3[l-(1)2]=卷，可得某个时间段需要检查污染源处理系统的概率;

(2)设某个时间段环境监测系统的运行费用为X元，则X的可能取值为900,1500.求得P(X=1500)=C\p(\-p)2,

p(X=9()0)=l-C；，(l-〃)2,求得其分布列和期望E(X)=900+1800p(l-p)2,对其求导，研究函数的单调性,

可得期望的最大值，从而得出结论.

【详解】

(1)•••某个时间段在开启3套系统就被确定需要检查污染源处理系统的概率为

%)24+C"(1)3=*)3+线)3=1,

某个时间段在需要开启另外2套系统才能确定需要检查污染源处理系统的概率为

11Q1025

G()3口-(力=5，某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为一+—=—•

223223232

(2)设某个时间段环境监测系统的运行费用为X元，则X的可能取值为900,1500.

•.•尸(X=15()())=C；P(1-〃)2,P(X=9()())=l—C；p(l-p)2

E(X)=900x[l-C]p(l-p)2]+15()()xC>(l-p)2=900+1800p(l-p)2

令g(p)=pQ-P)2，P0(。，1)，则g'(p)=(l-pY-2p(l-p)=(3。-l)(p-1)

当pe(0,g)时，g'(p)>0,g(p)在(0,；)上单调递增；

当peg,1)时，g'(p)<0,g(p)在上(；,1)单调递减，

14

・•.g(p)的最大值为g(?=行，

4

，实施此方案，ft^100+9000x(900+1800x—)x10-4-1150(万元)，

27

・"150<1200,故不会超过预算.

【点睛】

本题考查独立重复事件发生的概率、期望，及运用求导函数研究期望的最值，由根据期望值确定方案，此类题目解决

的关键在于将生活中的量转化为数学中和量，属于中档题.

18.(1)22_6pcos6—20sine+4=O,表示圆心为(3,1),半径为2的圆；(2)竿+2

【解析】

(1)根据参数得到直角坐标系方程(x-3)2+(y-1)2=4,再转化为极坐标方程得到答案.

(2)直线方程为〉-2x=l,计算圆心到直线的距离加上半径得到答案.

【详解】

x=3+2cosa,、2,、2,

(1)],即(x—3)一+(丁—1)-=4,化简得到：x2+/-6x-2y+4=0.

y=l+2sina、‘、’

即22_60cose-2psine+4=0,表示圆心为(3,1),半径为2的圆.

(2)sin^-2cos^=—,即y-2x=l,圆心到直线的距离为d=-馥=施.

P65

故曲线C上的点到直线I的最大距离为"+厂=述+2.

5

【点睛】

本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆的距离的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.

19.(1)+-^—v=1(2)m=6(3)+为定值

25"09m~NFMF9m

【解析】

22

试题分析：（1）利用待定系数法可得，椭圆方程为一，+」==1;

25m29m2

（2）我们要知道8=90的条件应用，在于直线/交椭圆两交点M,N的横坐标为x=4〃?，这样代入椭圆方程，容易

得到NF=Mf=|y|=?，从而解得m=血；

（3）需讨论斜率是否存在.一方面斜率不存在即。=90时，由（2）得」一+」一=3；另一方面，当斜率存在即

NFMF9m

6/90时，可设直线的斜率为％,得直线MN：y=k（x-4m）,联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和焦半径公式,

就能得到工二+」=「，所以工二+工=「为定值，与直线/的倾斜角。的大小无关

NFMF9mNFMF9m

4r22

试题解析：（1）c=4m,e=一得：a=5m,椭圆方程为丁方+j=l

525m29m2

22I|

81w4H9/72

(2)当x=4，〃时,y得：

于是当…°时’…吗,于是++—啜=亭

得到机=V2

（3）①当。=90时，由（2）知「一+」-=10

NFMF9m

②当。士90时，设直线的斜率为A,M（x，y）,%（%,%）则直线MN：y=k（x-4m）

联立椭圆方程有(9+25k2)x2-200/，m+25m2(16/-9)=0,

200%2M25加（16公_9）

,-（9+25公）1-（9+25公）

4

11——]-————10m一二（石+“2）90加（1+%2）

____।___=4+4=----------------------------------------=------------------

MFNF5〃广5%5〃?-产25加-4小+屯+1|中2?81/（1+^）?

但1110

得----•-----=---

NFMF9m

综上，工三+」=二为定值，与直线/的倾斜角6的大小无关

NFMF9m

考点：（1）待定系数求椭圆方程；（2）椭圆简单的几何性质；（3）直线与圆锥曲线

20.（1）证明见解析；（2）-由叵

35

【解析】

(1)取A5的中点。，连接C'。,。。，证得从而证得。0_L平面A3。，再结合面面垂直的判定定理，

即可证得平面CAB，平面DAB;

(2)以。为原点，AB,OC所在的直线为y轴，z轴，建立的空间直角坐标系，求得平面AC'。和平面8C'。的法向

量，利用向量的夹角公式，即可求解.

【详解】

(1)取AB的中点。，连接C'O,DO,

在.RtbAC'S和KfAADB中，AB=2,则。9=0。=1,

又CD=V2，所以CO2+DO2=CD2，即C'O±OD,

又C'0_L4B,S.ABHOD=O,AB,O£>u平面A8D,所以CO_L平面ABD,

又COu平面C'AB,所以平面C'AB_L平面DAB

(2)以。为原点，AB,OC所在的直线为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

)

则A(0,-1,0),3(0,1,0),0(0,0,1),D—^,-,0,

[22,

____.(731、

所以AC'=(0,1,1)，BC'=(O,—1,1)，CD=—,-,-1,

\7

设平面ACO的法向量为々=（x,,K，zj

y+Zi=o

n.1AC[nt-AC'=Q

则4，即4,八,代入坐标得G1,

勺±CD[4•C。=0

~YX\+/弘一4=0

令Z]=1,得y=T,X[=B所以“=（G,T,I）,

设平面8c'。的法向量为〃2=,y2,z2）,