（实验三部）高二数学3月月考试题 理（含解析）-人教版高二数学试题

一.选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1.已知复数z，则虚部为（）A. B.i C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简复数z，得到共轭复数即可.【详解】因为复数z，所以，所以的虚部为.故选：C【点睛】本题主要考查了复数的概念和复数的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内夹谷约（）A.右 B.石 C.石 D.石【答案】B【解析】【分析】根据粒内夹谷粒，可得比例，即可得出结论．【详解】由题意，抽得样本中含谷粒，占样本的比例为，则由此估计总体中谷的含量约为石．故选：B．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．3.设函数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】∵函数在上单调递增,，∴，反之不成立,例如,但是无意义．∴则“”是“”的必要不充分条件．故选B.4.口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球32个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为（）A.0.32 B.0.45 C.0.64 D.0.67【答案】B【解析】【分析】根据白球的概率可求得白球数，用总数减去红球与白球数即可求出对应的概率【详解】由题可知，白球数为：个，则黑球数为100-32-23=45个，对应黑球概率为：故选：B【点睛】本题考查概率公式的应用，属于基础题5.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）.若以射线Ox为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为（）A.ρ＝sinθ B.ρ＝2sinθ C.ρ＝cosθ D.ρ＝2cosθ【答案】D【解析】由（为参数）得曲线普通方程为，又由，可得曲线的极坐标方程为，故选D．6.下列说法中错误的个数是（）①从某社区65户高收入家庭，280户中等收入家庭，105户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某一项指标，应采用的最佳抽样方法是分层抽样②线性回归直线一定过样本中心点③对于一组数据，如果将它们改变，则平均数与方差均发生变化④若一组数据1、、2、3的众数是2，则这组数据的中位数是2⑤用系统抽样方法从编号为1，2，3，…，700的学生中抽样50人，若第2段中编号为20的学生被抽中，按照等间隔抽取的方法，则第5段中被抽中的学生编号为76A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】①应该采用分层抽样满足抽样合理性；②线性回归直线一定过样本中心点；③平均数肯定变化，方差指数据和平均数离散程度，不变；④由众数算出即可求中位数；⑤用系统抽样，700个抽样50每隔14人抽一次，根据第二次抽中编号为20可推知第五次被抽中的编号。【详解】①从某社区65户高收入家庭，280户中等收入家庭，105户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某一项指标，采用分层抽样满足抽样合理性，正确；②线性回归直线一定过样本中心点，正确；③对于一组数据，如果将它们改变为，平均数由变为，方差没发生变，不正确；④因为众数是2，所以，所以这组数据的中位数是，正确；⑤用系统抽样，700个抽样50每隔14人抽一次，第二次抽中编号为20，则第三次是34，第四次是48.第五次是62，不正确；所以错误的是③⑤故选：C【点睛】此题考查概率中分层抽样，系统抽样，众数，中位数，平均数，方差等知识点，熟练掌握知识点很容易解决，属于简单题目。7.在正项等比数列中，若依次成等差数列，则的公比为（）A.2 B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】由等差中项的性质可得，又为等比数列，所以，化简整理可求出q的值．【详解】由题意知，又为正项等比数列，所以，且，所以，所以或（舍），故选A【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，熟练掌握等差中项的性质，及等比数列的通项公式是解题的关键，属基础题．8.已知关于某设各的使用年限x（单位：年）和所支出的维修费用y（单位：万元）有如下的统计资料，x23456y2.23.85.56.57.0由上表可得线性回归方程，若规定当维修费用y＞12时该设各必须报废，据此模型预报该设各使用年限最大值为（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】试题分析：由已知表格得：，，由于线性回归直线恒过样本中心点，所以有：，解得：，所以线性回归方程，由得：解得：，由于，所以据此模型预报该设备使用年限的最大值为9.故选C.考点：线性回归．9.如图，设不等式组表示的平面区域为长方形ABCD，长方形ABCD内的曲线为抛物线的一部分，若在长方形ABCD内随机取一个点，则此点取自阴影部分的概率等于A. B.C. D.【答案】A【解析】选A.点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．10.已知直线与圆相交于，两点，且，则的取值范围是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知可知圆心，由勾股定理可知圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式，可得，列出不等式，即可求出结果．【详解】若，由勾股定理可知，又圆心到直线的距离，所以即，解得：.故选：C．【点睛】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的弦长公式，属于中档题．11.将数列中的所有项排成如下数阵:其中每一行项数是上一行项数的倍，且从第二行起每-行均构成公比为的等比数列，记数阵中的第列数构成的数列为，为数列的前项和，若，则等于()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定为第11行第2个数，由可得，最后根据从第二行起每一行均构成公比为的等比数列即可得出结论．【详解】∵其中每一行项数是上一行项数的倍，第一行有一个数，前10行共计个数，即为第11行第2个数，又∵第列数构成的数列为，，∴当时，，∴第11行第1个数为108，∴，故选：C.【点睛】本题主要考查数列的性质和应用，本题解题的关键是为第11行第2个数，属于中档题．12.已知函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】原命题等价于有两个解有两个解有两组解，设，又，作图如上，可得：，故选A.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想将有两个零点转化为方程有两个解，再转化为有两组解，然后利用导数工具作出图像，观察可得的取值范围.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若某中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是_________．【答案】90.5【解析】【分析】本题首先可以通过茎叶图得出8个班参加合唱比赛的得分，然后将得分从小到大排列，最后通过中位数的性质即可得出答案．【详解】本题一共八个数字，分别是，故中位数是．