2017春浙大远程工程数学离线作业

工程数学答案

计算以下各式:

(2)、(a-bi)3

解(a-bi)3=a3-3a2bi+3a(bi)2-(bi)3

=a3-3ab2+i(b3-3a2b)；

⑶、(i-i)(i-2).

j___________i________i_

解(i-l)(i-2)=i2-2i-i+2=l-3i

i(l+3i)-3J_

=10=1010

、证明以下关于共朝复数的运算性质：

(1)⑵土Z2)=五土石.

证(Zi±z2)=(xj+iyj±(x2+iy2)=Xj±x2)j(yi±y2)

=Xi-iyi±x2±iy2=z；±五

⑵(Z/2)=Z]Z2;

证(和)=(Xi+iyi)(x2+iy2)

=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+y1x2)

=x1x2_y1y2_i(x1y2+y1x2)

(xt+iyx)(x2+iy2)-i%x2-iy2

-A)

/逐2“”2_汉1丫2—丫”2

即左边=右边，得证。

(3)\z2J=z；(z2^0)

xt+iyi、(x.+iyCgTy?)

X2+2

X2+iy2=(2Y2)

(xi-iyQ(xz+iy?)H一九)(xzZ+yJ)

22zz

=x2+y2=(x2+y2)(x2-iy2)

x，-iyiz7

=x2-»y2=z^

、将直线方程ax+by+c=O(a2+b2W0)写成复数形式[提示：记x+iy=z]

Az、

z+A+B=0,其中A=a+ib,B=2C(实数)。

z+zz-z

解由*=刀，y=W■代入直线方程，得

a_b_

-z+z-z—z

2(i)+C=0,

az,z—z,

az+-bi()+2c=0,

(a-ib)z+(a+ib)+2c=0,

Az

故z+A+B=0,其中A=a+ib,B=2C

、将圆周方程a(x2+y2)+bx+cy+d=0(aW0)写成复数形式(即用z与“来

表示，其中z=x+iy)

z+zz-Z—

解：x=V,y=W,x2+y2=zZ代入圆周方程，得

_b_c_

Z-Z+2、-Z—Z,zz

az+2()+21()+d=0,2az+(b-ic)z+(b+ic)+2d=0

故AZ'+BZ+B*+C=O,其中A=2a,C=2d均为实数，B=b+ic0

求以下复数的模与辅角主值:

⑴、二+'=2,

解|V3+i|=J(V3)2+i2=V4=2,

+.in

arg()=arctan^3=60

将以下各复数写成三角表示式:

,、sina+cosa

⑵、i

।■,.।.,.cosan

,sina+icosasina+icosa,--、-

解kT=l,arg()=arctan(sina)=2-a

sina4-cosacos(--a)sin(--a)

故i=2+iV2

、解方程：Z3+l=0

1

解方程Z3+l=0,即Z3=-l,它的解是Z=(—l)3,由开方公式计算得

i(2k+l)n.(2k+l)r[

1(cosit4-isinIT)]acos-------—sm-------—

z=-,=3+j3k=0,l,2

Tl•F1V弓

cos-+sm——

即Zo=33=2+2i

cosu+isinn—

Zi==1,

5n.5TTI

cos—sm-............

3

Z2=+i3=22j0

指出以下不等式所确定的区域，并指明它是有界的还是无界的？是单

连通区域还是多连通区域？

⑴、2〈⑵V3；

解圆环、有界、多连域。

nn

⑶、4<argz<3；

解圆环的一局部、单连域、有界。

⑸、Rez2<l；

解x2-y2<l无界、单连域。

⑺、由gz*；

解从原点出发的两条半射线所成的区域、无界、单连域;

以下函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析?

