清华大学微积分高等数学课件第4讲不定积分二

清华大学微积分高等数学课件第4讲不定积分二汇报人：AA2024-01-25引言不定积分的计算方法特殊函数的不定积分不定积分的应用举例不定积分的计算技巧与注意事项课后习题与拓展思考目录01引言本讲内容概述010203基本积分公式与积分法则不定积分的计算方法和技巧不定积分的定义与性质不定积分的概念与性质不定积分的定义原函数与导函数的关系，不定积分的几何意义不定积分的性质线性性质、积分区间可加性、积分常数性质等学习目标和要求01掌握不定积分的定义、性质和基本积分公式02熟练掌握不定积分的计算方法和技巧，能够解决一些实际问题培养数学思维能力，提高分析问题和解决问题的能力0302不定积分的计算方法凑微分法通过凑微分，将复合函数的微分法转化为基本初等函数的微分法，从而求出原函数。三角代换法利用三角函数的性质，将某些根式或复杂式子转化为三角函数的微分法，简化计算过程。倒代换法当被积函数含有分式，且分子分母次数较高时，可采用倒代换法，降低计算难度。第一类换元法通过变量代换，将原函数转化为另一个较简单的函数，从而求出原函数。变量代换法欧拉代换法是变量代换法的一种特殊情况，适用于被积函数含有根式的情况。欧拉代换法第二类换元法列表法将被积函数和微分函数分别列成表格，通过交叉相乘并相减的方式求出原函数。口诀法根据分部积分的口诀“反对幂指三”，确定被积函数和微分函数的顺序，从而快速求出原函数。基本公式法根据分部积分的基本公式，将被积函数拆分为两个函数的乘积，并分别求出两个函数的原函数。分部积分法03特殊函数的不定积分有理函数不定积分的求解方法通过部分分式分解法将有理函数化为简单分式的和，再对每个简单分式进行不定积分。典型例题解析例如求解$intfrac{x+1}{x^2+2x+1}dx$，可以先将分子进行拆分，再对分母进行因式分解，最后利用部分分式分解法求解。有理函数的不定积分三角函数的不定积分通过三角函数的和差化积、积化和差等公式，将复杂的三角函数表达式化为简单的三角函数形式，再进行不定积分。三角函数不定积分的求解方法例如求解$intsin^2xcosxdx$，可以先利用三角函数的倍角公式将$sin^2x$化为$frac{1-cos2x}{2}$，再进行不定积分。典型例题解析指数函数与对数函数不定积分的求解方法通过换元法、分部积分法等方法，将指数函数或对数函数的表达式化为可求解的形式，再进行不定积分。典型例题解析例如求解$inte^{2x}sinxdx$，可以先利用分部积分法将原式化为$-e^{2x}cosx+2inte^{2x}cosxdx$，再进行求解。指数函数与对数函数的不定积分04不定积分的应用举例计算平面图形的面积通过不定积分可以求解由曲线和直线所围成的平面图形的面积。求解曲线的弧长不定积分可用于计算平面或空间曲线的弧长。计算空间图形的体积利用不定积分可以计算旋转体、柱体等空间图形的体积。在几何学中的应用计算变力做功在物理学中，变力做功可以通过不定积分进行计算。计算液体的压力利用不定积分可以求解液体在容器底部或侧壁的压力。求解物体的运动轨迹通过不定积分可以求解物体在受到变力作用下的运动轨迹。在物理学中的应用在经济学中，总收益和总成本可以通过不定积分进行计算。计算总收益和总成本利用不定积分可以求解边际效益和边际成本，进而分析企业的经济效益。求解边际效益和边际成本通过不定积分可以分析市场需求和供给的变化趋势，为企业决策提供参考。分析市场需求和供给在经济学中的应用05不定积分的计算技巧与注意事项换元法将复杂的不定积分拆分为多个简单的不定积分。分部积分法有理函数积分三角函数积分01020403利用三角函数的性质及恒等式进行积分。通过适当的变量替换简化积分表达式。通过部分分式分解等方法处理有理函数的积分。计算技巧总结忽视定义域在换元时未注意新变量的定义域，导致结果不准确。计算失误在复杂的计算过程中出错，如代数运算、求导等。错误使用公式对积分公式理解不透彻，误用或错用公式。常见错误分析熟练掌握基本公式对不定积分的基本公式和性质要熟练掌握。多做练习通过大量的练习提高计算速度和准确性。注意检查在完成计算后，要仔细检查每一步，确保没有错误。寻求帮助遇到难以解决的问题时，可以向老师或同学请教。提高计算效率的建议06课后习题与拓展思考习题1求解不定积分∫(x^2+1)/(x^4+1)dx习题4求解不定积分∫(x^2-1)/(x^4+4)dx习题3求解不定积分∫sin(x)/cos^2(x)dx习题2求解不定积分∫x^2e^(x^3)dx课后习题选讲思考题1探讨不定积分∫e^(ax)sin(bx)dx的求解方法思考题3研究不定积分∫(sin^2(x))/(1+cos(x))dx的性质与求解技巧思考题2讨论不定积分∫(x^n)/(1+x^m)dx的求解思路，其中n,m为正整数思考题4尝试求解不定积分∫(arctan(x))/(1+x^2)dx拓展思考题自学参考资料推荐《微积分学教程》（上