专题5.1任意角与弧度制、三角函数的概念（十个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

专题5.1任意角与弧度制、三角函数的概念知识点1任意角1.任意角（1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．（2）角的表示如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的始边和终边．“角”或“”可以简记成“”．（3）角的分类类型定义图示正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角（4）相等角与相反角①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称.②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为.③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是.④角的减法可以转化为角的加法．2．象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．温馨提示：（1）为任意角，“”这一条件不能漏；（2）与中间用“”连接，如可理解成．知识点二弧度制1．角的单位制（1）角度制：规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．（2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．2．角度与弧度的换算角度化弧度弧度化角度度数弧度数弧度数度数3．扇形的弧长公式及面积公式弧长公式面积公式角度制弧度制温馨提示：（1）运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是为弧度制．（2）在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：①重难点1任意角的概念1．（多选）下列命题错误的是（

）A．第二象限的角都是钝角B．小于的角是锐角C．是第三象限的角D．角的终边在第一象限，那么角的终边在第二象限2．已知集合A={|为锐角}，B={|为小于的角}，C={|为第一象限角}，D={|为小于的正角}，则下列等式中成立的是（

）A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D3．射线绕端点逆时针旋转到达位置，由位置绕端点旋转到达位置，得，则射线旋转的方向与角度分别为（）A．逆时针， B．顺时针，C．逆时针， D．顺时针，4．把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为.5．如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则．6．下列所示图形中，的是；的是．

重难点2终边相同的角7．与角终边相同的角是（

）A． B． C． D．8．的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限9．将化为的形式是．10．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角α的取值集合是11．若，且β与α的终边相同，求β．12．写出终边在下图所示的直线上的角的集合．

重难点3根据图形写出角的范围13．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

14．用弧度分别表示终边落在如图（1）（2）所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合．（如无特别说明，边界线为实线代表包括边界，边界线为虚线代表不包括边界）

15．集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（

）A．

B．

C．

D．

16．如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为．

17．写出终边落在的图象所夹区域内（不包括边界）的角的集合.18．用弧度制表示终边落在下列阴影部分的角.(1)(2)重难点4确定n倍角与n分角所在象限19．若是第三象限角，则所在的象限是（

）A．第一或第二象限； B．第三或第四象限；C．第一或第三象限； D．第二或第四象限．20．（多选）若是第二象限角，则（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴负半轴上21．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件22．（多选）已知是第三象限角，则不可能是第几象限角（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限23．若角的终边与角的终边相同，则在内与角的终边相同的角是.24．若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角．重难点5角度与弧度的互化25．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（

）A． B．C． D．26．已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当大轮转动一周时小轮转动角度是（

）A． B． C． D．27．将化成弧度为．28．rad；°．29．将下列各弧度化成角度.(1)(2)(3)(4)-330．把下列各角从度化为弧度：(1)；(2)．重难点6扇形弧长及面积的计算31．已知扇形的圆心角弧度为2，所对弦长为6，则该扇形的面积为（

）A． B． C． D．32．杭州第届亚洲运动会，于年月日至月日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的，内环所在圆的半径为，径长（内环和外环所在圆的半径之差）为，则该扇面的面积为.33．母线长为、底面半径为的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为．34．已知某时钟的分针长，时间经过5分钟，则时针转过的角为弧度，分针扫过的扇形的面积为35．某时钟的分针长，时间从12：00到12：25，求：(1)分针转过的角的弧度数；(2)分针扫过的扇形面积；(3)分针尖端所走过的弧长（取3.14，计算结果精确到0.01）．36．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角的大小；(2)求所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.重难点7扇形中的最值问题37．若有一扇形的周长为60cm，那么扇形的最大面积为.38．若扇形的周长为18，则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是.39．已知某扇形材料的面积为，圆心角为，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为.40．已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r．(1)若，求扇形的弧长．(2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．41．如图，点A，B，C是圆上的点．(1)若，，求扇形AOB的面积和弧AB的长；(2)若扇形AOB的面积为，求扇形AOB周长的最小值，并求出此时的值．知识点三三角函数的概念1．任意角的三角函数的定义前提如图，设是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点定义正弦点的纵坐标叫做的正弦，记作，即余弦点的横坐标叫做的正弦，记作，即正切把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为正弦函数；余弦函数正切函数温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中，应该明确是一个任意角．（2）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和所在终边上的位置无关，而由角的终边位置决定．2．三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦重难点8利用定义求三角函数值42．若角的终边与单位圆交点，则=（

）A． B． C． D．不存在43．已知：角的终边过点，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件44．在平面直角坐标系中，角以为始边，则“角的终边过点”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件45．已知角的终边落在直线上，则的值为（

）A． B． C． D．46．设角α的终边经过下列各点，求角α的正弦函数值、余弦函数值：(1)；(2)；(3)；(4)．47．已知角的终边落在射线上，求的值．重难点9根据三角函数值求参数48．已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若角终边有一点，且，则（

）A．1 B． C． D．249．已知角的终边经过点，且，则实数的a值是（

）A． B． C．或 D．150．在直角坐标系中，以轴非负半轴为始边，角的终边与函数的图象相交于，两点，若，则（

）A． B． C．2 D．351．角的终边上一点的坐标为，且，则（

）A． B． C． D．52．（多选）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存两点，且，则（

）A． B．C． D．53．若角的终边经过点，且，则．重难点10象限的符号问题54．已知角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，且满足，，则（