2022-2023学年广东省广州市越秀区高二（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年广东省广州市越秀区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线l经过A（﹣2，3），B（﹣1，2）两点，则直线l的倾斜角是（）A． B． C． D．2．（5分）抛物线y＝4x2的准线方程为（）A．x＝﹣1 B．y＝﹣1 C．x D．y3．（5分）圆和圆的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．内切 D．外切4．（5分）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是（）A．当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态 B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态 C．当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态 D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态5．（5分）若函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，3）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，+∞） C．（﹣∞，4] D．[4，+∞）6．（5分）直线l的方向向量为，且l过点A（1，1，2），则点P（2，﹣2，1）到直线l的距离为（）A． B． C． D．7．（5分）已知空间三点A（4，1，9），B（10，﹣1，6），C（2，4，3），则下列结论不正确的是（）A．|AB|＝|AC| B．点P（8，2，0）在平面ABC内 C．AB⊥AC D．若，则D的坐标为8．（5分）已知直线l1：x+y+2＝0与直线l2：x+my﹣2m＝0相交于点P，圆C：x2+y2﹣4x﹣2y＝0交y轴正半轴于M，若N是圆C上的动点，则|PM|+|PN|的最小值是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知直线l0：x+y+1＝0，则下列结论正确的是（）A．点（0，1）到直线l0的距离是 B．直线l1：x﹣y+1＝0，则l0⊥l1 C．直线l2：mx+（m2﹣2）y+2＝0（m为常数），若l0∥l2，则m＝﹣1或m＝2 D．直线l3：x+y﹣1＝0，则l0和l3的距离为2（多选）10．（5分）已知曲线C：mx2+ny2＝mn（）A．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为n B．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为 C．若mn＞0，且m＞n，则C是椭圆，其焦点在x轴上 D．若C是等轴双曲线，则以原点为顶点以x＝n为准线的抛物线方程为y2＝4mx（多选）11．（5分）在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q为底面ABCD内两动点且满足x（x∈[0，1]），异面直线B1Q与AA1所成角为30°，则（）A． B．直线PQ与DD1为异面直线 C．线段PQ长度最小值等于 D．三棱锥B1﹣APQ的体积可能取值为12．（5分）已知椭圆的左，右两焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c，直线l：y＝k（x+c）（k∈R）与椭圆交于A，B两点．则下列说法中正确的有（）A．若|AF2|+|BF2|＝m，则|AB|＝4a﹣2m B．若AB的中点为M，则 C．|AB|的最小值为 D．，则椭圆的离心率的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）过点（1，2）且与圆x2+y2＝1相切的直线方程为．14．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝2，AA1＝3，M是底面ABCD的中心，设，则（用表示），D1M的长度为．15．（5分）已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，准线为l，过F的直线交C于P、Q两点，交l于点M，且，则|MQ|＝．16．