九年级上学期期中考试数学试卷和答案解析

九年级上学期期中水平测试卷数学试卷

一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共计30分.）

1.（3分）已知x=2是关于x的一元二次方程，-x-24=0的一个解，则a的值为（）

A.0B.-1C.1D.2

2.（3分）两个三角形的相似比是3：2,则其面积之比是（）

A.3：2B.3：2C.9：4D.27：8

3.（3分）若一个三角形的两边长分别为2和6,第三边是方程，-8x+15=0的一根，则这

个三角形的周长为（）

A.5B.3或5C.13D.11或13

4.（3分）下列说法正确的是（）

A.等弧所对的圆心角相等

B.平分弦的直径垂直于这条弦

C.经过三点可以作一个圆

D.相等的圆心角所对的弧相等

5.（3分）如图，在△A8C中，点Q,E分别在线段AB,AC上，E.DE//BC,若鲤_=2,

DB3

则理的值为（）

BC

6.（3分）如图，。0的半径OC=5cm,直线/LOC,垂足为H,且/交。。于A、B两点,

AB=8c〃?，则/沿OC所在直线平移后与。。相切，则平移的距离是（）

C

A.1cmB.2cmC.8cmD.2c7〃或8cvn

7.（3分）如图，四边形物08是扇形OMN的内接矩形，顶点P在MN匕且不与M、N重

合，当尸点在余匕侈动时，矩形布0B的形状，大小随之变化，则A3的长度（）

A.不变B.变小C.变大D.不能确定

8.（3分）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A5C的位置，已知△ABC的面

积为18,阴影部分三角形的面积为8.若A4=l,则A\D等于（)

A.3B.2C.32D.23

9.（3分）如图，04,08是。。的半径,点C在上，连接AC,BC,若乙4=20°,

ZB=70°,则/AC8的度数为

A.50°B.55°C.60°D.65°

10.（3分）如图，点A在线段BQ上，在8。的同侧作等腰RtZ\ABC和等腰RtaADE,其

中/ABC=NAE£）=90°,CD与BE、AE分别交于点P、M.对于下列结论:

①△CAA/s△力EM；②CD=2BE；③MP・MD=MA・ME；④2cB?=CP。CM.

其中正确的是（）

A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.）

11.（2分）已知三口■,则三［=

y3x+y

12.（2分）若一元二次方程』+x-2018=0的解为xi、态，则占+*2的值是.

13.（2分）圆锥的底面半径为4cm母线长为6cm,那么这个圆锥的侧面积是cm.

14.（2分）在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为15〃的测杆的影长为\m,那么影

长为20,"的旗杆的高是m.

15.（2分）若点B（a,0）在以A（1,0）为圆心，以2为半径的圆内，则a的取值范围为.

16.（2分）如图，AB是。0的直径，点。在A8的延长线上，过点。作。O的切线，切点

为C,若NA=26°,则ND=

17.（2分）如图，点P\,尸2，尸3，24均在坐标轴上，且P1P2，P2P3,P2P3，P3P4，若点

Pi，尸2的坐标分别为（0，-2）,（-4,0）,则点P4的坐标为

18.（2分）如图，ZVIBC是等边三角形，A8=3,E在AC上且AE=2AC,。是直线8c

3

上一动点，线段绕点E逆时针旋转90°,得到线段EF,当点。运动时，则线段4尸

的最小值是

三.解答题（本大题共10小题，共84分.）

19.（9分）解方程：

(1)(X-1)2=4;

(2)3(x-2)2=x(x-2)；

(3)3，-6x+l=0(用配方法).

20.(6分)如图，已知点。是△ABC的边AC上的一点，连接BD.ZABD=ZC,AB=6,

AC=4.

(1)求证：△ABQS/XACB；

(2)求线段CO的长.

21.(8分)已知关于x的一元二次方程7-(Hl)x+2k-2=0.

(1)求证：方程有两个实数根；

(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根.第三边BC的长为3,当

△ABC是等腰三角形时，求k的值.

22.(8分)如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为I个单位的小正方形，点4、

B、C都是格点(每个小方格的顶点叫格点)，其中A(1,8),B(3,8),C(4,7).

