福建省莆田重点学校2023-2024学年上学期九年级数学核心素养阶段评价卷（含答案）

-2024学年上学期九年级数学核心素养阶段评价卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列数学图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

2．下列事件中，属于必然事件的是（）A．在一个只装有黑球的箱子里摸到白球B．蒙上眼睛射击正中靶心C．打开电视机，正在播放综艺节目D．在1个标准大气压下，水加热到100摄氏度沸腾3．若一元二次方程的一个根为，则a的值为（）A．2 B． C．4 D．4．将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（

）A．B．C．D．5．如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（）A． B． C． D．6．如图，四边形内接于，若，则的度数为（

）A． B． C． D．7．某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（

）A． B． C． D．8．已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是（

）A． B． C． D．9．如图，在平面直角坐标系中，点、均在反比例函数的图象上，若的面积为8，则k的值为（

）A．3 B．6 C．9 D．1210．已知抛物线经过点．若，则t的值可以是（

）A． B． C．0 D．2二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．抛物线顶点坐标是．12．已知扇形的面积为，圆心角为，则它的半径为．13．在中，，，，则．14．如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为．15．如图，在直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，则不等式的解集是．16．如图，在矩形中，，，为中点，为边上一动点，将沿折叠，得到，则的最小值为．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分8分）（1）

（2）18．（本小题满分8分）已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式．19．（本小题满分8分）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边的中点，连接AM．(1)请用尺规作图法，在AM上求作一点P，使得△DPA∽△ABM；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，若AB＝4，求DP的长．20．（本小题满分8分）一只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．(1)搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为______；(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）21．（本小题满分8分）如图，是直径，点C在上，在的延长线上取一点D，连接，使．

(1)求证：直线是的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积．22．（本小题满分10分）为确保身体健康，自来水最好烧开（加热到）后再饮用．某款家用饮水机，具有加热、保温等功能．现将的自来水加入到饮水机中，先加热到．此后停止加热，水温开始下降，达到设置的饮用温度后开始保温．比如事先设置饮用温度为，则水温下降到后不再改变，此时可以正常饮用．整个过程中，水温与通电时间之间的函数关系如图所示．(1)水温从加热到，需要______；请直接写出加热过程中水温与通电时间之间的函数关系式：______；(2)观察判断：在水温下降过程中，与的函数关系是______函数，并尝试求该函数的解析式；(3)已知冲泡奶粉的最佳温度在左右，某家庭为了给婴儿冲泡奶粉，将饮用温度设置为．现将的自来水加入到饮水机中，此后开始正常加热．则从加入自来水开始，需要等待多长时间才可以接水冲泡奶粉？23．（本小题满分10分）根据收集的素材，探索完成任务，展示成果与反思．素材1：为了了解房屋南北楼间距对采光的影响，经查资料：南北楼间距是指南北向两幢房屋外墙之间水平距离，按国家规范设计必须保证北向房屋在冬至日房子最底层窗户获得不低于1小时的满窗日照而保持的最小间隔距离（即最小楼间距），最小楼间距（表示南面房屋顶部至地面高度，表示北面房屋最底层窗台至地面高度，表示某地冬至日正午时的太阳高度角，，单位为m）．素材2：温州某小区一期有若干幢大厦，每幢最底层窗台到地面高度均为1.2m．其中有南北两幢大厦，位于南侧的大厦共有15层，每层高为2.8m，小明根据冬至日正午的太阳高度角，算得南北两幢大厦最小楼间距为51m．素材3：小明住在一期某大厦，因该小区进行二期建房，在她家南向新建了一幢大厦，她在自家离地面32m高的窗台C处测得大厦顶部E的仰角为15.75°和大厦底部A的俯角为30°（如图所示）．

（参考数据：，）【任务探究】(1)任务1：该小区冬至日正午时的太阳高度角为，求的值．(2)任务2：该小区二期新建的大厦高度约为多少m？（结果精确到0.1m）【成果与反思】(3)二期新建的大厦共有17层，每层高都相等．按国家规范设计冬至日房子窗户获得不低于1小时满窗日照的标准，请通过计算判断二期建房是否存在违规？如有违规，请提出至少需要拆除几层才能符合国家规范设计．24．（本小题满分12分）如图a，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE交于点G．（1）求证：AF⊥DE；（2）如图b，连接BG，BD，BD交AF于点H．①求证：GB2＝GA•GD；②若AB＝10，求三角形GBH的面积．25．（本小题满分14分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．(1)若抛物线过点P(0，﹣1)，求a与b的关系式，并求a+b的最大值；(2)已知点P1(﹣2，﹣1)，P2(2，1)，P3(2，﹣1)中恰有两点在抛物线上．①求抛物线的解析式；②设直线l：y＝kx﹣1与抛物线交于M，N两点，过MN中点C作x轴垂线交直线y＝1于点Q，求证MQ⊥NQ．2023-2024学年上学期九年级数学核心素养阶段评价卷参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D2．D3．A4．B5．D6．B7．C8．C9．B10．A二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．12．613．14．415．16．8三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）………………2分或解得：，；…………4分（2）……………………7分．……………………8分18．解：抛物线过点和，，……………………2分解得：，……………………6分抛物线的解析式为：．……………8分19．解：（1）如图，△APD即为所求．……………4分（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AB＝BC＝AD＝4，∵BM＝MC＝2，∴．∵△DPA∽△ABM，∴，∴，∴．…………………8分20．（1）解：∵一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，∴搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为：．故答案为：；……………3分（2）解：画树状图，如图所示：共有16种不同的结果数，其中两个球颜色不同的有6种，∴2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为．…………………8分21．解：（1）连接，