⑴f(z)=ZZ2;

2z|zP

解f(z)=z2=•z•z=,z=(x2+y2)(x+iy)=x(x2+y2)+iy(x2+y2),

这里2222

u(x,y)=x(x+y),v(x,y)=y(x+y)0

222222。

ux=x+y+2x,vy=x+y+2y,uy=2xy,vx=2xy

要Ux=Vy,Uy=-Vx,当且仅当X=y=0,而Ux,Vy>Uy,Vx均连续,

故f(z)=4•z2仅在Z=0可导；zWO不可导；复平面上处处不解析；

⑵、f(z)=x2+iy2；

22

解这里u=x,v=y,Ux=2x,uy=0,vx=0,vy=2y,四个偏导数均连续，但

Ux=Vy,Uy=-Vx仅在x=y处成立，故f(z)仅在x=y上可导,其余点均不

可导，复平面上处处不解析；

确定以下函数的解析区域和奇点，并求出导数：

⑴、工；

解f(z)=/M是有理函数，除去分母为0的点外处处解析，故全平面

除去点z=l及z=-l的区域为f(z)的解析区域，奇点为z=±Lf(z)的导

数为：F(z)=(Ky=(z2-i)2那么可推出£.=0,即u=c(常数)。故f(z)

必为D中常数。

由以下条件求解析函数f(z)=u+iv

⑴、u=(x-y)(x2+4xy+y2)；

x2y2匚匚士f(3x2+6xy-3y2)

斛因ft<=cy=3+6xy-3,所有v="dy

3x2yy2y3=y2"x2-6xyy2

=J+3x/-+co(x),又6=6xy+3，+3’(x)，而守=3,

23

所以“(x)=-3X,那么①[x)=-X+Co

,x2y23x2y+3xy2—y3x3、

故f(z)=u+iv=(x-y)w(+4xy+‘x)+i(-+C)

x2y2x2yy2

=(1-i)(x+iy)-(1-i)(x+iy)-2」(l+i卜2x>(l-i)+Ci

x2—y2x2—y2

=z(l-i)()-2xyi,iz(l-i)+Ci=(l-i)z(-2xyi)+Ci

=(1-i)z3+Ci

(3)、u=2(x-l)y,f(O)=-i；

cucudvcu

解因羡=2y,5=2(X-1),由f(z)的解析性，有最一后=-2(x-l),

vJ-2(X-l)dx=-(X-l)^⑺，又之，y,而短业⑺，所以

%y）=2y,W（y）=y、，那么v；（xT）y+c,故

(x-1)-(x-l)2y2,—/日——i_.

f(z)=2vy+i(+>+C),由f(2)=i得f⑵=i(1+C)=，推出

C=0o即f(z)=2(xDy+il+2X_1)=i(-Z+2z_1)=-i(l-z)2

,、ex,cosy-ysiny,~、

(4)、u=(x))」)，f(0)=0；

eXCOSyxx

解g]L(x—丫$也a+ecosy,1=e()(siny-siny-ycos%

由f⑵的解析性，有胃尸(-xsiny-siny-ycosy),

之普％8sy-ysiny)+excosy。那么vky)=C-tdx+Bdy+C

Odx

Jo+^[ex(xcosy-ysiny)+excosy]

x

=e(x^cosydyXysinydy+^coSydy)+c

ex(xsiny—ycosy一1cosydy+《cosyd%

exsinyexycosy

x，C,故

ex(xsiny-ycosy)exxsiny-ycosy八5一八

f(z)=-i()+iCo由f(0)=0知C=0

即f(『(x8sy-ycosy)+首产”7烟兀田。

试解方程:

⑴、叱1+与

解叱1+码=218sMs呜)/牛2加

小2做2M+乳女=(),土匕±2,.....