(1)△ABC外接圆的圆心坐标是；

(2)ZVIBC外接圆的半径是；

(3)已知△A8C与(点。、E、F都是格点)成位似图形，则位似中心M的坐标

是;

(4)请在网格图中的空白处画一个格点△A1SG，使△AiBiGsaABC,且相似比为我：

1.

23.（8分）已知：△ABC中，ZC=90°.

（1）如图1,若AC=8,BC=6,OE_LAC,且。E=£）8,求AO的长；

（2）如图2,请利用没有刻度的直尺和圆规，在线段AB上找一点F,使得点F到边AC

的距离等于尸8（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）

24.（8分）万圣节两周前，某商店购进1000个万圣节面具，进价为每个6元，第一周以每

个10元的价格售出200个；随着万圣节的临近，预计第二周若按每个10元的价格销售

可售出400个，但商店为了尽快减少库存，决定单价降价x元销售（根据市场调查，单

价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价）；节后，商店对剩余面具清仓处

理，以第一周售价的四折全部售出.

（1）当单价降低2元时，计算第二周的销售量和售完这批面具的总利润；

（2）如果销售完这批面具共获利1300元，问第二周每个面具的销售价格为多少元？

25.（8分）如图，在直角aABC中，ZC=90°,以点C为圆心，8C为半径的圆交于

点。，交AC于点E.

（1）若NA=25°,求弧。E的度数；

（2）若8c=2,AC=6,求的长.

B

26.（8分）如图，。为正方形A8C。的对角线AC上一点，以。为圆心，0C的长为半径的

。。与A8相切于点

（1）求证：A。与。。相切；

（2）若AB=2日历，求图中阴影部分面积.

27.（11分）如图，ZXABC中，NACB=90°,BC=6,AB=10.点Q与点B在AC的同侧,

且AQ_LAC.

（1）如图1,点Q不与点A重合，连结CQ交于点P.设AQ=x,AP=y,求y关于

x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围;

（2）是否存在点Q,使△物。与△A8C相似，若存在，求AQ的长；若不存在，请说明

理由；

（3）如图2,过点B作BDLAQ,垂足为D.将以点Q为圆心，QD为半径的圆记为OQ.若

点C到。。上点的距离的最小值为8,求。。的半径.

28.（10分）已知：如图1,菱形ABCD的边长为6,/D4B=60°,点E是AB的中点，

连接AC、EC.点。从点A出发，沿折线A-O-C运动，同时点尸从点A出发，沿射

线AB运动，尸、Q的速度均为每秒1个单位长度；以PQ为边在PQ的左侧作等边

△PQF与重叠部分的面积为S,当点。运动到点C时P、Q同时停止运动，设运

动的时间为t.

(1)当等边的边PQ恰好经过点。时，求运动时间f的值；当等边△PQF的边

。尸恰好经过点E时，求运动时间t的值；

(2)在整个运动过程中，请求出S与1之间的函数关系式和相应的自变量■的取值范围；

(3)如图2,当点Q到达C点时，将等边△尸QF绕点尸旋转a°(0<a<360),直线

尸尸分别与直线AC、直线8交于点〃、N.是否存在这样的a,使△CMN为等腰三角

形？若存在，请直接写出此时线段CM的长度；若不存在，请说明理由.

期中数学试卷答案解析

一、选择题（本大题共1（）题，每小题3分，共计30分.）

1.（3分）已知x=2是关于x的一元二次方程/-x-2“=0的一个解，则a的值为（）

A.0B.-IC.1D.2

【考点】A1：一元二次方程的定义；A3：一元二次方程的解.

【专题】34：方程思想.

【分析】把方程的解代入方程，可以求出字母系数a的值.

【解答】解：..”=2是方程的解，

.'.4-2-2a=0

a=1・

故选：C.

【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值.

2.（3分）两个三角形的相似比是3：2,则其面积之比是（）

A.3：2B.3：2C.9：4D.27：8

【考点】S7：相似三角形的性质.

【专题】552：三角形.

【分析】由两个相似三角形，其相似比3：2,根据相似三角形面积的比等于相似比的平

方解答即可.