（5分）已知曲线的离心率是，P为其上顶点，F1，F2分别为左、右焦点，过F1且垂直于PF2的直线与C交于M，N两点，|MN|＝12，则△PMN的周长是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求sinA的值；（2）若b＝4，求△ABC的面积．18．（12分）如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．（1）求证：PQ∥平面BCD；（2）若DA＝DB＝DC＝4，∠BDC＝90°，求AC与平面BQM所成角的余弦值．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中：①圆C过A（1，0）和B（﹣1，2），且圆心在直线l：2x+y+2＝0上；②圆C过三点．（1）在①②两个条件中，任选一个条件求圆C的标准方程；（2）在（1）的条件下，过直线x＝3上的点P（3，﹣4）分别作圆C的两条切线PQ，PR（Q，R为切点），求直线QR的方程，并求弦长|QR|．20．（12分）已知圆⊙：x2+y2＝4上的动点M在x轴上的投影为N，点C满足．（1）求动点C的轨迹方程C；（2）过点P（1，0）的直线l与C交于A，B两个不同点，求△OAB面积的最大值．21．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，满足AB⊥AD，AB⊥BC，SA⊥底面ABCD，AD＝1，AB，BC＝3．（1）求证：平面SBD⊥平面SAC；（2）若平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为，求B到平面SCD的距离．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的任意一点到点F（2，0）的距离比到直线x+4＝0的距离小2．（1）求曲线C的方程；（2）过点F作斜率为k1，k2的两条直线分别交C于M，N两点和P，Q两点，其中．设线段MN和PQ的中点分别为A，B，过点F作FD⊥AB，垂足为D．试问：是否存在定点T，使得线段TD的长度为定值．若存在，求出点T的坐标及定值；若不存在，说明理由．

2022-2023学年广东省广州市越秀区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线l经过A（﹣2，3），B（﹣1，2）两点，则直线l的倾斜角是（）A． B． C． D．【解答】解：设直线的倾斜角为α，由已知可得直线的斜率k＝tanα1，又α∈[0，π），所以，故选：B．2．（5分）抛物线y＝4x2的准线方程为（）A．x＝﹣1 B．y＝﹣1 C．x D．y【解答】解：因为抛物线y＝4x2，可化为：x2y，则抛物线的准线方程为y．故选：D．3．（5分）圆和圆的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．内切 D．外切【解答】解：∵圆x2+y2﹣8x+6y+9＝0的标准方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝16，∴圆x2+y2﹣8x+6y+9＝0的圆心是C2（4，﹣3），半径＝4．又∵圆x2+y2＝9的圆心是C1（0，0），半径r2＝3．∴|C1C2|＝5，∵|r1﹣r2|＝1，r1+r2＝7，∴|r1﹣r2|＜|OC|＜r1+r2，可得两圆相交．故选：B．4．（5分）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是（）A．当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态 B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态 C．当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态 D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态【解答】解：对于A，当T＝220，P＝1026时，lgP＞3，由图可知二氧化碳处于固态，故A错误；对于B：当T＝270，P＝128时，2＜lgP＜3，由图可知二氧化碳处于液态，故B错误；对于C：当T＝300，P＝9987时，lgP≈4，由图可知二氧化碳处于固态，故C错误；对于D：当T＝360，P＝729时，2＜lgP＜3，由图可知二氧化碳处于超临界状态，故D正确；故选：D．5．（5分）若函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，3）上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，+∞） C．（﹣∞，4] D．