,、sinzcosz

⑷、+=0

n

解由题设知tanZ-Lzn/i,k为整数。

求以下各式的值:

cosi

⑴、

/⑴+❷一鼠。❷――

scosi

解22

,、33-i

(3)、

((

解33Te3-i)ln3e3-i)(ln3+2kni)0(3-i)In3e2kn03In3+2knie«iln3

e2kneosin3sinIn3、

=27(-i)o

第三章

、计算机积分£[(X—丫)+瓜21dz积分路径为(1)自原点至l+i

的直线段；(2)自原点沿实轴至1,再由1沿直线向上至1+i；(3)

自原点沿虚轴至i,再由i沿水平方向向右至1+i。

f1+1[(x—y)+ix2]f1it2(l+i)---+-

解(1)J。」-dz」。idt=i(l+i)3=33.

注：直线段的参数方程为z=(l+i)t,OWtWlo

⑵Ci：y=0,dy=o,dz=dx,C2：x=l/dx=o/dz=idy,

广―u+L

/(x+汉2)dx+C(i-y+i)idy「瑞

(3)”:x=O,dz=idy;12:y=l,dz=dx。

广[(xf+qj+人

f1(—y)f1(x—1+ix2)----

J。j，dy+J。'dx=26

|z|

、计算积分幺百dz的值，其中C为⑴0=2；⑵=4o

解令z=F：那么酿品」”宜酣吟2、。

当r=2时，为4"i；当r=4时，为8、。

、计算幺=dz,其中C为圆周0=2；

上‘■Izl

解f(z)=z2_z=z(z-l)在I1=2内有两个奇点Z=0,l,分别作以0,1为中

心的圆周Ci,C2,Cl与C2不相交，那么

0---(p—Q-nn

2r

为z-zdz=-c2z-idz-%zdz=2i-2i=0

计算以下积分值：

,、Irltisi.nz

(1)、%dz；

切C1sinz,-coszl«cosKi

解dz='o=l-;

产zez

(3)、J】dz；

解侬-2%./%，-1一3N一4

计算以下积分：

⑴、^z-2l=1^2dz；

解忆21=1,2=2“户Z=2=2%/

r2Z2-Z+1

⑵、%l=2z-1dz；

解轴=2*dz=2nie'z+l)।z=1=4n.

rdz

(4)、%l=r(z_l)n(rWl)；

解r<l时为0；r>l时n=l为2nWl为0。

、计算/(2z+i)(z-2)其中c是⑴⑶=1；(2)|z-2|=l；(3)|z-1|=2；

|Z|

⑷=3

z

।।_1--y

解(1)被积函数在闭或1内仅有一个奇点Z=一£,故l=c2(Z+?'dz

(2)被积函数在l।z—211Wl内仅有一个奇点z=2,故

Z

r.Z.4Tt

(£2z±ini-

1=/z-2dz=2(2z+1)z-29=5i；

|-121-

(3)被积函数在।z4W2内处处解析，故1=0；

(4)、被积函数在⑷|z|W3内有两个奇点z=——2,z=2由复合闭路原

Z

理，知1=幺+虹/或否dz+幺资dz5+等=、,其中

aJz|口忆一2|

Cl为=1,C2为=lo

计算以下积分:

如.詈dz,其中J「2,G：也3。

(3)、

rcoszrcoszrcosz

333

解^c=c1+c2zdz=%izdz+%2zdz

.1.1

JT1—COSZC0SZ,Zz=0

=22!()〃z=0—27112!()

ni—ni

=（-D（-D=o

第四章

以下级数是否收敛？是否绝对收敛?

解⑴因，，发散。故或+：）发散。

（2）收敛；故'：2）绝对收敛。

试确定以下事级数的收敛半径:

正皿:⑵、器。+：）吃。

⑴、

]・n+1

lim8।/

解⑴n=1,故R=lo

⑸lim…晒…皿…（1+：）

IZJ——11

1

故R=e

将以下各函数展开为Z的塞级数，并指出其收敛区域:

1]

（1）、i+z。（3）、（1+z2）;（5）、sin2z；

解（1）而—■O（-z3）n声0（_1）叱3：原点到所有奇点

的距离最小值为1，故⑶VI。

1,_J_

⑶（1+Z2）2=2Z（七）金芹。5）：,

11

一/£上(T)2nz2n-TX占(_1)吁1.吁2|z|

=2z=,<1

l-cos2z1_1yoo3尸.(一］)n

(5)Sin2Z=2=22n-°(2n)!