【解答】解：因为两个三角形的相似比是3：2,则其面积之比是9：4；

故选：C.

【点评】此题考查了相似三角形的性质.此题比较简单，注意相似三角形面积的比等于

相似比的平方.

3.（3分）若一个三角形的两边长分别为2和6,第三边是方程/-8x+15=0的一根，则这

个三角形的周长为（）

A.5B.3或5C.13D.11或13

【考点】A8：解一元二次方程-因式分解法；K6：三角形三边关系.

【专题】11：计算题；523：一元二次方程及应用；552：三角形.

【分析】解方程求得根之后，由三角形三边间的关系可得答案.

【解答】解：由方程，-8x+15=0可得（%-3）（%-5）=0,

.♦.x=3或x—5,

当x=3时，2、3、6构不成三角形，舍去；

当x=5时，三角形的周长为2+5+6=13；

故选：C.

【点评】本题主要考查解方程的能力和三角形三边间的关系，根据不同的方程选择合适

的方法是解题的关键.

4.（3分）下列说法正确的是（）

A.等弧所对的圆心角相等

B.平分弦的直径垂直于这条弦

C.经过三点可以作一个圆

D.相等的圆心角所对的弧相等

【考点】M2：垂径定理；M4：圆心角、弧、弦的关系；M9：确定圆的条件.

【专题】559：圆的有关概念及性质.

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、垂径定理的知识进行判断即可.

【解答】解：等弧所对的圆心角相等，A正确；

平分弦的直径垂直于这条弦（此弦不能是直径），8错误；

经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，C错误；

相等的圆心角所对的弧不一定相等，

故选：A.

【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、垂径定理的知识，掌握

相关定理并灵活运用是解题的关键.

5.（3分）如图，在△ABC中，点。，E分别在线段AB,AC上，且0E〃BC,若他_=2,

DB3

则理的值为（）

B

【考点】S9：相似三角形的判定与性质.

【分析】由比例的性质求出坦的值，由平行线证明△A£>ES/\A8C,得出对应边成比例

AB

即可.

【解答】解：•.•坦=2,

DB3

.AD2

•・二，

AB5

■:DE//BC,

：./\ADE<^/\ABC,

.DEAD=2.

"BC^ABT

故选：B.

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、比例的性质；证明三角形相似是解

决问题的关键.

6.（3分）如图，。。的半径0C=5cm,直线/LOC,垂足为“，且/交。。于A、B两点,

AB=8cw,则/沿0C所在直线平移后与。0相切，则平移的距离是（）

A.1cmB.2cmC.8cznD.2ctti或8。"

【考点】MB：直线与圆的位置关系.

【分析】根据垂径定理得到B"=L1B=LX8=4,再利用勾股定理计算出0”,然后利

22

用切线和平移的性质分类讨论：当向下平移时，直线/平移的距离为半径减去。“；当向

上平移时，直线/平移的距离为半径加上0H.

【解答】解：连接08,

,：AB±0C,

：.AH=BH,

=Lx8=4,

22

在RtZiB。”中，0B=0C=5,

AO//=VOB2-BH2=3,

又；将直线/通过平移使直线/与。0相切，

直线/垂直过C点的直径，垂足为直径的两端点，

.•.当向下平移时，直线/平移的距离=5-3=2(CTM)；

当向上平移时，直线/平移的距离=5+3=8(cm).

故选：

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平

分弦所对的弧.也考查了平移的性质、切线的性质以及勾股定理.

7.(3分)如图，四边形B40B是扇形OMN的内接矩形，顶点尸在谕匕且不与M、N重

合，当P点在市I上移动时，矩形抬。8的形状，大小随之变化，则A8的长度()

工

MAO

A.不变B.变小C.变大D.不能确定

【考点】LB：矩形的性质；Ml：圆的认识.

【分析】四边形以0B是扇形OMN的内接矩形，根据矩形的性质AB=OP=半径，所以

AB长度不变.

【解答】解：；四边形物08是扇形CWN的内接矩形，

；.AB=0P=半径，

当尸点在谕匕移动时，半径一定，所以AB长度不变，

故选：A.