[4，+∞）【解答】解：函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2图象是开口向上，对称轴为x＝1﹣a，则函数f（x）在（﹣∞，1﹣a）上单调递减，在（1﹣a，+∞）上单调递增，又函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，3）上是单调函数，所以1﹣a≥3，解得a≤﹣2，所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．故选：A．6．（5分）直线l的方向向量为，且l过点A（1，1，2），则点P（2，﹣2，1）到直线l的距离为（）A． B． C． D．【解答】解：∵A（1，1，2），P（2，﹣2，1），∴（1，﹣3，﹣1），又（1，﹣1，0），∴在方向上的投影||•cos2，∴P到l距离d．故选：B．7．（5分）已知空间三点A（4，1，9），B（10，﹣1，6），C（2，4，3），则下列结论不正确的是（）A．|AB|＝|AC| B．点P（8，2，0）在平面ABC内 C．AB⊥AC D．若，则D的坐标为【解答】解：因为|AB|7，|ACl7，故A正确；因为•（6，﹣2，﹣3）•（﹣2，3，﹣6）＝﹣12﹣6+18＝0，所以AB⊥AC，故C正确；因为（6，﹣2，﹣3），（﹣2，3，﹣6），（4，1，﹣9），所以（4，1，﹣9），所以点P（8，2，0）在平面ABC内，故B正确；因为（6，﹣2，﹣3），22（﹣1，﹣9，）＝（﹣2，﹣18，﹣9），显然不成立，故D错误．故选：D．8．（5分）已知直线l1：x+y+2＝0与直线l2：x+my﹣2m＝0相交于点P，圆C：x2+y2﹣4x﹣2y＝0交y轴正半轴于M，若N是圆C上的动点，则|PM|+|PN|的最小值是（）A． B． C． D．【解答】解：由直线l1：x+y+2＝0与直线l2：x+my﹣2m＝0相交于点P，故P为直线l1上任意一点，圆C：x2+y2﹣4x﹣2y＝0，得圆心为C（2，1），半径r，与y轴正半轴交于点M（0，2），设M（0，2）关于直线x+y+2＝0对称点D的坐标为（m，n），则，解得m＝﹣4，n＝﹣2，∴D（﹣4，﹣2），∴|DC|3，∴|PM|+|PN|＝|PD|+|PN|≥|DN|≥|DC|2．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知直线l0：x+y+1＝0，则下列结论正确的是（）A．点（0，1）到直线l0的距离是 B．直线l1：x﹣y+1＝0，则l0⊥l1 C．直线l2：mx+（m2﹣2）y+2＝0（m为常数），若l0∥l2，则m＝﹣1或m＝2 D．直线l3：x+y﹣1＝0，则l0和l3的距离为2【解答】解：对于A：直线l0：x+y+1＝0，则点（0，1）到直线的距离d，故A正确；对于B：直线l0：x+y+1＝0的斜率k1＝﹣1，直线l1：x﹣y+1＝0的斜率k2＝1，所以k1•k2＝﹣1，故l0⊥l1，故B正确；对于C：直线l0：x+y+1＝0，直线l2：mx+（m2﹣2）y+2＝0（m为常数），若l0∥l2，则m＝m2﹣2，解得m＝2或﹣1，当m＝2时，两直线重合舍去；当m＝﹣1时，两直线平行，故m＝﹣1．故C错误；对于D：直线l0：x+y+1＝0，直线l3：x+y﹣1＝0，则直线l0∥l3，所以这两直线的距离d，故D错误．故选AB．（多选）10．（5分）已知曲线C：mx2+ny2＝mn（）A．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为n B．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为 C．若mn＞0，且m＞n，则C是椭圆，其焦点在x轴上 D．若C是等轴双曲线，则以原点为顶点以x＝n为准线的抛物线方程为y2＝4mx【解答】解：对A选项，∵m＝n＞0，∴曲线C：mx2+ny2＝mn可化为：x2+y2＝n，∴曲线C是圆，其半径为，∴A选项错误；对B选项，∵mn＜0，∴曲线C：mx2+ny2＝mn可化为：，∴曲线C是双曲线，其渐近线方程为，即，∴B选项正确；对C选项，∵mn＞0，且m＞n，∴曲线C：mx2+ny2＝mn可化为：，∴m＞n＞0，∴曲线C是焦点在y轴上的椭圆，∴C选项错误；对D选项，∵曲线C：mx2+ny2＝mn是等轴双曲线，∴曲线C：mx2+ny2＝mn可化为：，∴m+n＝0，且mn＜0，∴以原点为顶点以x＝n为准线的抛物线方程为y2＝4mx，∴D选项正确．故选：BD．（多选）11．（5分）在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q为底面ABCD内两动点且满足x（x∈[0，1]），异面直线B1Q与AA1所成角为30°，则（）A． B．直线PQ与DD1为异面直线 C．线段PQ长度最小值等于 D．