1yoo(-l)n2n-zn

一声=1飞『，|Z|<8q

求以下函数在指定点Zo处的泰勒展示：

Asinz

⑴、z2,zo=l；⑵、,Zo=l;

11

解⑴Z2=⑺，=

「E20(—1尸。一1尸一£二式一l)n.n(Z—1尸-1

LJ==

nn

S^0(-l)(n+l)(z-l)

，<1

sinzsin(z—1+1)sin(z—1)cos1sin1cos(z—1)

(2)=+

C0S1

=^=0^F+sin1Zn=o

将以下各函数在指定圆环内展开为洛朗级数：

z+1Z2—2Z+S

⑴、Z2(Z-1),1<团<+8；⑶、(Z-2)(ZZ+1),|z|

1<<2

<、cos—|z—11

(4)、i-z,o<<+°°；

II2+12_2_J__Ayoo

解(1)0<'时，Z2(z-l)=z2(l_l_z)=z2z2乙n=。

当1<忆1<+8时，ovElvi,着渣（1+±）=2（率不）

1y1coz^\n『oo2

23n=2n=On+a

=z+z°z=z+z0

Z2-2Z+51_______2__£._2____2_.J

⑶(Z-2)(Z2+1)=Z-2Z2+1=21--z21+以

1v*=8/z、n2Y'OOz1xn

=-；Zn=O(£)-/Zn=O(­

v82

-Zn=O急+舐。(-1)"】|z|

z2n+21<<2

⑷0<忆—"v+8时,

1V00(一士二1Voo(±)nV«>(1-z)-2nyoo_-------------

n-2n

；En=O~~~+~2n=0n,_^n=0(2n)!=°(2n)!(z-l)

将fQLz-3z+2在Z=1处展开为洛朗级数

11______1_

-

解f(z)=(z-2)(z-l)=^^of⑵的奇点为Z1=1,Z2=2。

f(z)在0<忆一与忆—”>1解析。当0(忆—“<1时

11

f(z)=z-2z-l=Z-1

——1尸

|-1|——-------------——

当Z>1时OVz-lVl,f(z)=z-2z-l=z-l+zT

1yoo/_£_\n+l_yoo】

口+乙n=oq_J—乙n=°(z—l)n+2

第五章

、以下各函数有哪些奇点？各属何类型〔如是极点，指出它的阶数〕:

z-11In(1+z)

(1)、Ze+4)2；⑵、Z3.⑶、Sinz+cosz；⑷、z2(j)；⑸、

⑹、eZ-Lz；

解⑴令f(z)=z(z2+4)2,z=o,±2i为f(z)的奇点，因11叫一。2，°)=一适

所以Z=0为简单极点，又

1皿一2/一2。2Llimz^2i^l--i±£

Z(Z2+4)2=z-%(z+2i)2=32,所以z=2i为二阶极点,

同理z=—2]亦为二阶极点。

],2sinz]・sinz

(2)因imz-oZ-Fjmz—oK9,所以z=。为二阶极点。

(3)令f(z)=sinz+cosz=、'2sin(z+:)，那么f(z)的零点为2=「-4,k=0,

V2sin(z+-)

±1,±2,…因Ig))

y/2cosz(z+-)H_V2-(-l)k*

所以

------z2rpz-1)—2kui

⑷令f(z)=z2(ff(z)=(<那么f(z)的零点为z=k=0,

2_2注3H2_

±1,±2,...o因f(z)=z(z+3+..J=z(1+3+...),z=0为f(z)的三阶零点，

故f⑵的三阶极点。又

z=2kE/。，故z=2kTU为旧的

一阶零点，即为f(z)的简单极点。

In(1+z)

