2022年中考数学复习：猜想证明综合题

2022年中考数学复习：猜想证明综合题

1.(1)如图1,若AABC是直角三角形，4AC=9O。，点。是BC的中点，延长49到点E,使

DE=AD,连接CE,可以得到丝AECD,求证：AACE是直角三角形；

(2)如图2,AABC是直角三角形，ABAC=90°,。是斜边8c的中点，E、尸分别是AB、AC边上的

点，且OE1O凡试说明BE+C尸=£尸；

(3)如图3,在正方形ABQ9中，E为AB边的中点，G、P分别为A。，8C边上的点，若AG=3,

BF=4,NGEF=90°,求GF的长.

2.在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点0为矩形ABCD对角线的交点，点P为AD边上任意一点.

(1)如图1,连接P0并延长，与BC边交于点Q.求证：AP=CQ；

(2)如图2,连接BP、DQ,将AABP与4CDQ分别沿BP与DQ翻折，点A与点C分别落在矩形ABCD内的

点A'、C'处，连接PA'、QC',试求证:四边形PA'QC'是平行四边形；

(3)在(2)的条件下，请直接写出：当点A，、C'同时落在矩形ABCD的对角线上时A'C’的长.

3.如图1,在平面直角坐标系中，线段A3的两个端点分别为40,2),B(-l,0),将线段AB向右平移3个

单位长度，得到线段CD,连接AO

(1)直接写出点C、点。的坐标

⑵如图2,延长。C交y轴于点E,点尸是线段0E上的一动点，连接5尸、CP,猜想N4BP、/BPC、

ZECP之间的数量关系，并说明理由

(3)在*轴上是否存在点Q,使AQBO的面积与四边形A8C。的面积相等，若存在，求出。的坐标，若不

存在，请说明理由

4.如图所示，在四边形力6切中，£是比的中点,厂是线段应上一点(不与点〃重合)，AB//DE,

AE//DC.

(1)如图1,当点尸与£重合时，求证：四边形力物是平行四边形；

(2)如图2,当点尸不与6重合时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由.

(3)如图3,当/比次90°,且。阳人恰好运动到庞的中点时，直接写出血与小的数量关系.

5.现有一副三角板，如图①中，/B=90°,NA=30°；图②中，ZD=90°,/F=45°；图③中，将

△DEF的直角边DE与AABC的斜边AC重合在一起，并将尸沿AC方向移动(移动开始时点D与点A重

合).

(1)△。所在移动的过程中，若D、E两点始终在AC边上，

①F、C两点间的距离逐渐；连接FC,/FCE的度数逐渐.(填“不变”、“变大”或“变

小”）

②NFCE与/CFE度数之和是否为定值，请加以说明；

（2）△£>£/在移动的过程中，如果D、E两点在AC的延长线上，那么NFCE与NCFE之间又有怎样的数量

关系，请直接写出结论；

（3）能否将ADEF移动至某位置，使F、C的连线与BC垂直？求出NCFE的度数.

6.如图，四边形力是边长为10的菱形，龙，/〃于点£,4后6,且缈交对角线〃1于八连接DF,点尸

是〃C上一点，BP交AC于■

(1)求证：XABF^XADF；

CM

(2)如图1,若一为切中点，求注的值;

Mb

(3)如图2,若S4BFQS丛CPM,求.PC,并直接判断外与或是否垂直（不必说明理由）.

7.如图1,AABC为等腰直角三角形，ZACB=90°,尸是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合）,

以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF,连接8尸、AD.

（1）①猜想图1中线段即、AO的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论;

②将图1中的正方形CDEF,绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度。，得到如图2、图3的

情形.图2中BF交AC于点”，交AO于点0,请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明

你的判断.

(2)将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC,ZACB=90°,正方形8E尸改为矩形

3

CDEF,如图4,且AC=4,BC=3,CD=,CF=\,BF交AC于点H,交AO于点0,连接80、

4

AF,求助厅+人尸的值.

8.如图，在菱形ABCD中，ZABC=120°,AB=4g,E为对角线AC上的动点(点E不与A,C重合)，连

接BE,将射线EB绕点E逆时针旋转120°后交射线AD于点F.

(1)如图1,当AE=AF时,求NAEB的度数;

(2)如图2,分别过点B,F作EF,BE的平行线，且两直线相交于点G.

①试探究四边形BGFE的形状，并求出四边形BGFE的周长的最小值；

②连接AG,设CE=x,AG=y,请直接写出y与x之间满足的关系式，不必写出求解过程.

9.如图，在AABC中，ZABC=60°，点D,E分别为AB,BC上一点，BD=BE,连接DE,DC,AC=CD.

(1)如图1,若AC=3ji6,DE=2右，求EC的长；

(2)如图2,连接AE交DC于点F,点M为EC上一点，连接AM交DC于点N,若AE=AM,求证：2DE=

MC；

(3)在(2)的条件下，若NACB=45°,直接写出线段AD,MC,AC的等量关系.

