2024学年九年级中考数学专题复习：三角形综合解答题（提升篇）（含答案）

学年九年级中考数学专题复习：三角形综合解答题姓名：___________班级：___________考号：___________1．小明在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究：【习题回顾】：如图，在等边三角形的边上各取一点P，Q使，AQ，BP相交于点O，求的度数．请你解答该习题．【拓展延伸】：（1）如图1，在等腰的边上各取一点P，Q，使，平分，，，求的长．小明的思路：过点A作交延长线于点G，证明，…（2）如图2，在的边上各取一点P、Q，使，平分，，，求的数量关系，请你解答小明提出的问题．2．【阅读理解】（1）如图1，点A，B，C在同一直线上，于点A，于点C，，，求证：；【拓展应用】（2）如图2，在平面直角坐标系中，点，，分别连接，，设与x轴正半轴的夹角为，与x轴正半轴的夹角为，求证：；【能力提升】（3）如图3，在平面直角坐标系中，点，轴于点F，设点G为x轴上的一动点，当满足时，求OG的长.3．已知四边形的一组对边、的延长线交于点E．(1)如图1，若，求证：．(2)如图2，若，，，，，求四边形的面积．(3)如图3，另一组对边、的延长线相交于点F．若，，，直接写出的长（用含n的式子表示）．4．如图，在中，，点D为边上一动点，连接，将线段绕着D点逆时针方向旋转与相同的度数得到线段，连接．(1)如图1，若，求证：；(2)如图2，当时，连接AE，将线段绕着A点逆时针方向旋转得到线段，连接．求证：；(3)如图3，当时，若，连接，作点C关于的对称点，点H是的中点，连接，当的长度最大时，直接写出的长度．5．在中，，，为平面内的一点．(1)如图1，当点在边上时，，且，求的长；(2)如图2，当点在的外部，且满足，求证：；(3)如图3，，当、分别为、的中点时，把绕点顺时针旋转，设旋转角为，直线与的交点为，连接，直接写出旋转中面积的最大值．6．在中，，，过点B作直线l，点M在直线l上，连接，且，过C点作交于点N．(1)如图1，请问和有怎样的数量关系，并证明；(2)如图2，直线交直线l于点H，求证：；(3)已知，在直线l绕点B旋转的过程中，当时，请直接写出的长度．7．如图1，在中，，，点为内部一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，连接．(1)求证：；(2)如图2，当点落在上时，求的度数；(3)如图3，若为的中点，，求的长．8．已知线段于点，点在直线上（点与不重合），分别以，为边作等边三角形和等边三角形，直线交直线于点．(1)如果点在线段上，如图①，证明：；(2)如果点在线段的延长线上，如图②，试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)如果点在直线上，且，，请直接写出的值．9．如图，分别过线段的端点、作直线、，且、、的角平分线交于点，过点的直线分别交、于点、．

(1)在图中，当直线时，线段、、之间的数量关系是________；(2)当直线绕点旋转到与不垂直时，在如图两种情况下：图中，线段、、之间的数量关系是________；图中，线段、、之间是否有中同样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．10．在中，，点是射线上一点，点在线段上，连接并延长交于点．(1)如图1，求证：．(2)如图2，于点，交于点，求证：．(3)如图3，在（2）的条件下，连接，当，求的面积．11．如图，等边，点P、Q分别是边上的动点（端点除外），点P，Q分别从顶点A、B同时出发，且它们的运动速度相同，连接交于点M．

