2024届湖北省宜昌市第二中学数学高二下期末综合测试试题含解析

2024届湖北省宜昌市第二中学数学高二下期末综合测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图象可能是A． B．C． D．2．2019年高考结束了，有为同学（其中巴蜀、一中各人，八中人）高考发挥不好，为了实现“南开梦”来到南开复读，现在学校决定把他们分到三个班，每个班至少分配位同学，为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（）A． B． C． D．3．已知函数，的值域是，则实数的取值范围是()A． B． C． D．4．等于()A． B．2 C．-2 D．+25．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是()A． B． C． D．6．函数的大致图象为（）A． B．C． D．7．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于同一个常数．若第一个单音的频率为f，第三个单音的频率为，则第十个单音的频率为（）A． B． C． D．8．设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（）A． B． C． D．9．己知三边，，的长都是整数，，如果，则符合条件的三角形的个数是（）A． B． C． D．10．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（）A． B． C． D．11．已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则实数的取值是（）A．0 B．4 C．0或-4 D．0或412．设函数是定义在上的偶函数，且，若，则A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知是虚数单位，则复数的模为______．14．某学校高三年级700人，高二年级700人，高一年级800人，若采用分层抽样的办法，从高一年级抽取80人，则全校总共抽取______人.15．设，若不等式对任意实数恒成立，则取值集合是_______.16．已知，，设，则_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知是定义在上的奇函数，且当时，．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）解不等式．18．（12分）设函数，其中.已知.（1）求；（2）将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最值.19．（12分）已知函数.（1）若函数上是减函数，求实数a的最小值；（2）若，使（）成立，求实数a的取值范围.20．（12分）己知抛物线：过点（1）求抛物线的方程：（2）设为抛物线的焦点，直线：与抛物线交于，两点，求的面积.21．（12分）已知数列满足，.（I）求，，的值；（Ⅱ）归纳猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.22．（10分）设圆的圆心为A，直线过点B（1,0）且与轴不重合，交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（Ⅰ）证明：为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线交C1于M,N两点，过B且与垂直的直线与C1交于P,Q两点，求证：是定值，并求出该定值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

因为-2为极值点且为极大值点，故在-2的左侧附近>0，-2的右侧<0,所以当x>-2且在-2的右侧附近时，排除BC，当x<-2且在-2的左侧附近时，，排除AC，故选D2、A【解题分析】

首先先计算出所有的可能分组情况，从而计算出分配方案.【题目详解】设这五人分别为,若A单独为一组时，只要2种分组方法；若A组含有两人时，有种分组方法；若A组含有三人时，有种分组情况；于是共有14种分组方法，所以分配方案总数共有,故选A.【题目点拨】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生的分析能力，分类讨论能力，计算能力，难度中等.3、B【解题分析】分析：当x≤2时，检验满足f（x）≥1．当x＞2时，分类讨论a的范围，依据函数的单调性，求得a的范围，综合可得结论．详解：由于函数f（x）=（a＞0且a≠1）的值域是[1，+∞），故当x≤2时，满足f（x）=6﹣x≥1．①若a＞1，f（x）=3+logax在它的定义域上单调递增，当x＞2时，由f（x）=3+logax≥1，∴logax≥1，∴loga2≥1，∴1＜a≤2．②若0＜a＜1，f（x）=3+logax在它的定义域上单调递减，f（x）=3+logax＜3+loga2＜3，不满足f（x）的值域是[1，+∞）．综上可得，1＜a≤2，故答案为：B点睛：本题主要考查分段函数的应用，对数函数的单调性和特殊点，属于中档题．分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.4、D【解题分析】∵.故选D5、B【解题分析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则，选B.【考点定位】三视图与几何体的体积6、D【解题分析】

判断函数的奇偶性和对称性，利用的符号进行排除即可．【题目详解】，函数是奇函数，图象关于原点对称，排除，排除，故选：．【题目点拨】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.7、B【解题分析】

根据题意，设单音的频率组成等比数列{an}，设其公比为q，由等比数列的通项公式可得q的值，进而计算可得答案．【题目详解】根据题意，设单音的频率组成等比数列{an}，设其公比为q，（q＞0）则有a1＝f，a3，则q2，解可得q，第十个单音的频率a10＝a1q9＝（）9ff，故选：B．【题目点拨】本题考查等比数列的通项公式，关键是求出该等比数列的公比，属于基础题．8、C【解题分析】试题分析：因为是等差数列，则，又由于为递减数列，所以，故选C.考点：1.等差数列的概念；2.递减数列.9、D【解题分析】

根据题意，可取的值为1、2、3、…25，由三角形的三边关系，有，对分情况讨论，分析可得可取的情况，即可得这种情况下符合条件的三角形的个数，由分类计数原理，结合等差数列的前项和公式，计算可得答案．【题目详解】解：根据题意，可取的值为1、2、3、…25，