三棱锥B1﹣APQ的体积可能取值为【解答】解：由，可知x（x∈[0，1]），即P点在AC上，连接BD，则BD∥B1D1，由于AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，故AA1⊥BD，又BD⊥AC，且AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面AA1C1C，故BD⊥平面AA1C1C，C1P⊂平面AA1C1C，所以BD⊥CP，则B1D1⊥C1P，∴•0，A正确；因为异面直线B1Q与AA1所成角为30°，且AA1∥BB1，故B1Q与BB1所成角为30°，即∠QB1B＝30，则BQa，故Q点在以B为圆心，BQa为半径的圆弧上运动，当Q为该圆弧与BD的交点，且P为AC，BD的交点时，直线PQ与DD1为相交直线，B错误：由于P点在AC上，Q点在以B为圆心，BQa为半径的圆弧上运动，故线段PQ长度最小值为点B到直线AC的距离减去圆弧的半径BQa，即最小值为（）a，C正确；三棱锥B1﹣APQ的高为BB1＝a，假设其体积可取到，则其底面积S△APQa2，又因为当P点位于C处，Q位于其所在圆弧与AB或BC的交点处时，△APQ的面积取到最大值，最大值为a（aa）（3）a，因为（3）a2a2，故假设成立，即三棱锥B1﹣APQ的体积可能取值为，D正确．故选：ACD．12．（5分）已知椭圆的左，右两焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c，直线l：y＝k（x+c）（k∈R）与椭圆交于A，B两点．则下列说法中正确的有（）A．若|AF2|+|BF2|＝m，则|AB|＝4a﹣2m B．若AB的中点为M，则 C．|AB|的最小值为 D．，则椭圆的离心率的取值范围是【解答】解：由题意可知，直线l过左焦点F1，作出图形如下：对于A，由椭圆的定义可知，|AB|+|AF2|+|BF2|＝4a，∴|AB|＝4a﹣m，故A错误；对于B，联立方程，消去y得：，由韦达定理可得，x1+x2，y1+y2＝k（x1+x2）+2kc，∴AB的中点弦的斜率为kOM，∴kOM•k，故B正确；对于C，显然，当AB⊥x轴时，|AB|最短，此时1，∴y，∴|AB|，但是由于直线AB的斜率k是存在的，直线AB不会垂直于x轴，所以|AB|，故C错误；对于D，设A（x0，y0），则有（c﹣x0，﹣y0），∴3c2，∴4c2，即点A在以原点为圆心，2c为半径的圆上，故原题等价于有解，解得，则必有，即，解得，故D错误．故选：B．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）过点（1，2）且与圆x2+y2＝1相切的直线方程为3x﹣4y+5＝0或x＝1．【解答】解：设切线方程为y﹣2＝k（x﹣1），即kx﹣y+2﹣k＝0．由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即1，解得k，其方程为3x﹣4y+5＝0．又，当斜率不存在时，切线方程为x＝1．故答案为：3x﹣4y+5＝0或x＝1．14．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝2，AA1＝3，M是底面ABCD的中心，设，则（用表示），D1M的长度为．【解答】解：如图，取ABCD的中心M，连接D1M，AM，则，∴（）2．则||，故答案为：；．15．（5分）已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，准线为l，过F的直线交C于P、Q两点，交l于点M，且，则|MQ|＝．【解答】解：如图，过点P做PD垂直于准线l，由抛物线定义得|PF|＝|PD|，焦点坐标（0，2），准线方程y＝﹣2．因为，设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以x1＝﹣2x2，则直线PQ方程为y＝kx+2，联立，消去y得x2﹣8kx﹣16＝0，解得x1＝4，x2＝﹣2，P（4，4），Q（﹣2，1），直线的斜率为k，直线方程：y，所以，解得M（﹣4，﹣2），|MQ|．故答案为：．16．（5分）已知曲线的离心率是，P为其上顶点，F1，F2分别为左、右焦点，过F1且垂直于PF2的直线与C交于M，N两点，|MN|＝12，则△PMN的周长是26．【解答】解：∵，∴a＝2c，∴bc，又|PF1|＝|PF2|＝a，|F1F2|＝2c＝a，∴△PF1F2为正三角形，∴MN直线垂直平分PF2，∴|NP|＝|NF2|，|MP|＝|MF2|，∴△PMN的周长为|NP|+|MP|+|MN|＝|NF2|+|MF2|+|MN|＝4a，∵△PF1F2为正三角形，MN直线垂直平分PF2，∴易得直线MN的倾斜角为30°，∴直线MN的斜率为，∴设直线MN方程为xy﹣c，∵a＝2c，bc，∴双曲线方程可化为，即3x2+4y2﹣12c2＝0，联立，可得，设M（x1，y1），N（x2，y2），则|MN|12，∴16c2＝169，∴c，∴a＝2c，∴△PMN的周长为4a＝26，故答案为：26．