【点评】本题考查了圆的认识，矩形的性质，用到的知识点为：90°的圆周角所对的弦

是直径，垂直于非直径的弦的直径平分弦，三角形的中位线等于第三边的一半.

8.（3分）如图，将aABC沿BC边上的中线AC平移到△AbC的位置，已知△ABC的面

积为18,阴影部分三角形的面积为8.若41=1,则A7）等于（）

C.32D.23

【考点】Q2：平移的性质.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】由SAABC=18、S-F=8且AD为BC边的中线知SMDE=%AAEF=4,S6

根据△£>?!'fs/^D4B知（&P-）2=辽/DE

据此求解可得.

加^AABD

【解答】解：如图,

』ABC=18、SMEF=8，且A。为BC边的中线，

•'-S&A'DE--^SAA'EF=4,S^ABD—^S^ABC-9>

：将△ABC沿BC边上的中线A。平移得到△A'B'C,

；.A'E//AB,

：./\DA'E^^DAB,

贝ij（A，0）2=DE,即（A：D）2=_4

ADSAABDA'D+l9

解得A'D=2（负值舍去）,

故选：B.

【点评】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的

性质、相似三角形的判定与性质等知识点.

9.（3分）如图，OA,0B是0。的半径，点C在。。上，连接AC,BC,若/4=20°,

NB=70°,则NACB的度数为（）

【考点】M5：圆周角定理.

【分析】根据圆周角定理得到N0=2NC,由三角形的内角和得到NA+/O=/C+NB,

代入数据即可得到结论.

【解答】解：；N0=2NC,

ZA+ZO=ZC+ZB,

.".ZACB=ZB-ZA=50°,

故选：A.

【点评】本题考查了圆周角定理，找到图中的圆心角和圆周角是解题的关键.

10.（3分）如图，点4在线段BZ）上，在80的同侧作等腰和等腰RtZVIOE,其

中NA8C=NA££>=90°,CD与BE、AE分别交于点P、M.对于下列结论：

①ACAMSADEM；②CD=2BE；③④2cB2=CP.CM.

其中正确的是（）

A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形；S9：相似三角形的判

定与性质.

【专题】553：图形的全等；554：等腰三角形与直角三角形；55D：图形的相似.

【分析】（1）求出/C4M=NOEM=90°,根据相似三角形的判定推出即可;

(2)求出得出比例式，把AC=%/^4B代入，即可求出答案；

(3)通过等积式倒推可知，证明△KlMsAEM。即可；

(4)2CB2转化为4C2,证明△ACPS/\MC4,问题可证.

【解答】解：；在8。的同侧作等腰Rt&4BC和等腰RtAWE,ZABC=ZAED^=90°,

：.ZBAC=45°,ZEAD=45°,

AZCAE=180°-45°-45°=90°,

即NCAM=NDEM=90°,

；NCMA=NDME,

...△CAMs△QEM,故①正确；

由已知：AC=J^4B,A£>=&AE,

.AC=AD

*'ABAE'

ZBAC^ZEAD

：.ZBAE=ZCAD

：./\BAE^ACAD,

.BA=BE

••而CD,

即CD=MBE,故②错误；

,:匕BAEs/\cAD

：.ZBEA^ZCDA

■:NPME=ZAMD

:.丛PMEs丛AMD

.MP=ME

'"MA而'

：.MP'MD=MA*ME,故③正确;

由②

ZPMA=ZDME

:.丛PMAsXEMD

：.NAPZ)=NAED=90°

VZCAE=180°-/84C-/EW=90°

；.△CAPs△CAM

：.ACl=CP'CM

'：AC=4?AB,

：.2CET=CP'CM,故④正确；

即正确的为：①③④，

故选：C.

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定、等腰直角三

角形等知识点，在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行

证明，进而得到答案.

二、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分.)

11.(2分)已知三=2,则卫=-1.

y3x+y”一

【考点】S1：比例的性质.

【专题】11：计算题.

【分析】根据合分比定理［如果a：b=c：d那么(a+h)：(.a-h)=(c+d)：(c-d))(b、

d、a-h,c-dWO)］来解答即可.