(5)令f(z)=zz=0为其孤立奇点。因

z°=z°1+2=1,所以z=0为可去奇点。

⑹令f(z)=ez_』z(J),z=0和卢-U,士岫…)为其孤

q*I.limz一()f(z)lim^1-e--1皿一0二",--..

z07zz0zzrr

乂奇点。因=°e-l+ze=2e+ze=2,所以Z=Q

—z(eZ-L)_z----ez_d2kiri

为可去奇点，又f(z)=z-ez+l=z-ez+i广\所以7=卜二。，土匕

1

±2,…)为©)的一阶零点，即为f(z)的简单极点。

、如果f(z)与g(z)是以Z0为零点的两个不恒为零的解析函数，那么

limz_z—zliniz_z、oo—

°s()=z-z。ge)(或两端均为)o［提示：将g(z)写成

(z,z)组

°也3的形式，再讨论。］

证设“°为,⑵的m阶零点，为g(z)的n阶零点，那么

f(z)_(z—z°)1ntp⑵中⑵在Zo解析，(p(Zo)H

—,ixu,m1,

g(小(z-Z。)%(z),5⑵在Z。解析，%)7心1。因而黑

皿-z焉=hmz_z°(z-Z。严n

1*,堤Ym(z-Zo)mT(p(z)+(z-Zo)m(pi(Zo)

HHz-z°n(z_Zo)n-iq/(z)+(z_Zo)nl|/Z(Zo)

m-n

limz^z°-n-k(z-Zn。))—Mz)

0（Zo）

当m=n时，⑴式=小g0）=⑵式，当m>n时，（[）式=⑵式=0,

当mVn时，（1）式=（2）式=8。

求出以下函数在孤立奇点处的留数：

ez-lz71shz

chz

（1）、z；（2R（Z-2）（Z2+1）2.（5）、zsinz.（6）、;

解（1）令l乙z,孤立奇点仅有0。

Res[f（Z）,0]=皿-。Zf。眄-。（8明

(2)z=2为简单极点，z=±i为二阶极点。Res[,⑺，?]

limz一2(Z-2)T~^—―limz_2、—f(z).

y2Z22r

=(2-2)(z+l)=^Z+1=5,Res[,i]

].(z7、,y7z6(z-2)(z+i)-z7(z=2+2z-4)2+i

=1叫-M(z_2)(z+i)2)=1叫7(z-2)2(z+i)3=77。同理可计算

Res产2刀竟。

(5)zsinz的孤立奇点为z=0,Zk=kJi(k=±l,±2,其中，z=0为

11

1z@z?111

--------z(z―—-+••,)z2(1――--------------

二阶极点，这是由于zsinz=3==3：—g(z),g(z)在z=。处解

]rz\711/vsinz-zcosz

析。且的r0所以Res产z),0]=1叫-。卜—]=1叫一。siMz

]・cosz+zsinz-cosz

=叫一02sinzcosz=0,易知Zk=kJl(k=±：l,±2,…)为简单极点，

所以Res[f(Z),kni](k=±l,±2,…)为简单极点，所以Res

zk：T1k

limz_kn['---Jlimz_k7r---------(-l)—

kJl]='zsinz='sinz+zcosz=kn(|<=±±2,

shzez—e-z

(6)瓦=不乏在整个复平面上解析，无孤立奇点。

利用留数计算以下积分：

.旦(£3一一1.nie

Tzi=2

(1)、^zl=lZsinz=0;〔2)、2(z-l)(z+3)dz=8；

⑷、6|=：6-1)(2+3)2=_2亩

f(z)[TTilim^o(—)/

解⑴^zl=lzsinz=2^ReS[z

,0]=2、mz

・「sinz-zcosz...sinz-zcosz

mlim_--------mlim_--------

=27z0sin2z=2702z

cosz-cosz+zsinzsinz

mlimTiilim

=2z-0=2z-r=o

4一一--eZI

Xzl=；(z_l)(z+3)2dz=2nirf(z)rTTi一--me

(2)Res['。1]=21(Z+3)2=8。

ez•«•cosz

(£1--------------niliniz一0

⑷刀zl=三(z-l)(z+3)2=2(l-ez)=2e=2

求以下各积分之值:

