第3章 勾股定理小结与思考 苏科版八年级数学上册课件

勾股定理及其应用（2）【典型例题】

例1

如图，已知：在Rt△ABC中，两直角边AC、BC的长分别为6和8，现将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．

解：如图，Rt△ABC中，AC=6，BC=8，由勾股定理得AB=10．由折叠性质可得AE=AC=6，DE=DC，∠AED=∠C=90°，则BE=4，∠BED=90°．设DC=DE=x，则BD=8-x．在Rt△BDE中，由勾股定理得x2+42=(8-x)2，解得x=3．即CD=3．

变式1已知：如图，在Rt△ABC中，两直角边AC、BC的长分别为6和8，现将△ABC折叠，使点B与A重合，折痕为DE，求CD的长．解：如图，设CD=x，

则由折叠性质可得AD=BD=8-x．在Rt△ACD中，由勾股定理得x2+62=(8-x)2，解得x=．即CD=．

变式2已知：如图，在Rt△ABC中，两直角边AC、BC的长分别为6和8，现将△ABC折叠，使A点与BC的中点F重合，折痕为DE，求CD的长．解：设CD=x，

由折叠的性质可得DF=AD=6-x．∵F是BC的中点，∴CF=4．在Rt△CDF中，x2+42=(6-x)

2，解得x=．即CD=．

【题后小结】

在直角三角形中：1、如果“已知a，b或a，c或b，c，求c或b或a”问题，就可以直接“运用勾股定理计算”求出第三边；2、如果“已知a，c±b或b，c±a，求b和c”问题，我们可以通过“设未知数，运用勾股定理列方程”来解决．

【典型例题】

例2

如图，在长方形ABCD中，AB=8，BC=10，将长方形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，求CE的长．

解：∵四边形ABCD为长方形，∴AD=BC=10，CD=AB=8，∠B=∠C=90°．由折叠性质得：AF=AD=10，EF=DE．Rt△ABF中，由勾股定理得：BF2=102-82=36，∴BF=6，CF=10-6=4．设CE=x，则EF=ED=8-x．在Rt△EFC中，EF2=FC2+EC2，即(8-x)2=42+x2．解得：x=3．即CE=3

．

变式1如图，在长方形ABCD中，AB=8，BC=10，将长方形沿AC折叠，使点D落在点D′，求重叠部分△AEC的面积．解：如图，由题意得∠1=∠2=∠3，所以EA=EC．设EA=EC=x，则BE=10-x．在Rt△ABE中，有(10-x)2+82=x2，解得x=．所以△AEC的面积为．

变式2如图，在长方形ABCD中，AB=8，BC=10，将长方形沿EF折叠，使点A与点C重合，求DF的长．解：设AE=x，由折叠性质可知EC=x，BE=10-x．在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即82+(10-x)2=x2，解得：x=．由折叠可知∠1=∠2．∵AD∥BC，∴∠2=∠3．∴∠1=∠3，即AE=AF=．故DF=10-=．

变式3如图，在长方形ABCD中，AB=8，BC=10，将长方形沿MN折叠，使点B落在CD边上的中点E处，求AM的长．解一：如图，连接ME．由折叠性质可知MF=MA，EF=AB=8．∵点E是CD的中点，∴DE=4．∴在Rt△EFM中，有MF2+EF2=ME2，在Rt△DEM中，有MD2+DE2=ME2，∴MF2+EF2=MD2+DE2．设AM=x，则DM=10-x，∴x2+82=(10-x)2+42．解得x=，即AM=．

变式3如图，在长方形ABCD中，AB=8，BC=10，将长方形沿MN折叠，使点B落在CD边上的中点E处，求AM的长．解二：如图，连接MB、ME．由折叠性质可知MB=ME．∵点E是CD的中点，∴DE=4．∴在Rt△ABM中，有AM2+AB2=BM2，在Rt△DEM中，有DM2+DE2=EM2，∴AM2+AB2=DM2+DE2．设AM=x，则DM=10-x，∴x2+82=(10-x)2+42．解得x=，即AM=．

【题后小结】解决这类折叠问题，首先抓住折叠变换是全等变换，折叠前后的对应边（角）大小不变；然后结合其他题设进行推理和转化；最后把所有条件集中到一个直角三角形中，用勾股定理列方程解得．

【典型例题】

例3

如图，在锐角△ABC中，已知：AB=13，BC=14，AC=15．求△ABC的面积．解：过点A作BC的高，交BC于点D，如图，设BD=x．则在Rt△ABD中，根据勾股定理有：AD2=132-x2；在Rt△ACD中，根据勾股定理有：AD2=152-(14-x)2．∴132-x2=152-(14-x)2，解得x=5．∴AD2=132-52=144，∴AD=12．故S△ABC=BC×AD=×14×12=84．变式1

如图，在钝角△ABC中，已知：BC=9，AB=10，AC=17．求△ABC的面积．解一：过点B作AC的高，交CA于点D，如图2，设AD=x．则在Rt△ABD中，根据勾股定理有：BD2=102-x2；在Rt△BCD中，根据勾股定理有：BD2=92-(17-x)2．∴102-x2=92-(17-x)2，解得x=．∴BD=．故S△ABC=AC×BD=×17×=36．变式1

如图，在钝角△ABC中，已知：BC=9，AB=10，AC=17．求△ABC的面积．解二：过点A作BC的高，交CB的延长线于点D，如图1，

设BD=x，则CD=x+9．在Rt△ABD中，根据勾股定理有：AD2=102-x2；在Rt△ACD中，根据勾股定理有：AD2=172-(x+9)2．∴102-x2=172-(x+9)2，解得x=6．∴AD=8．故S△ABC=BC×AD=×9×8=36．

变式2如图，在△ABC中，若AC=4，AB=5，BC=6，AD为高，AE为中线．求DE的长．解：设DE=x，则BD=3+x，CD=3-x．在Rt△ABD中，根据勾股定理有：AD2=52-(3+x)2；在Rt△ACD中，根据勾股定理有：AD2=42-(3-x)2．∴52-(3+x)2=42-(3-x)2．

解得x=