【解答】解：由已知，得

xp_2-3

x+y2+3

即卫=-±.

x+y5

【点评】本题主要考查的是合分比定理：一个比例里，第一个前后项之和与它们的差的

比，等于第二个比的前后项的和与它们的差的比.这叫做比例中的合分比定理.

12.(2分)若一元二次方程2018=0的解为为、X2，则xi+为的值是7.

【考点】AB：根与系数的关系.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】直接利用根与系数的关系求解即可.

【解答】解：•.•方程，+x-2018=0的解为修、物

这里a=l,b=\

由根与系数的关系可得X|・X2=-且=-1.

故答案为：-1.

【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系.一元二次方程以2+法+c=0QWO）

的根与系数的关系为：用+汹=-也■,

aa

13.（2分）圆锥的底面半径为4C/M,母线长为6C”?，那么这个圆锥的侧面积是24TTC.

【考点】MP：圆锥的计算.

【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形

的面积公式

【解答】解：•••圆锥的底面半径为4c〃?，

二圆锥的底面圆的周长=2TT・4=8TT,

，圆锥的侧面积=工・8丘・6=24n（c渥）.

2

故答案为：24n.

【点评】本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆

锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长.也考查了扇形的面积公式：S=LM・R,（/

2

为弧长）.

14.（2分）在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为15〃的测杆的影长为\m,那么影

长为20w的旗杆的高是30m.

【考点】SA：相似三角形的应用；U5：平行投影.

【专题】55D：图形的相似；55F：投影与视图.

【分析】设影长为20m的旗杆的高是；nn,再由同一时刻物高与影长成正比即可得出结论.

【解答】解：设影长为20,”的旗杆的高是巾7,

•.•在相同时刻物高与影长成比例，高为1.5巾的测杆的影长为1m,

•.•1.5_x,

120

解得x=30Cm）.

故答案为：30.

【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题

的关键.

15.（2分）若点B（a,0）在以A（1,0）为圆心，以2为半径的圆内，则。的取值范围为

【考点】D5：坐标与图形性质；M8：点与圆的位置关系.

【专题】1:常规题型.

【分析】熟记“设点到圆心的距离为d,则当d=R时，点在圆上；当d>R时，点在圆

外；当时，点在圆内”即可解答.

【解答】解：以A(1,0)为圆心，以2为半径的圆交x轴两点的坐标为(-1,0),(3,

0),

•.•点8(a,0)在以A(1,0)为圆心，以2为半径的圆内，

-l<<z<3.

故答案为：-l<a<3.

【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断的知识点，解答本题的关键是理解点B

在以A(1,0)为圆心，以2为半径的圆内的含义，本题比较简单.

16.(2分)如图，48是。。的直径，点。在的延长线上，过点。作。。的切线，切点

【考点】M5：圆周角定理；MC：切线的性质.

【专题】55A：与圆有关的位置关系.

【分析】由题意可得：ND4C=NOC4=26°,即N£>OC=52°,由切线的性质可得/

。。。=90°,根据三角形内角和定理可求/OOC的度数.

4c=/OCA=26°

NDOC=ZDAC+ZOCA

：.NDOC=52°

是。0的切线

：.ZOCD=90°

ZODC+Z（9CD+ZDOC=180°

.•.ZODC=38°

故答案为38°

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，熟练运用这些性质

解决问题是本题的关键.

17.（2分）如图，点Pi，P2,尸3，24均在坐标轴上，且PP2~LP2P3，P2P3，P3P4，若点

P\,P2的坐标分别为（O，-2）,（-4,0）,则点24的坐标为（16,0）.

【专题】55D：图形的相似.

【分析】根据相似三角形的性质求出OP3的长，再根据相似三角形的性质计算求出。匕

的长，得到答案.

【解答】解：•••点修，P2的坐标分别为（0，-2）,（-4,0）,

二0丹=2,0P2=4,

•••P1P2，P2P3,P2P3,P3P4，

.../PIP2P3=NP2P3P4=90°

.,.RlAP10P2cz,RtA/>20P3，

解得,OP3=8,

RtAP2(9/>3tz,RtA/>3OP4.

0P20P3

80P4

解得，。尸4=16,

则点24的坐标为（16,0）,

故答案为：(16,0).