r2xd0,+8x2

0a+cose(a1)；(3)、(x2+a2)2dX(a"0);(4)、

⑴、

r+8cosx

----X

J-8X2+4X+5(j；

r2x^_二j1

解⑴°a+cos0Zl=1iz—普)dz=Gl=liz(z2+2az+l)dz

=i4zl=i(z-a)(z-p)dzo令)=*(z-a)(z_P),其中a=a1

B=F+，a2-1为实系数二次方程z2+2az+1=Q的两相异实根，显然

|a|>l,IPI<l,被积函数*z)在0=1上无奇点，在单位圆内部又是一

_,.1|2_______i__r2nde

22

个简单极点故Res*,片姮」工邛=i-2\a—l=Va—1,即a+cos0

2n

ni「f(z)d7=

=2Res[,]

z?fz24-a2^2

(3)I，=(x2+a2)2它共有两个二阶极点，且(I)在实轴上无

f+8x2

奇点，在上半平面仅有二阶极点ai,所以J-8体2+吗2=2Res[

叱=2mlim_ai[扃「十市皿芳湍忘

(4)不难验证*z)=满足假设尔当引理条件，函数4z)有两个

f(z)

一阶极点-2+i,-2-ioRes[,-2+i]

iz

eie-2i-icos2-isin2

=(Z2+4Z+5)/2=-2+i=2i-2ie,

『+8cosx.c,、n••n

----xmrf(z)[-，cos2—ism2、,,

J-8x2+4x+5d=2ResL,-2+i]=e()。故

r+8cosxncos2

---X------------

J-8xz+4X+5j-e

第八章

求以下函数的傅氏变换，并证明所列的积分等式。

-1,-1<t<0,

1,0<t<1,e\t<0,

0,t>0；

(1)、f(t)=o,其他；[2)、f(t)=

(l-t2,|t|<l,

(3)、f(t/0,比I>1；

F3t_eT3t「eT3t

解⑴[f(t)]J—MWdt=j-edt+J0dt

1

093tre-j<ot_£sin3t-coswt|J——rcos3.

=J。dt+J°dt=2jJ°dt=3°=3[i一]

一,3」+8f(t)eT3tf°-eT3tf°e(l3t)

(2)F()=几8、，dt=-°°dt/-8小

1—e(1T3t)|工二一

⑶F（3）J二侬一\/（一加％

ejcott2

=£-dtXi(c°s3t—jsin3%

工e-j3tl=f1t2cosu)t

=-j3_2J-idt

2sino>29.।101「..

---------tzsmu)tA-Iztsmootdt-,

=33r[IUJ0J

41..Irl41.

----rCOSU)to-0lcoscot,---；cos3sm3、

=3(3)[tdt]=32(3)o

求以下函数的傅氏变换，并证明所列的积分等式。

仲1”以，1+8-伊nt1|t|<71,

⑵、f(tj°，闺>加证明J。3c|3=l0，忖>兀

3厂一(De-j3t『sinte73t

解(2)F()=>8dt」-"dt

fnsintfcosa)t—jsinu)t)—Psintsina)t

J-ndt=2jJ°dt

[COS(U)+l)t—COS((JO-l)t]dt

sin(o+l)t-nsin(co-l)t.n-sin3TT-sincoir2jsin3n

=j(3+1。3—I0)=j(3+13-1)=32—1

证明以下各式:

⑴、fl(t)*f2(t)=f2(t)*fl(t);