根据三角形的三边关系，有，

当时，有25≤＜26，则＝25，有1种情况，

当时，有25≤＜27，则＝25、26，有2种情况，

当时，有25≤＜28，则＝25、26、27，有3种情况，

当时，有25≤＜29，则＝25、26、27、28，有4种情况，

…

当时，有有25≤＜50，则＝25、26、27、28…49，有25种情况，

则符合条件的三角形共有1＋2＋3＋4＋…＋25＝；

故选：D．【题目点拨】本题考查分类计数原理的运用，涉及三角形三边的关系，关键是发现变化时，符合条件的三角形个数的变化规律．10、D【解题分析】

首先把取一次取得次品的概率算出来，再根据离散型随机变量的概率即可算出．【题目详解】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为．从中取3次，为取得次品的次数，则,,选择D答案．【题目点拨】本题考查离散型随机变量的概率,解题时要注意二项分布公式的灵活运用.属于基础题．11、C【解题分析】

求出导函数，转化求解切线方程，通过方程有两个相等的解，推出结果即可．【题目详解】设切点为，且函数的导数，所以，则切线方程为，切线过点，代入得，所以，即方程有两个相等的解，则有，解得或，故选C．【题目点拨】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．12、D【解题分析】

根据函数的奇偶性求出和的值即可得到结论．【题目详解】是定义在上的偶函数，，，即，则，故选D．【题目点拨】本题主要考查函数值的计算，以及函数奇偶性的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先由复数除法化简复数，再求得复数模。【题目详解】由题意可得，所以，填。【题目点拨】本题主要考查复数的除法以及复数的模，属于简单题.14、220.【解题分析】分析：根据学生的人数比，利用分层抽样的定义即可得到结论．详解：设全校总共抽取n人，则：故答案为220人.点睛：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．15、【解题分析】

将不等式转化为，分别在、、、的情况下讨论得到的最大值，从而可得；分别在、、的情况去绝对值得到不等式，解不等式求得结果.【题目详解】对任意实数恒成立等价于：①当时，②当时，③当时，④当时，综上可知：，即当时，，解得：当时，，无解当时，，解得：的取值集合为：本题正确结果；【题目点拨】本题考查绝对值不等式中的恒成立问题，关键是能够通过分类讨论的思想求得最值，从而将问题转化为绝对值不等式的求解，再利用分类讨论的思想解绝对值不等式即可得到结果.16、【解题分析】

对求导，代值计算可得.【题目详解】，又，故答案为：【题目点拨】本题考查导数运算.导数运算法则(1)；(2)；(3)()三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解题分析】

（Ⅰ）当时，，因为是定义在上的奇函数，所以可得；，进而求出解析式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得出函数的单调性，利用单调性解不等式．【题目详解】（Ⅰ）当时，，因为是定义在上的奇函数所以；当时，；所以（Ⅱ）易知当时，单调递增，又是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，所以不等式等价于，解得，所以原不等式的解集为．【题目点拨】本题考查函数的奇偶性与单调性，解题的关键是由奇偶性先求出解析式，属于一般题．18、（1）；（2）最小值为，最大值.【解题分析】

（1）利用辅助角公式化简，并利用解方程，解方程求得的值.（2）求得图像变换后的解析式，根据的取值范围，结合三角函数值域的求法，求得的最大值和最小值.【题目详解】（1）因为.由题设知，所以，故，又，所以.（2）由（1）得.所以.，所以当，即时，取得最小值，当，即时，取得最大值.【题目点拨】本小题主要考查辅助角公式，考查三角函数图像变换，考查三角函数的最值的求法.19、(1);(2)．【解题分析】

由已知函数的定义域均为,且.(1)函数,因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．所以当时，．又，故当，即时，．所以于是，故a的最小值为．(2)命题“若使成立”等价于“当时，有”．由（1），当时，，．问题等价于：“当时，有”．当时，由（1），在上为减函数，则=，故．当时，由于在上为增函数，故的值域为，即．由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以，=，．所以，，与矛盾，不合题意．综上，得．考点：1.导数公式；2.函数的单调性；3.恒成立问题；4.函数的最值以及命题的等价变换.20、（1）；（2）12.【解题分析】

（1）将点的坐标代入抛物线方程中即可；（2）联立方程组先求出，点坐标，进而利用两点间距离公式求出，然后利用点到直线距离公式求出的高，最后代入三角形面积公式求解即可.【题目详解】（1）点在抛物线上，将代入方程中，有，解得，抛物线的方程为.（2）如图所示，由抛物线方程可知焦点，则点到直线的距离为，联立方程组，可解得，，所以，，所以，.【题目点拨】本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系以及抛物线性质的应用，涉及到的知识点包括两点的之间的距离公式和点到直线的距离公式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力，属于基础题.21、（1）（2）【解题分析】试题分析：(1)利用递推关系可求得；(2)猜想，按照数学归纳法的过程证明猜想即可.试题解析：解:(1)计算得猜想证明如下：①当n=1时，猜想显然成立；②假设当n=k（k∈N+）时猜想成立，即成立，则当时，，即时猜想成立由①②得对任意，有2