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质以及坐标与图形的性质，掌握相似三角

形的判定定理和性质定理是解题的关键.

18.(2分)如图，△ABC是等边三角形，AB=3,E在AC上且力是直线BC

3

上一动点，线段绕点E逆时针旋转90°,得到线段EF,当点。运动时，则线段AF

【考点】KK：等边三角形的性质；R2：旋转的性质.

【专题】553：图形的全等.

【分析】过E作EGJ_8C于G,过A作AP_LEG于尸，过F作F”_LEG于H,则NOGE

=/EHF=90°,依据妾△EFH(A4S),即可得到HF=EG,进而得到当点。运

动时，点F与直线GH的距离为云§个单位，据此可得当AFLEG时，AF的最小值为

AP+HF=\+k^.

【解答】解：如图所示，过E作EGLBC于G,过A作APLEG于P,过F作

于H,plljZDGE=ZEHF=90°,

VZD£F=90°,

NEDG+/DEG=90°=ZHEF+ZDEG,

:.NEDG=NFEH,

又，：EF=DE,

：./\DEG^/\EFH(AA5),

:.HF=EG,

「△ABC是等边三角形，AB=3,A£=2AC,

3

：.AE=2,CE=\,NAEH=NCEG=30°,

.•.CG=LCE=L,AP=LAE=1,

222

・•,HF=W眄,

当点D运动时，点F与直线GH的距离始终为吉•、任个单位,

，当AFLEG时，AF的最小值为AP+HF=\+L^,

故答案为：

【点评】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心

的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.解决问题的关键是作辅助

线构造全等三角形，利用全等三角形的性质即可得出点尸的运动轨迹.

三.解答题(本大题共10小题，共84分.)

19.(9分)解方程：

(1)(X-1)2=4;

(2)3(x-2)2=x(x-2)；

(3)3X2-6A+1=0(用配方法).

【考点】A5：解一元二次方程-直接开平方法；A6：解一元二次方程-配方法；A8：解

一元二次方程-因式分解法.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】(1)移项，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

(2)移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可：

(3)把常数项移项、二次项系数化为1后，利用配方法求解即可.

【解答】解：(1)(x-1)2=4,

开方得：x-1=2或x-1=-2,

*'•%1=3,%2=~1

(2)3(x-2)2=x(x-2),

3(x-2)2-x(x-2)=0,

(x-2)[3(x-2)-x]=0,

.*.x-2=0或2x-6=0,

*,•%!=2,%2=3;

(3)3/-6x+l=0,

x-2x=-—,

3

X2-2X+1=--^-+1,即(x-1)2=2,

33

贝2]=±®

3_

.'•Xl—1+^^-.X2—1-

33

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此

题的关键.

20.(6分)如图，已知点。是△ABC的边AC上的一点，连接BDNABD=NC,AB=6,

AD=4.

(1)求证：△ABOSAACB；

(2)求线段C£＞的长.

【考点】S9：相似三角形的判定与性质.

【分析】根据即可证得

（1）NA8O=/C,/A=NA,△AB£>sZ^4C8；

（2）由（1）知：AABD^AACB,根据相似三角形的性质得到处=幽，代入数据即

ABAC

可得到结果.

【解答】解：（1）•••NAB£>=NC,ZA=ZA（公共角），

:AABDs2ACB；

(2)由(1)知：△ABOs^ACB,

.AD=AB

,*ABAC'

即,

64+CD

，CO=5.

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解

题的关键.

21.(8分)已知关于x的一元二次方程，-(k+1)x+2k-2=0.

(1)求证：方程有两个实数根；

(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根.第三边BC的长为3,当

△4BC是等腰三角形时，求上的值.

【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系；K6：三角形三边关系；KH：等腰三

角形的性质；KQ：勾股定理.

【专题】H：计算题；45：判别式法.

【分析】(1)先计算出a=(A-3)2,然后根据判别式的意义即可得到结论；

(2)先求出方程的解为xi=2,X2=k-1,然后分类讨论：〜1=3或01=2时

为等腰三角形，然后求出k的值.

