山东省烟台市莱州市2023-2024学年高一上学期1月月考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1山东省烟台市莱州市2023-2024学年高一上学期1月月考数学试题一、单项选择题（本大题共有8小题，每小题5分，共40分.）1.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，解得，所以，而，所以，所以.故选：A.3.设，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为在上单调递减，所以，即，因为在上单调递增，又，，又，所以，故，所以.故选：C.4.已知，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，因为，所以，，，所以.故选：A.5.已知函数是偶函数，则等于（）A. B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗因为函数是偶函数，所以，.故选：B.6.东方设计中的“白银比例”是，它的重要程度不亚于西方文化中的“黄金比例”，传达出一种独特的东方审美观．折扇的纸面可看作是从一个大扇形纸面中剪掉一个小扇形纸面后剩下的图形，如图所示，设制作折扇纸面面积为，折扇剪下的小扇形纸面面积为，当时，扇面看上去较为美观，那么剪下的小扇形半径与原大扇形半径之比的平方为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设剪下的小扇形的半径为，原大扇形半径为，扇形的弧度为，则，，由题意可得：，则，所以.故选：B．7.已知，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，令，则，依题意可知，且，，因此在上单调递增，设，因为是上的增函数，所以是上的增函数，且恒有，设，，则，，因为是上的增函数，所以是上的增函数且恒有，当时，是上的增函数成立且满足，当时，由是上的增函数得，解得，又都有，所以，解得，因此，综上所述可得.故选：B.8.已知函数（），则（）A.存在实数，使函数没有零点B.当时，对，都有成立C.当时，方程有4个不同的实数根D.当时，方程有2个不同的实数根〖答案〗C〖解析〗对于A：作出函数和图象（如图所示），当时，函数只有1个零点，当时，函数有2个零点，当时，函数只有1个零点，故A错误；对于B：当，都有成立时，则函数单调递增，而时，函数先增后减再增，当时，函数不是增函数，B错误；对于C：时，令得，，当时，方程有两个解，当时，方程有两个解，所以方程有4个不同的实数根，故C正确；对于D：当时，方程的根为的根，令，作出，的图象，可得函数与有三个交点，其中包括，即方程有三个根.故选：C.二、多项选择题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分.）9.下列方程中能用二分法求近似解的为（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗对于A项，设，则，，所以，，且的图象是一条连续不断的曲线，根据零点的存在定理可知，，使得，故A正确；对于B项，设，则，，所以，，且的图象是一条连续不断的曲线，根据零点的存在定理可知，，使得，故B正确；对于C项，设，则，，所以，，且的图象是一条连续不断的曲线，根据零点的存在定理可知，，使得，故C正确；对于D项，设，因为恒成立，不存在函数值异号区间，所以不满足二分法的条件，故D错误.故选：ABC.10.已知，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因为，所以，即，故，故A正确；因为，，所以成立，故C正确；，故，故B错误；成立，故D正确.故选：ACD.11.质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的⊙O上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为1rad/s，起点为⊙O与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为3rad/s，起点为射线与⊙O的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗点的初始位置的坐标为，且钝角，设经过s后，Q与P重合，坐标均为，则，解得，当为偶数时，Q的坐标为，C正确；当为奇数时，Q的坐标为，即，B正确；AD均不对.故选：BC.12.已知，分别为函数与的零点，则下列关系式正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对选项A：，函数在上单调递减，，，故，错误；对选项B：，函数在上单调递增，，，故，正确；对选项C：，即，，即，和关于对称，关于对称，故和关于对称，，即，正确；对选项D：，，故，即，等号成立的条件为，此条件不成立，故，正确.故选：BCD.三、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分．）13.已知函数，若有两个零点，且在上单调递增，则实数m的取值范围为______________.〖答案〗〖解析〗因为有两个零点，所以，解得或；因为在上单调递增，所以；综上可得实数m的取值范围为.故〖答案〗为：.14.已知，则________.〖答案〗〖解析〗因为，所以.故〖答案〗为：.15.记函数（）的最小正周期为，且的图象关于对称，当取最小值时，_______.〖答案〗〖解析〗由的图象关于对称，则，，∴（），又∵，∴当，的最小值为4，此时，，∴.故〖答案〗为：.16.已知函数若，且，则的取值范围是____________．〖答案〗〖解析〗画出函数的图象如下：观察图象由对称性可得，即，又，，则，令，由二次函数图象可知，，，∴的取值范围为.故〖答案〗为：.四、解答题（本大题共有6小题，共70分.）17.（1）计算：；（2）已知，求的值．解：（1）原式.（2）因为，所以，所以．18.已知，.（1）求值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）由于，所以，又得，解得或（舍去），故.（2）.（3）.19.已知函数.（1）求的值；（2）求的单调增区间；（3）求在区间上的值域.解：（1）.（2）由得，，的单调增区间为.（3）当时，，，，故在区间上的值域为.20.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）函数，若存在，，使得成立，求实数a的取值范围.解：（1），定义域为，，函数是奇函数，又在时是减函数，故不等式等价于，即，又，∴，解得，故不等式的解集为.（2）由题意知：时，与值域有交集，时，是减函数，∴，当时，，时单调递减，，∴，∴，当时，，时单调递增，，显然不符合，综上：a的取值范围为.21.某医药研究所研发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量与服药后的时间之间近似满足如图所示的曲线．其中是线段，曲线段是函数（，k，a是常数）的图象，且．（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过，该病人每毫升血液中含药量为多少？（精确到）解：（1）当时，；当时，把代入（，k，a是常数），得，解得，故.（2）设第一次服药后最迟过t小时服第二次药，则，解得：，即第一次服药后后服第二次药，也即上午11：00服药.（3）第二次服药后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：，每毫升血液中含第二次服药后剩余量为：，所以此时两次服药剩余的量为，故该病人每毫升血液中的含药量为.22.指数级增长又称为爆炸式增长，其中一条结论是：当时，指数函数在区间上的平均变化率随t的增大而增大．已知实数a，b，满足．（1）比较和大小；（2）当时，比较和的大小；（3）当时，判断的符号．解：（1）由题意得：，，则，所以，当时，则在定义域内单调递减，解得，所以；当时，则在定义域内单调递增，解得，所以；综上所述：，即，所以．（2）当时，则，（方法一）①假设，则，即，由，且，所以，则，所以，与已知矛盾，故假设不成立；②假设，则，即，由，且，所以，则，同理可得，与已知矛盾，假设不成立；③当，则，可得，符合题意；由①②③可得：．（方法二）设，则b是的零点，对，且，∵，，在单调递增，则，可得，即，故在单调递增，∴有唯一的零点b，设，对，且，∵，都单调递增，则，可得，即，故在单调递增，且，故函数零点存在性定理知在存在唯一的零点，则满足，即，可得，即，故，即，所以的零点即为的零点b，所以，即．（方法三）两边除以b可得：，变