2.2 圆的对称性 苏科版九年级数学上册期末试题分类选编(含答案)

2.2圆的对称性1．（2022·江苏镇江·九年级期末）如图，为的直径，弦于点，，，则的半径为（

）A．5 B．8 C．3 D．102．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，CD＝16，则BE的长为（

）A．2 B．4 C．5 D．63．（2022·江苏南通·九年级期末）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是(

)A．4 B．5 C．6 D．84．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为E，若CD＝BE＝16，则⊙O的半径为(

)A．8 B．9 C．10 D．115．（2022·江苏南京·九年级期末）平面直角坐标系内，已知点，，．当时，若最大，则t的值为（

）A． B． C． D．6．（2022·江苏镇江·九年级期末）如图，的半径为，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心，点为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（

）A． B． C． D．7．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0，9），D（0，－1），则线段AB的长度为（

）A．3 B．4 C．6 D．88．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10，OE＝6，则AB＝_______．9．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦于点E，若，，则OA长为______．10．（2022·江苏南京·九年级期末）在一个残缺的圆形工件上量得弦BC＝8cm，的中点D到弦BC的距离DE＝2cm，则这个圆形工件的半径是_______cm．11．（2022·江苏南通·九年级期末）如图，在半径为5的⊙O中，M为弦AB的中点．若OM＝1，则AB的长为_____．12．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，已知的半径，若弦AB垂直平分OC，则______cm．13．（2022·江苏扬州·九年级期末）如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16，则MD＝_____．14．（2022·江苏盐城·九年级期末）秋千吊绳的长度为4m，当秋千摆动时，吊绳摆动的角度为90°．则秋千摆动的最高位置与最低位置的高度差为______m．（结果保留根号）15．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，M为AD的中点，N为上的点，且MNCD．若CD＝5，MN＝4，则⊙O的半径为_______．16．（2022·江苏泰州·九年级期末）《九章算术》记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？翻译：现有圆柱形木材，埋在墙壁里（如图①），不知道其直径的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它，（如图②）当量得深度CE为1寸时，锯开的宽度AB为1尺，间木材的直径CD是________寸．（1尺＝10寸）17．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是_____________cm．18．（2022·江苏省南京二十九中教育集团致远中学九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE的长．19．（2022·江苏泰州·九年级期末）如图，在中，AB是直径，弦EF∥AB．(1)请仅用无刻度的直尺画出劣弧EF的中点P；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，连接OP交EF于点Q，，，求PQ的长度．20．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，在⊙O中，弦AC与弦BD交于点P，AC＝BD．（1）求证AP＝BP；（2）连接AB，若AB＝8，BP＝5，DP＝3，求⊙O的半径．21．（2022·江苏南京·九年级期末）【数学认识】数学是研究数量关系的一门学科，在初中几何学习的历程中，常常把角与角的数量关系转化为边与边的数量关系，把边与边的数量关系转化为角与角的数量关系．【构造模型】（1）如图①，已知△ABC，在直线BC上用直尺与圆规作点D，使得∠ADB＝∠ACB．（不写作法，保留作图痕迹）【应用模型】已知△ABC是⊙O的内接三角形，⊙O的半径为r，△ABC的周长为c．（2）如图②，若r＝5，AB＝8，求c的取值范围．（3）如图③，已知线段MN，AB是⊙O一条定长的弦，用直尺与圆规作点C，使得c＝MN．（不写作法，保留作图痕迹）22．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且，BF交CG于点E，求证：CE＝BE．参考答案：1．A【解析】作辅助线，连接OA，根据垂径定理得出AE=BE=4，设圆的半径为r，再利用勾股定理求解即可.解：如图，连接OA，设圆的半径为r，则OE=r-2，∵弦,∴AE=BE=4，由勾股定理得出：，解得：r=5，故答案为：A.本题考查的知识点主要是垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断或解答.2．B【解析】由垂径定理可求得AB⊥CD及CE的长，再利用勾股定理可求解OE的长，进而可求解．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB＝20，∴CO＝OB＝10，AB⊥CD，CE＝DE＝CD，∵CD＝16，∴CE＝8，在Rt△COE中，OE＝，∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4，故选：B．本题主要考查垂径定理，勾股定理，求解OE的长是解题的关键．3．C【解析】根据垂径定理得出BC=AB，再根据勾股定理求出OC的长．∵OC⊥AB，AB=16，∴BC=AB=8．在Rt△BOC中，OB=10，BC=8，∴．故选C．4．C【解析】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；连接OC，设圆的半径为r，在Rt△OEC中由勾股定理列方程求解即可；解：如图，连接OC，设圆的半径为r，则OE=16-r，AB为圆的直径，AB⊥CD，则CE=CD=8，Rt△OEC中，OC2=OE2+CE2，∴r2=（16-r）2+82，解得：r=10，故选：C．本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握相关定理是解题关键．5．C【解析】过A、B作与y轴相切的圆，设圆心为M，切点为C，连接AC、BC，取C1为y轴上相异于C的一点，连接C1A、C1B，设C1B交圆于D，利用圆周角定理和三角形外角性质可证得∠ACB最大，过M作MN⊥AB于N，根据垂径定理证得AN=BN=AB，可证明四边形MNOC为矩形，则有MA=MC=ON，t=MN，利用勾股定理求解MN即可解答．解：过A、B作与y轴相切的圆，设圆心为M，切点为C，连接AC、BC，取C1为y轴上相异于C的一点，连接C1A、C1B，设C1B交圆于D，如图，则∠ADB=∠ACB，∵∠ADB是△ADC1的外角，∴∠ADB＞∠AC1B，∴∠ACB＞∠AC1B，即∠ACB就是所求的最大角，过M作MN⊥AB于N，连接MC、MA，则MA=MC，AN=BN=AB，MC⊥y轴，∴四边形MNOC为矩形，