【解答】(1)证明：,/△=[-(RI)]2-4(2k-2)=必-6&+9=(k-3)2》0,

二方程有两个实数根；

(2)解：x2-(KI)x+2Z-2=0,

(x-2)(x-k+1)=0,

解得xi=2,X2=k-1,

当％-1=3时，ZiABC是等腰三角形，则％=4；

当％-1=2时，AABC是等腰三角形，则％=3,

所以k的值为4或3.

【点评】本题考查了一元二次方程ox2+ta+e=0(aWO)的根的判别式△=/-4或：当

△>0,方程有两个不相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当△<(),方

程没有实数根.也考查了解一元二次方程，三角形三边的关系以及等腰三角形的性质.

22.（8分）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、

B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1,8）,B（3,8）,C（4,7）.

（1）ZVIBC外接圆的圆心坐标是（2,6）；

（2）△ABC外接圆的半径是_近_；

（3）已知△ABC与（点。、E、尸都是格点）成位似图形，则位似中心M的坐标

是（3,6）；

（4）请在网格图中的空白处画一个格点△A]8|C|,使△AIBIGSAABC,且相似比为血：

【考点】MR：圆的综合题.

【专题】152：几何综合题.

【分析】（1）如图1中，作线段AB,BC的垂直平分线交于点0',点。'即为AABC

的外接圆的圆心；

（2）利用两点间距离公式计算即可；

（3）如图2中，由△ABCsaOE凡推出点4与点，点B与点E,点C与点尸是对应

点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求；

（4）根据相似三角形的性质求出△AliG的三边即可解决问题；

【解答】解：（1）如图1中，作线段48,8c的垂直平分线交于点0',点0'即为△

ABC的外接圆的圆心，0'（2,6）.

VA

°1234567勺

图1

故答案为（2,6）.

（2）连接CO'.CO'=J12+22=泥,

...△4BC外接圆的半径是遍.

故答案为述.

(3)如图2中，:AABCSADEF,

...点A与点。，点B与点E,点C与点尸是对应点，对应点连接的交点即为位似中心,

如图点M即为所求.

_I_i_I_i_I__L>

°1234567X

图2

观察图象可知M（3,6）

故答案为（3,6）.

（4）如图，81cl即为所求:

图3

【点评】本题属于圆综合题，考查三角形的外接圆的外心，位似变换，相似三角形的判

定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会

用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题.

23.（8分）已知：△ABC中，ZC=90°.

(1)如图1,若AC=8,8c=6,DELAC,KDE=DB,求4。的长；

(2)如图2,请利用没有刻度的直尺和圆规，在线段A8上找一点凡使得点F到边AC

的距离等于尸&(注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注)

【考点】KQ：勾股定理；N3：作图一复杂作图.

【专题】558：平移、旋转与对称；55D：图形的相似.

【分析】(1)由题意可证：可得还JR,即可求AZ)的长；

BCAB

(2)作的平分线8G,交AC于G,作8G的垂直平分线MN,交AB于F,则点F

即为所求.

【解答】解：⑴VZC=90°,AC=8,BC=6,

.♦.48=10

'：DELAC,ZC=90°,

J.DE//BC

：.△人力ESA4BC

-DE_AD

"BC^AB

,:DE=DB

.AB-AD二AD

BC=AB

^|1O~ADAD

~6~Y

.•.A£>=里.

4

(2)如图2所示，作N8的平分线2G,交AC于G,作BG的垂直平分线交A3

于凡则点尸即为所求.

【点评】本题考查了作图-复杂作图，勾股定理，相似三角形，熟练运用相似三角形解

决问题是本题的关键.

24.(8分)万圣节两周前，某商店购进1000个万圣节面具，进价为每个6元，第一周以每

个10元的价格售出200个；随着万圣节的临近，预计第二周若按每个10元的价格销售

可售出400个，但商店为了尽快减少库存，决定单价降价x元销售(根据市场调查，单

价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价)；节后，商店对剩余面具清仓处

理，以第一周售价的四折全部售出.

(1)当单价降低2元时，计算第二周的销售量和售完这批面具的总利润；

(2)如果销售完这批面具共获利1300元，问第二周每个面具的销售价格为多少元？

【考点】AD：一元二次方程的应用.