10.如图，四边形ABCD中，AD〃BC,ZBDC=ZBCD,DE_LDC交AB于E.

(1)求证：DE平分/ADB；

(2)若/ABD的平分线与CD的延长线交于F,设NF=a.

①若a=50°,求/A的值；

②若试确定a的取值范围.

11.【了解概念】

有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线.

【理解运用】

(1)如图①，对余四边形松力中，AB=5,BC=6,CD=4,连接然.若求sin/。〃的值；

(2)如图②，凸四边形被力中，AD=BD,ADVBD,当2。＞'+0="'时，判断四边形加。是否为对余四

边形.证明你的结论；

【拓展提升】

(3)在平面直角坐标系中，点/(-1,0),B(3,0),(7(1,2),四边形力及力是对余四边形，点£在对

余线切上，且位于△49C内部，+N/a：设寸=u,点〃的纵坐标为3请直接写出u关于

BE

力的函数解析式.

12.如图，矩形0WC的顶点A、C分别在X轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为(15,21),一次函数

3

y=-?+15的图象与边OC、AB分别交于。、E两点，点M是线段OE上的一个动点.

(1)求证：OD=BE；

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(2)连结。用，若三角形OOW的面积为彳，求点M的坐标；

2

(3)在第(2)问的基础上，设点P是x轴上一动点，点。是平面内的一点，以。、知、P、Q为顶点的四边

形是菱形，直接写出点。的坐标.

13.在平面直角坐标系中，A(6,a),B(b,0),M(0,c),P点为y轴上一动点，且

(/7-2)2+|a-6|+Vc^6=0.

(1)求点A、B、M的坐标；

(2)当P点在线段OM上运动时，试问是否存在一个点P使S△晦=13,若存在，请求出P点的坐标与AB

的长度；若不存在，请说明理由.

(3)不论P点运动到直线0M上的任何位置(不包括点0、M),ZPAM>NAPB、NPB0三者之间是否都存

在某种固定的数量关系，如果有，请利用所学知识找出并证明；如果没有，请说明理由.

14.在AABC中，=4c=a,点p为线段C4延长线上一动点，连接尸8,将线段尸8绕点P逆时

针旋转，旋转角为a,得到线段PO,连接08,。。.

(1)如图，当a=60。时，

①求证：PA=DC：

②求NOCP的度数：

(2)如图2,当a=120。时，请直接写出和。C的数量关系为；

(3)当a=120。时，若AB=6,8P=JJT时，请直接写出点。到CP的距离为

15.如图1,在等腰三角形A8C中，ZA=\20°,AB=AC,^D,E分别在边AB、AC上，AO=AE,连接

BE,点M、N、P分别为DE、BE、8c的中点.

(1)观察猜想

图1中，线段MW、NP的数量关系是___,ZMZVP的大小为:

(2)探究证明

把AADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MHBD、CE,判断△M/VP的形状，并说明理

由；

(3)拓展延伸

把AAOE绕点A在平面内自由旋转，若4)=1,A8=3,请求出△MVP面积的最大值.

16.在平面直角坐标系中，点A(-5,0),5(0,5),点C为X轴正半轴上一动点，过点/作仞J_BC交y轴

于点E.

(1)如图①，若点。的坐标为(3,0),试求点的坐标；

(2)如图②，若点。在x轴正半轴上运动，且OC<5,其它条件不变，连接〃0,求证：0。平分NADC

(3)若点。在A■轴正半轴上运动，当2X3=2/94。时，试探索线段/〃、0C,〃。的数量关系，并证明.

17.已知：在中45=AC,点〃为3C边的中点，点厂是AB边上一点，点少在线段OF的延长线

上，ZBAE=ZBDF，点〃在线段。尸上，ZABE=ZDBM.

(1)如图1,当NABC=45。时，求证：AE=^MD;

(2)如图2,当NABC=60。时，则线段AE、之间的数量关系为：.

(3)在(2)的条件下延长到R使MP=BM,连接CP,若AB=1,AE=2五,求8P值.

18.综合与实践：

问题情境：在数学课上，以“等腰直角三角形为主体，以点的对称为基础，探究线段间的变化关系”.

如图1,在AABC中，ZACB=90°,AC=3C,点E为N4cB的角平分线8上一动点但不与点C重合，

作点E关于直线8c的对称点为尸，连接AE并延长交C8延长线于点H,连接阳并延长交直线4,于点

G.

探究实践：

(1)勤奋小组的同学发现越=班\请写出证明；

探究发现：

(2)智慧小组在勤奋小组的基础上继续探究，发现线段尸G,EG与CE存在数量关系，请写出他们的发

现并证明；

探究拓展：

(3)如图2,奇异小组的同学在前两个小组探究的基础上，连接GC,得到三条线段GE,GC与G厂存在

一定的数量关系，请直接写出.

9.如图1,已知/ACB=