∴MC=ON，OC=MN，∵，，，t＞0，∴AB=4，OC=t，OA=1，∴AN=AB=2，∴MC=ON=OA+AN=3，在Rt△AMN中，MA=MC=3，由勾股定理得：，∴OC=MN=，即t=，故选：C．本题考查切线性质、圆周角定理、三角形外角性质、矩形的判定与性质、垂径定理、坐标与图形、勾股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用，得出过A、B、C三点的圆与y轴相切时∠ACB最大是解答的关键．6．A【解析】当点C运动到优弧中点时，以AB为底，高最大，面积最大，先求出AB，再求出CH，求面积即可．解：如图：连接CO，并延长CO交AB于点H，连接AO．当点C运动到优弧中点时，以AB为底，高最大，故面积最大∵点C运动到优弧中点∴,且∵将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心，∴OH=HM∵的半径为∴，∴在中，利用勾股定理得：，∴∴故选A．此题考查了垂径定理及其逆运用，勾股定理性质，解答此题的关键，利用垂径定理找到符合要求的点和线段的长度．7．C解：连接EB，如图所示：∵C（0，9），D（0，﹣1），∴OD=1，OC=9，∴CD=10，∴EB=ED=CD=5，OE=5﹣1=4，∵AB⊥CD，∴AO=BO=AB，OB==3，∴AB=2OB=6；故选：C．本题考查垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．8．16【解析】连接，由垂径定理可得，在中利用勾股定理即可求得的长，进而求得．解：连接，∵OE⊥AB于E，∴，在中，，OE＝6，∴，∴，故答案为：本题考查了垂径定理和勾股定理，构造直角三角形是解题的关键．9．3.4【解析】连接OC，根据垂径定理可得，然后设，则OE=BE-OB=5-r，在中，利用勾股定理求解即可得利用垂径定理，勾股定理解决问题即可．解：连接OC，∵，，∴，设，则OE=BE-OB=5-r，在中，∵，∴，解得：r=3.4，故答案为：3.4．题目主要考查垂径定理及勾股定理的应用，学会利用参数构建方程解决问题是解题关键．10．5【解析】在圆中构建直角三角形，利用勾股定理即可求出工件半径．解：如图所示，设圆的半径为xcm，∵BC=8cm，DE=2cm，∴BE=4cm，OE=（x-2）cm，∴在中，由勾股定理得：，∴，解得：x=5．∴原形工件的半径为5cm．故答案为：5．本题主要考查的是圆中的性质以及勾股定理的运用，构建合适的图形是解题的关键．11．4．【解析】连接OA，根据垂径定理的推论得到OM⊥AB，根据勾股定理求出AM，得到答案．解：连接OM，OA，∵M为AB的中点，OM过圆心O，∴OM⊥AB，AM＝BM，∴∠OMA＝90°，由勾股定理得：BM＝AM＝＝＝2，∴AB＝AM+BM＝2+2＝4，故答案为：4．本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦是解此题的关键．12．【解析】连接OA，如图，先利用弦AB垂直平分OC得到OD=cm，，根据垂径定理得到AD=BD，然后根据勾股定理计算出AD，也就也可以求出AB=2AD=cm．连接OA，如图∵弦AB垂直平分OC，垂足为D，∴，．∴AD=BD，在中，∵OA=2cm，OD=1cm．∴cm，∴AB=2AD=cm．故答案为：．本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考察了勾股定理的相关内容．13．4【解析】连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，根据垂径定理得到AM=BM=8，再根据勾股定理得到82+（16-r）2=r2，解方程求出r=10，然后计算CD-CM即可．