【专题】124：销售问题.

【分析】(1)第二周的销售量=400+100x.利润=售价-成本价：

(2)根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即

可.

【解答】解：(1)第二周的销售量为：400+100x=400+100x=400+100X2=600.

总利润为：200X(10-6)+(8-6)X600+200(4-6)=1600.

答：当单价降低2元时，第二周的销售量为600和售完这批面具的总利润1600；

(2)由题意得出：200X(10-6)+(10-x-6)(400+100x)+(4-6)[(1000-200)

-（400+100%）]=1300,

整理得:7-2x-3=0,

解得：修=3；X2—-1（舍去），

10-3=7（元）.

答：第二周的销售价格为7元.

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知表示出两周的利润是解题关键.

25.（8分）如图，在直角AASC中，/C=90°,以点C为圆心，为半径的圆交AB于

点。，交AC于点E.

（1）若NA=25°,求弧OE的度数；

（2）若8c=2,AC=6,求8。的长.

【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理；M4：圆心角、弧、弦的关系.

【专题】559：圆的有关概念及性质.

【分析】（1）求出N3的度数，求出N8所对的弧的度数，即可得出答案;

（2）根据勾股定理求出A8,根据割线定理得出比例式，即可得出答案.

【解答】解：（1）连接CD,

VZA=25°,

AZB=65°,

;CB=CD,

:.NB=NCDB=65°,

AZBCD=50°,

ZDC£=40°

徐的度数为40°；

(2)延长AC交OC与点尸，

VZBCA=90°,BC=2,AC=6,

：.AB=2y/lO=5,A£=6-2=4.

；AB与A尸均是OC的割线，

：.AD-AB=AE-AF,即2VT^rAO=4X8,解得"万元,

5

BD=AB-AD=2A/T0-员叵=&!^.

55

【点评】本题考查了勾股定理，割线定理圆心角、弧、弦之间的关系的应用，能综合运

用知识点进行计算是解此题的关键.

26.（8分）如图，。为正方形ABC。的对角线AC上一点，以。为圆心，OC的长为半径的

。0与AB相切于点M.

（1）求证：A。与。O相切；

【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算.

【专题】55A：与圆有关的位置关系.

【分析】（1）连接OM,过。作ON_L4。于N,根据正方形的性质得到NMAO=NNAO,

根据切线的性质得到OMLAB,根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）延长MO交C。于H,延长NO交8C于G,根据平行线的性质得到同

理NGLBC,推出△OCF与AOCE是等腰直角三角形，解方程得到。〃=&,OC=OM

=2,于是得到结论.

【解答】解：（1）连接OM,过。作ONLA。于N,

•.•四边形ABC。是正方形，

：.ZMAO^ZNAO,

：。0与AB相切于点M,

0M1.AB,

：.ZAMO=ZANO=90Q,

，ZMAO=ZNAO

在△AMO与△ANO中，，ZAM0=ZAN0>

,AO=AO

.♦.△4M0丝△4NO(A4S),

：.ON=OM,

：.AD与。。相切；

(2)延长MO交CD于H,延长NO交BC于G,

'：AB//CD,

C.MHVCD,同理NG_LBC,

：.FG=CG,CH=EH,

△OCT与AOCE是等腰直角三角形，

；.NE。尸=180°,

：.MH=BC=AB=2+y[2,

VOC=OM=\[2OH,OM+OH=BC=AB=2+y/2,

：.0H=a,OC=OM=2,

图中阴影部分面积=LX22TT-J-X4X2=2n-4.

22

【点评】本题考查了切线的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆

和三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键.

27.（11分）如图，ZXABC中，乙4cB=90°,BC=6,AB=10.点。与点B在AC的同侧,

且AQ_LAC.

(1)如图1,点Q不与点A重合，连结CQ交AB于点P.设AQ=x,AP=y,求y关于

x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围;

(2)是否存在点。，使△B4Q与AABC相似，若存在，求AQ的长；若不存在，请说明

理由；

(3)如图2,过点B作BDLAQ,垂足为D.将以点Q为圆心，QD为半径的圆记为OQ.若

点C到0Q上点