【点睛】本题考查了茎叶图以及中位数的相关性质，能否根据茎叶图确定所有的数据是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题．14.函数的一条对称轴方程是，则的值为__________.【答案】0【解析】【分析】代入有等于正弦函数的对称轴表达式,再根据求解即可.【详解】由题,当时,即.又,故当时,.故答案为：0【点睛】本题主要考查了根据正弦函数对称轴求参数的问题,属于基础题.15.如图，已知正三棱锥，，，点是的中点，点是上的动点，则直线，所成角的最小值为_________.【答案】【解析】【分析】当P位于BC的端点时，直线AP与平面BCD面内的直线所成夹角是最小角，即直线AP与平面BCD所成角。【详解】如图所示：过点A作，垂足为O,则点O是正三角形BCD的中心，由正弦定理因为，易得当点P在线段BC上运动时,直线AP与平面BCD内的直线所成角的最小值,即为直线AP与平面BCD所成的角,设这个角为，则显然，当点P位于棱BC的端点时,取最小值,此时,所以故答案为：【点睛】此题考查异面直线的夹角，关键点是在端点处直线与平面产生最小角进而求解，属于一般性题目。16.设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，椭圆C上的两点A，B关于原点对称，且满足·＝0，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆C的离心率的取值范围是_______________.【答案】【解析】【分析】设左焦点为E,连AE,BE,依题意可得四边形AEFB为矩形,根据椭圆定义,勾股定理以及已知不等式列式可解得.【详解】画出图形设左焦点为E，连接AE，BE,依据题意可得四边形AEFB为矩形故答案为：【点睛】此题考查椭圆的对称性和平面向量的数量积以及三角函数的知识,求出椭圆离心率的解析式,再求得离心率的取值范围，属于一般性题目。三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.大庆实验中学在高二年级举办线上数学知识竞赛，在已报名的400名学生中，根据文理学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）估算一下本次参加考试的同学成绩的中位数和众数；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半理科生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的文理科生人数相等.试估计总体中理科生和文科生人数的比例.【答案】（1）中位数为72.5，众数为75（2）20（3）3∶2【解析】【分析】（1）算出每组的概率，进而找到50%落在哪个组，代入计算即可求解中位数，众数很明显在最高出中间位置产生；（2）先算出总体多少人再乘以[40，50)的概率即可求解；（3）先算出总共分数不小于70的人数，从而算出样本中分数不小于70的理科生人数，再得到文科生人数即可求解。【详解】解析：（1）可以估计出中位数为72.5，众数为75.（2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分数在区间[40，50)内的人数为100－100×0.9－5＝5.所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为400×＝20.（3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，所以样本中分数不小于70的理科生人数为60×＝30.所以样本中的理科生人数为30×2＝60，文科生人数为100－60＝40，所以根据分层抽样原理，总体中理科生和文科生人数的比例估计为60∶40＝3∶2.【点睛】此题考查直方图中中位数，众数的计算，样本估计总体等知识点，属于较易题目。18.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点P的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点P在直线l上.（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）曲线的极坐标方程为.若与交于两点，求的值.【答案】（1）a＝，l的直角坐标方程为x＋y－2＝0（2）【解析】【分析】（1）将点P的极坐标代入直线l的极坐标方程即可求得a的值，再直线l的极坐标方程化为直角坐标即可求解；（2）写出直线的参数方程，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义代入即可求解。【详解】解析：（1）由点P在直线ρcos＝a上，可得a＝，所以直线l的方程可化为ρcosθ＋ρsinθ＝2，从而l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.（2）由ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，曲线的极坐标方程为转化为直角坐标方程为把曲线的参数方程为（为参数），代入得，设，是对应的参数，则，所以【点睛】此题考查直线参数方程的t的几何意义，将直线参数方程带去曲线直角坐标方程化简后根据韦达定理代入即可求解，属于较易题目。19.已知在中,角所对的边分别为,且.（1）求角的大小;（2）若,求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，根据余弦定理可求的值，结合范围，可求的值.（2）由余弦定理，基本不等式可求，又根据两边之和大于第三边可得，即可求解的取值范围.【详解】（1）由则，，所以，而，故.（2）由且，所以，又，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式等在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题.20.如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，，，与相交于点E，平面，，，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质得和平面几何中的三角形的性质得，再由线面垂直的判定定理可得证；（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，再由二面角的向量计算公式可求得值.【详解】（1）平面，平面，.又，，，，，即，又，平面.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，，，可取，即，由（1）知平面的一个法向量为，，由题意可知二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，以及二面角的计算，求解二面角时注意根据图示得出二面角是锐角还是钝角，再取其值，属于中档题.21.已知中心在原点，焦点在轴上，离心率为的椭圆过点（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点的直线与该椭圆交于两点，满足直线的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）先设出椭圆方程为，再根据条件离心率为及椭圆上的点，代入即可得到椭圆方程；（2）先设出直线方程及，然后联立椭圆方程得到及．再由直线的斜率依次成等比数列得到，由得到．代入中及直线的斜率存在得到，且，然后由点到直线的距离公式及两点间距离公式得到面积．最后由基本不等式得到，从而得到面积的取值范围．试题解析：（1）由题意可设椭圆方程为，则（其中，），且，故．所以椭圆的方程为．（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0．故可设直线：，设，由