解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA=r，OM=16-r，∵AB⊥CD，∴AM=BM=AB=8，在Rt△AOM中，82+（16-r）2=r2，解得r=10，∴CD=2r=20，∴MD=CD-CM=20-16=4．故答案为：4．本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．14．【解析】如图所示，连接AB，过点O作OD⊥AB交AB于D，交弧AB于C，只需要利用勾股定理求出CD的长即可得到答案．解：如图所示，连接AB，过点O作OD⊥AB交AB于D，交弧AB于C，∴，∠ODA=90°，∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAB=∠OBA=45°，∴∠AOD=45°，∴AD=OD，设，则，∵，∴，解得（不合题意的值已经舍去），∴秋千摆动的最高位置与最低位置的高度差为，故答案为：．本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理．15．##10.5【解析】连接AO，ON，延长NM交⊙O于F，过O作OE⊥NF于E，如图，设⊙O的半径为r，AD=t，先证明四边形MEOD是矩形得到OE=DM=t，OD=ME=r-5，再利用勾股定理得①，②，然后解方程组即可．解：连接AO，ON，延长NM交⊙O于F，过O作OE⊥NF于E，如图，设⊙O的半径为r，AD=t，∵CD⊥AB，MNCD，∴∠ODM=∠DME=∠MEO=90°，∴四边形MEOD是矩形，∴OE=DM=t，OD=ME=r-5，在Rt△AOD中，，①在Rt△NOE中，，②②×4-①得2r-21=0，解得r=，即⊙O的半径为．故答案为：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．16．26【解析】连接OA，设⊙O的半径为x寸，则OE=(x−1)寸，由垂径定理得AC=BC=AB=5寸，再在Rt△AOE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．解：连接OA，如图：设⊙O的半径为x寸，则OE=(x−1)寸，∵OE⊥AB，AB=10寸，∴AC=BC=AB=5(寸)，在Rt△AOE中，由勾股定理得：x2=(x−1)2+52，解得：x=13，∴⊙O的直径AC=2x=26(寸)，即木材的直径CD是26寸，故答案为：26．本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．17．10【解析】本题先根据垂径定理构造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦长和弓形高，根据勾股定理求出半径，从而得解．如图，设圆心为O，弦为AB，切点为C．如图所示．则AB＝8cm，CD＝2cm．连接OC，交AB于D点．连接OA．∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切，∴OC⊥AB．∴AD＝4cm．设半径为Rcm，则R2＝42＋（R−2）2，解得R＝5，∴该光盘的直径是10cm．故答案为：10.此题考查了切线的性质及垂径定理，建立数学模型是关键．18．【解析】如图，连接，设，由垂径定理知，，在中，由勾股定理知，解出的值，由，计算求解即可．解：如图，连接，设由垂径定理知在中，由勾股定理知∴解得∴的长为．本题考查了垂径定理，勾股定理．解题的关键在于明确线段的数量关系．19．(1)见解析(2)1【解析】（1）如图，连接BE，AF，BE交AF于C，作直线OC交于点P，点P即为所求．