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求sinA的值；（2）若b＝4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，由．所以，且．∵，∴，∴由正弦定理，可得．（2）由，可得，∴A＜C，故，又∵，∴，∴，∴由正弦定理可得：，∴．18．（12分）如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．（1）求证：PQ∥平面BCD；（2）若DA＝DB＝DC＝4，∠BDC＝90°，求AC与平面BQM所成角的余弦值．【解答】解：（1）证明：过P作PS∥MD，交BD于S，过Q作QR∥MD，交CD于R，连接RS，∵PS∥MD，P是BM的中点，∴S是BD的中点，且PSMD，∵QR∥MD，AQ＝3QC，M是AD的中点，∴QR，∴QR∥PS，且QR＝PS，∴四边形PQRS为平行四边形，∴PQ∥SR，∵PQ⊄平面BCD，SR⊂平面BCD，∴PQ∥平面BCD．（2）以D为坐标原点，DB，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，4），B（4，0，0），C（0，4，0），P（2，0，1），Q（0，3，1），则（﹣4，0，2），（0，3，﹣1），（0，4，﹣4），设平面BQM的一个法向量为（x，y，z），则，取y＝2，得（3，2，6），设AC与平面BQM所成角为θ，则sinθ，则AC与平面BQM所成角的余弦值为：cosθ．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中：①圆C过A（1，0）和B（﹣1，2），且圆心在直线l：2x+y+2＝0上；②圆C过三点．（1）在①②两个条件中，任选一个条件求圆C的标准方程；（2）在（1）的条件下，过直线x＝3上的点P（3，﹣4）分别作圆C的两条切线PQ，PR（Q，R为切点），求直线QR的方程，并求弦长|QR|．【解答】解：（1）选①：∵A（1，0）和B（﹣1，2），∴AB的垂直平分线方程为y＝x+1，由，解得，∴圆心C（﹣1，0），∴r＝|AC|＝2，∴圆C的标准方程为（x+1）2+y2＝4；选②：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则，解得，∴圆C的方程为x2+y2+2x﹣3＝0，即圆C的标准方程为（x+1）2+y2＝4；（2）由（1）可知圆心C（﹣1，0），半径为r＝2，由已知可得QR在以CP为直径的圆上，CP为直径的圆的方程为（x+1）（x﹣3）+y（y+4）＝0，∴x2+y2﹣2x+4y﹣3＝0，∴直线QR的方程4x﹣4y＝0，即x﹣y＝0，圆心C到直线QR的距离为d，∴|QR|＝2．20．（12分）已知圆⊙：x2+y2＝4上的动点M在x轴上的投影为N，点C满足．（1）求动点C的轨迹方程C；（2）过点P（1，0）的直线l与C交于A，B两个不同点，求△OAB面积的最大值．【解答】解：（1）设C（x，y），动点M（m，n），由，可得m＝x，ny，∵M（m，n）在圆⊙：x2+y2＝4上，∴m2+n2＝4，∴x2+2y2＝4，∴动点C的轨迹方程为1；（2）由题意，设直线l的方程为1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去x得，即（m2+2）y2+2my﹣3＝0，所以y1+y2，y1y2，所以|AB|，而O到AB的距离d，所以S△AOB|AB|•d，设t，则m2（t2﹣6），所以S△AOB，∵在[，+∞）上单调递增，所以△AOB面积的最大值为，此时m＝0．21．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，满足AB⊥AD，AB⊥BC，SA⊥底面ABCD，AD＝1，AB，BC＝3．（1）求证：平面SBD⊥平面SAC；（2）若平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为，求B到平面SCD的距离．【解答】解：（1）证明：连接BD，AC，交于点E，∵在平面ABCD内，AB⊥AD，AB⊥BC，∴AD∥BC，∴△ADE∽△CBE，∵AD＝1，BC＝3，∴AE，BE＝3ED，AB，又AB⊥AD，AB⊥BC，∴BD2，AC，∴AE，BE，∴3＝AB2，∴AE⊥BE，∴BD⊥AC，又SA⊥平面SBD，BD⊂平面ABCD，∴SA⊥BD，SA∩AC＝A，∴BD⊥平面SAC，BD