∵是直径，∴，

∵，，

∴，∴，∴，∵是的半径，∴直线是的切线；………4分（2）∵，，∴，∴，∵，∴，

在中，，∴，∴，∴阴影部分的面积……8分22．（1）4，；（3分，第1空1分，第2空2分）……………3分（2）解：反；观察判断：在水温下降过程中，与的函数关系是反函数，设在水温下降过程中，与的函数关系为，将代入解析式得：，解得：，在水温下降过程中，与的函数关系为：，（第1空1分，求解析式3分）……………7分（3）解：由题意得：在中，当时，，解得：，从加入自来水开始，需要等待的时间为：，则从加入自来水开始，需要等待14分钟时间才可以接水冲泡奶粉．………………10分23．（1）解：由公式得，∴．…………………3分（2）由题意得，∴，………4分∴，…………………5分∴大厦高．…………6分

解：由最小楼间距，∴二期房屋存在违规建设．……………………7分设应拆除x个楼层，而每个楼层高为，则，化简得，…………9分∵x为正整数，∴x至少为1，所以至少要拆除一个楼层．………………10分24．证明：（1）∵正方形ABCD，E、F分别为边AB、BC的中点，∴AD＝BC＝DC＝AB，AE＝BE＝AB，BF＝CF＝BC，∴AE＝BF，∵在△ADE和△BAF中，∵∴△ADE≅△BAF（SAS）∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAF+∠DAF＝90°，∴∠ADE+∠DAF＝90°，∴∠AGD=90°，∴AF⊥DE；……………………4分（2）①如图b，过点B作BN⊥AF于N，由（1）可得：∠BAF＝∠ADE，∠AGD=90°，AB=AD，∴在△ABN与△DAG中，∠AGD＝∠ANB＝90°，∠BAF＝∠ADE，AB＝AD，∴△ABN≅△DAG（AAS）∴AG＝BN，DG＝AN，∵∠AGE＝∠ANB＝90°，∴EG∥BN，∴，且AE＝BE，∴AG＝GN，∴AN＝2AG＝DG，∵在Rt△BNG中，BG2＝BN2+GN2，∴BG2=AG2+AG2，∴GB2＝2AG2＝2AG•AG＝GA•GD，即：GB2＝GA•GD；……………8分②∵AB＝10，∴AE＝BF＝5，∴DE＝＝＝5，∵×AD×AE＝×DE×AG，∴AG＝2，∴AG＝GN＝BN＝2，∴AN＝DG＝4，∵GE∥BN，∴△DGH~△BNH，∴＝＝2，∴GH＝2HN，∵GH+HN＝GN＝2，∴GH＝，∴△GBH的面积＝×GH×BN＝××2＝．…………………12分25．（1）解：把P（0，﹣1）代入解析式得：c＝﹣1，∴y＝ax2+bx﹣1，又∵抛物线与x轴只有一个公共点，∴∆＝b2+4a＝0，即a＝﹣，∴a+b＝﹣+b＝﹣（b﹣2）2+1，∴当b＝2时，a+b有最大值为1；……………4分（2）解：①∵抛物线与x轴只有一个公共点，∴抛物线上的点在x轴的同一侧或x轴上，∴抛物线上的点为P1，P3，又∵P1（﹣2，﹣1），P3（2，﹣1）关于y轴对称，∴顶点为原点（0，0），设解析式为y＝ax2，把P1（﹣2，﹣1）代入得：﹣1＝4a，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2；……………8分②如图：设M（x1，y1），N（x2，y2），由得x2+kx﹣1＝0，∴x1、x2是x2+kx﹣1＝0的二实数根，∴x1+x2＝﹣4k，x1•x2＝﹣4，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝16k2+16，（y1﹣y2）2＝[（kx1﹣1）﹣（kx2﹣1）]2＝k2（x1﹣x2）2＝16k4+16k2，∴M