（2）利用垂径定理结合勾股定理求得OQ=4，进一步计算即可求解．(1)解：如图中，点P即为所求．(2)解：连接OF，由作图知OP⊥EF，EQ=QF=EF=3，∵AB=10，∴OF=OP=AB=5，∴OQ==4，∴PQ=OP-OQ=1，∴PQ的长度为1．本题考查了作图-应用与设计，垂径定理，勾股定理，，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．20．（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）连接，先证出，再根据圆周角定理可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证；（2）连接，并延长交于点，连接，过作于点，先根据线段垂直平分线的判定与性质可得，再根据线段的和差、勾股定理可得，然后根据直角三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，最后在中，利用勾股定理可得的长，从而可得的长，在中，利用勾股定理即可得．证明：（1）如图，连接，，，，即，，；（2）连接，并延长交于点，连接，过作于点，，，是的垂直平分线，，，，，在和中，，，，设，则，在中，，即，解得，在中，，即的半径为．本题考查了圆周角定理、直角三角形全等的判定定理与性质、勾股定理、垂径定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．21．（1）见解析；（2）16＜c≤8＋8；（3）见解析【解析】（1）可找到两个这样的点：①当点D在BC的延长线上时：以点C为圆心，AC长为半径，交BC的延长线于点D，连接AD，即为所求；②当点D在CB的延长线上时：以点A为圆心，AD长为半径，交CB的延长线于点，连接，即为所求；两种情况均可利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质证明；（2）考虑最极端的情况：当C与A或B重合时，则，可得此时，根据题意可得，当点C为优弧AB的中点时，连接AC并延长至D，使得，利用等腰三角形的性质及三角形外角性质可得点D的运动轨迹为一个圆，点C为优弧AB的中点时，点C即为外接圆的圆心，AC长为半径，连接CO并延长交AB于点E，连接AO，根据垂径定理及勾股定理可得，当AD为直径时，c最大即可得；（3）依照（1）（2）的做法，方法一：第1步：作AB的垂直平分线交⊙O于点P；第2步：以点P为圆心，PA为半径作⊙P；第3步：在MN上截取AB的长度；第4步：以A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交⊙P于点E；第5步：连接AE交⊙O于点C，即为所求；方法二：第1步：在圆上取点D，连接AD、BD，延长AD使得；第2步：作的外接圆；第3步：在MN上截取AB的长度；第4步：以点A为圆心，MN减去AB的长为半径画弧交△ABE的外接圆于点F；第5步：连接AF交⊙O于点C，即为所求．（1）如图所示：①当点D在BC的延长线上时：以点C为圆心，AC长为半径，交BC的延长线于点D，连接AD，即为所求；②当点D在CB的延长线上时：以点A为圆心，AD长为半径，交CB的延长线于点，连接，即为所求；证明：①∵，∴，∴；同理可证明；（2）当C与A或B重合时，则，∴，∵，∴，如图，当点C为优弧AB的中点时，连接AC并延长至D，使得，∴，∵同弧所对的圆周角相等，∴为定角，∴为定角，∴点D的运动轨迹为一个圆，当点C为优弧AB的中点时，点C即为外接圆的圆心，AC长为半径，连接CO并延长交AB于点E，连接AO，由垂径定理可得：CE垂直平分AB，∴，在中，，∴，∴，∴AD为直径时最长，∴最长，∴的周长最长