(1)求证：；(2)当点P、Q分别在边上运动时，的大小变化吗？若变化，说明理由；若不变，请直接写出它的度数．(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，则变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．12．综合与实践问题情境在中，，点O是的中点，D为内一点，连接，将线段绕着点O旋转得到，连接．探究证明（1）如图1，延长交于点E，若．求证：；（2）如图2，连接，交的延长线于点G，连接，若，用等式表示线段之间的数量关系，并证明；拓展提升（3）如图3，在（2）的条件下，与交于点H，若，，，请求出的长度（直接写出答案）．13．在和中，，，，连接，．(1)求证：；(2)若和均为等边三角形，作直线，点C在直线l上且点D在右侧，的延长线交l于E，连接，．①求证：点D在线段的垂直平分线上；②若斜边上的高为2，点C在直线l上运动，则的最小值=．答案1．解答过程：解：习题回顾：∵是等边三角形，∴，又∵，∴，∴．∵，∴；拓展延伸：（1）过点A作交的延长线于点G，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴；（2）如图2，过点P作于H，过点A作于T，设，∵，∴，∵平分，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴；∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．2．解答过程：解：（1）∵，，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴；（2）作点B关于x轴的对称点C，连接，，如图所示：根据对称性可知，，∵，∴，∵，∴，，，∵，∴为直角三角形，，∵，∴，∴，∴．（3）取中点H，连接并延长，取，连接，过点F作于点N，如图所示：∵，∴，，∵中点为H，∴，∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴．3．解答过程：（1）证明：∵，，∴，∴，∴；（2）过点C作于F，过点A作交延长线于G，∵，∴，∴，由勾股定理得，，∴，∵，∴，∴，∵，，，∵，∴，即，解得，，∴四边形的面积的面积的面积的面积；（3）过点C作于H，过点A作于G，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，，设，则，由勾股定理得，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，解得，，∴．4．解答过程：（1）证明：∵，，∴，，由旋转的性质得，，∴，∴，∴；（2）证明：作交的延长线于点，如图，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵将线段绕着A点逆时针方向旋转得到线段，∴，，∴，∵，，∴，∴，同理，∴，∴，∴；（3）解：由对称的性质知，又，∴点在以点为圆心，为半径的圆上，∵，点H是的中点，∴，∴当共线时，的长度最大，延长交于点，作交于点，同理得是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．5．解答过程：（1）证明：如图，将沿折叠，得到，连接，

∵，∴，将沿折叠，得到，∴∴，，，∴，∴为等边三角形，为等腰直角三角形∴，∴；（2）如图，过作，且，连接，

∵∴，又∵，∴∴又∵，∴，，即，，∴∴；（3）如图3，连接交于G点∵绕A点旋转∴，，∵∴∴∴∵∴∴为直角三角形∴点P在以中点M为圆心，为半径的圆上，连接交所在直线于点N，当时，点P到直线的距离最大，∵∴A、P、B、C四点共圆∵，∴N是的中点∵M是的中点∴∵，∴，∴，∴，∴点P到所在直线的距离的最大值为．∴的面积最大值为．6．解答过程：（1）证明：∵，，∴，∵，∴；（2）证明：如图2，在直线l上取点，连接，使，∴，即，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，由勾股定理得，，∵，∴；（3）解：由题意知，分两种情况求解；①如图3，∵，，∴，∴，，∴，∴，，∴，∴，∴，由勾股定理得；②如图4，同理可得，，∴，，∴，，∴，，∴，由勾股定理得，，∵，∴，∴，由勾股定理得；综上所述，的长为或．7．解答过程：（1）证明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：过点作于点，连接，过点作，交于点，如图所示：在和中，构成了“”字形，由于，对顶角，则，，，，则，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵由（1）中，∴，∴，∵，∴，∵，∴，设，则，，∵，∴，∴，∴；（3）解：过点作，交于点，如图所示：则，，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∵由（1）中，∴，∴，∴，，∴，∴，∴在中，由勾股定理可得，∴．8．解答过程：（1）证明：，都是等边三角形，，，，，；（2）解：．∵，∴，由（）得，，，，∴，，，，∵，，，．（3）解：①如图①中，

，设，，，，，．②如图③中，

设，则，，，，，，综上所述，或．9．(1)；(2)；解答过程：（1）解：如图，延长交于点，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴为等腰三角形，，∵平分，∴∵，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，故答案为：；（2）解：．理由：如图，延长交于点，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴为等腰三角形，，∵平分，∴∵，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，故答案为：；．理由：如图，延长交于点，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴为等腰三角形，，∵平分，∴∵，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴．10．解答过程：（1）证明：∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴；（2）证明：如图2，作于N，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即；（3）解：如图3，设，由（2）知，，，则，，∵，∴，∴，解得，，∴，∴，∴的面积为．11．解答过程：（1）证明：是等边三角形，，又点、运动速度相同，，在与中，，，；（2）点、在、边上运动的过程中，不变．理由：，，是的外角，，；（3）点、在运动到终点后继续在射线、上运动时，不变．理由：同理可得，，，是的外角，，，即若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，的度数为．12．解答过程：解：（1）∵是线段绕着点O旋转得到的，∴，∵O是的中点，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2），由（1）可知：，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴；（3