°，t<°，ro,t<o,

、设fi(t)=1I〕之°；f2(t)=le-\t>0,求fi(t)*f2(t)o

解fl(t)*f2(t)=18fl0)・T)dt当two时，f](t)*f2(t)=0；当t>0

-t_T；-t

ee|0-e,,

时，fi(t)*f2(t)=J。dt==1故

1-e-t,t>0

fl(t)*f2(t)=S，l~Oo

设F1(3)=F[fi(t)l，F2(3)=F[f2(t)],证明：F,f2⑴]=2n

3(V3

Fi()*F2)o

1

证2n

F1(3)*F2(3)=岁小(u).F式…)du=

=7^81•CTF2(3-u)e-jutf】(t)du]

~dt

=2nJ-8,1⑴[J_8^2(3—U)e~JutdllJ

~dt

=2^^-coF(s)e75t-e~iutds]

2~dt

j7（t）ckf2（t）dt=F%t）.刚］

第九章

求以下函数的拉氏变换:

,3,0<t<2,(3,0<t<-,

—1,2<t<4,n

⑴、f(t)=(o,t>4:；⑵、f(t)=(8St，

f+0°f(t)e-st『e-c-f4e-st

JJJe

解⑴F(s)=：f(t):=oBdt=3odt20dt

3e—st1i21e-st2s4s

;0+;|*=-(3-4e-4-e-)

s

r+8

+8—-st

⑵F(s)='[f(t)]J0f°)edt=3^o2e,-stJnCOSte

dt+2dt

n

3512r+8j，eTt

-e0In-------e5t

s

+22dt

3a*-P°°[e(I)t+e，s)t]

62

=s(l-)+2dt

e-(i+s)He(j-s)3

ls-,ls

3nsie^^te^^t+003_H1---------------2.|----------------2

-p~---------1--------

=s(l-e)+2(j-s-(j+s))?=；(­)+£(j+sj-s)

(Res>0)

s5

三e—%三e-?—e-?

=s(l-)+2(j+sj-s)=s(l-)-s2+l

求以下函数的拉氏变换:

sin-|t|

⑴、2;⑷、

,.t『+8•tir+8

,、Lsin--.Ism-e-JI(—e(九

解⑴[r2]=J02dt=2j0I+e

1112

s

=2j4](Res>0)=4s2+1

r+OO+8「+8

8tdt』te-st_e京e-st

⑷'[叫Jol&e-dt=s[t00dt]

JCe-dt(Res>0)

求以下函数的拉氏变换:

2t

2cosat

⑴、t+3t+2；(3h(t—1)e；⑸、t

2^3^2

L(严)JU-/-/t2.2t+2

解(1)由^=m+吸L[J=$有LJ十"十=S34-S3+S

2221S2-4S+5

⑶”[(t-1)%/产a-2te+e]=(ST)2—(s-1)2+17=

(s-1)3

（5）由微积分性质有:

s2-a2

rcosat-,—trcosat]%=((s2+a2)2)-(22)2

[t]=([S+a

利用拉氏变换的性质，计算L[f⑴]

,、r,»e-3tsin2t..匹、fe-3tsin2tdt

(1)、f(t)=t；(2)、f(t)=tJ°

-3t2

LeG>=22

解⑴[sin2t]=(S+3)Z+32_(S+3)+4

-2[2(s+3)l“.

d2-------------——4(s+3)

1e2

[t3tsm2t]=—[(S+3)2+4]=《+3)2+4]2=&+3)2+41

3t

⑵L：^e-sin2tdt：Jl5飞吟

2(3s2+12s+13)

3t2

LCt^e-Sin2tdt]=-s[(sJ)2+4][(s+3)^+4J

利用拉氏变换性质，计算“T[F(S)]：

F(s)In——F(s)m.J

F(s)In—匚'rF(s)n

解⑵'=ST,令L[‘勺=f(t)

211

FYs)——------------—fe-t—e1—LL

=s2-l=s+lS-1=()=(tf(t))=(-tf(t)),故

•-1\2sht

：r/(S)]=他)=丁

1一?______1一