机电控制工程基础课件：控制系统的稳定性分析

控制系统的稳定性分析5.1稳定性的基本概念5.2劳斯稳定判据5.3奈奎斯特稳定判据5.4对数稳定判据习题

5.1稳定性的基本概念

5.1.1稳定性的定义如果系统在扰动作用下偏离了原来的平衡状态,当扰动消失后,系统能够以足够的准确度恢复到原来的平衡状态,则系统是稳定的;否则,系统就不稳定。稳定性是系统去掉扰动以后自身的一种恢复能力,所以是系统的一种固有特性。这种固有的稳定性只取决于系统的结构参数而与初始条件及外部作用无关。

下面通过图5－1来直观地描述稳定的概念。图5－1中小球处于一种平衡状态,此时,若小球受到外界扰动而分别运动到图中虚线小球的位置,当外力去掉后,在自身重力和惯性的作用下,图5－1(a)中的小球经过几次反复振荡后,会回到原来的平衡位置,我们称这种小球的运动是稳定的。而图5－1(b)中的小球在外力去掉后,无论经过多长时间都不会回到原来的平衡位置,显然这种小球的运动是不稳定的。图5－1稳定性定义示意图

5.1.2系统稳定的基本条件

脉冲信号可看做一种典型的扰动信号。根据稳定的定义,若系统的脉冲响应收敛,即

则系统是稳定的。

设系统的闭环传递函数为

若闭环极点为互不相同的单根,则脉冲响应的拉氏变换为

式(5－1)表明,所有特征根均具有负的实部是系统稳定的必要条件。同时可确定,如果系统的所有特征根均具有负的实部,则c(t)收敛且稳态值为零。所以系统稳定的充分必

要条件是系统闭环特征方程的所有根都具有负的实部,或者说所有闭环特征根均位于左半复平面。这个结论非常重要,所有讨论线性化系统的稳定判据,都是从这个结论出发的。

若有一个闭环传递函数的极点落在右半复平面,则线性系统不稳定。若闭环传递函数的极点落在虚轴上,则系统处于临界稳定状态,脉冲响应呈现等幅振荡。系统的脉冲响应曲线

如图5－2所示。图5－2系统的脉冲响应曲线

显然,线性系统的稳定性与闭环传递函数的零点无关。判定系统稳定性有四种方法:

(1)直接对线性系统的特征方程求解。

(2)根轨迹法。根轨迹法是一种图解方法,使用起来十分方便。

(3)劳斯稳定判据。劳斯稳定判据是线性系统的代数判据。

(4)奈奎斯特稳定判据。奈奎斯特稳定判据是频域稳定判据。

(5)对数稳定判据。将奈氏稳定判据引申到Bode图上,以Bode图的形式表现出来。

5.2劳斯稳定判据

5.2.1判定系统稳定的必要条件设系统特征方程式为

系统特征方程的各项系数都存在,并且都是正数(如果都是负数,可在等号两端乘以-1,使其变成正数),这只是保证系统稳定的必要条件,而不是充分条件。满足必要条件的一、二阶系统一定稳定,但是满足必要条件的高阶系统未必稳定,因此高阶系统的稳定性还需要用劳斯稳定判据来判断。

5.2.2劳斯稳定判据

劳斯稳定判据为数据表的形式,见表5－1。表5－1称为劳斯阵列或劳斯表。表中前两行由特征方程的系数直接构成,其他各行的数值根据前两行逐行计算。劳斯表各行元素的数值计算方法如下:

劳斯判据:系统稳定的充要条件是劳斯表中第一列元素都大于0,否则系统不稳定。当系统不稳定时,第一列元素符号(正负)改变的次数,等于系统特征方程中正实部根的个数。

5.2.3一阶至四阶系统的劳斯稳定判定

1.一阶系统

根据一阶系统的特征方程

可得一阶系统的劳斯表为

根据劳斯稳定判据,当a0>0,a1>0时,系统是稳定的。

2.二阶系统

根据二阶系统的特征方程

可得二阶系统的劳斯表为

根据劳斯稳定判据,当a0>0,a1>0,a2>0时,系统是稳定的。

3.三阶系统

根据三阶系统的特征方程

可得三阶系统的劳斯表为

根据劳斯稳定判据,当a0>0,a2>0,a3>0且a1a2>a0a3时,系统是稳定的。

4.四阶系统

根据四阶系统的特征方程

可得四阶系统的劳斯表为

5.2.4劳斯稳定判据的特殊情况

应用劳斯稳定判据分析线性系统的稳定性,有时会遇到以下两种特殊情况,使得劳斯表中的计算无法进行到底,因此需要进行相应的数学处理,处理的原则是不影响劳斯稳定

判据的判断结果。

(1)劳斯表中某行的第1列元素为零,而该行其余各元素不为零,或不全为零。此时,计算劳斯表下一行的第1列元素时,将出现无穷大,从而使劳斯稳定判据的运用失效。

由劳斯表可知,第3行(s2行)第1列元素为零,其余元素不全为零。此时,下一行第1列元素为无穷大。为了克服这一困难,在此用一个无限小的正数ε来代替第3行第1列为零的元素,从而继续列写劳斯表,即

(2)劳斯表中出现全零行。这种情况表明特征方程中存在一些绝对值相同但符号相异的特征根。如两个大小相等但符号相反的实根或一对共轭纯虚根,或者是对称于实轴的一

对共轭复根。

当劳斯表中出现全零行时,可用全零行上一行的系数构造一个辅助方程F(s)=0,并将辅助方程对复变量s求导,用所得导数方程的系数取代全零行的元素,便可按劳斯稳定判据的要求继续进行运算,直到得出完整的劳斯计算表。辅助方程的次数通常为偶数,它表明数值相同但符号相反的根数。所有那些数值相同但符号相异的根,均可由辅助方程求得。

用导数方程的系数取代全零行相应的元素,继续运用劳斯表的计算规则进行运算,可得

5.2.5稳定裕度

劳斯稳定判据解决的是系统绝对稳定性的问题。它除了可以用来判定系统的稳定性外,还可以确定使系统稳定的参数范围。

在系统分析、设计中,往往还希望知道系统的相对稳定程度,即一个稳定的控制系统距临界稳定状态还有多大的裕度,该相对稳定程度称为稳定裕度。在时域分析中,稳定裕度常用实部最大的特征根和虚轴之间的距离来描述。

利用劳斯判据确定系统稳定裕度σ的方法为:

令s=z-σ,代入原系统特征方程,得出以z为变量的方程,然后将劳斯稳定判据应用于新的方程。若新方程满足劳斯稳定判据,则系统的特征根都落在复平面中直线s=-σ的左半部分,即具有σ以上的稳定裕度。

列劳斯表得

第一列的元素符号改变了1次,表示原方程有1个根在垂线s=-1的右方。

5.3奈奎斯特稳定判据

线性定常系统在时域中由劳斯稳定判据可以分析闭环系统的稳定性。在频域中,最常用的是奈奎斯特稳定判据(简称奈氏判据),它利用开环频率特性来判断闭环系统的稳定性。

5.3.1辅助函数的构造

对于如图5－3所示的控制系统,若其开环传递函数为

则相应的闭环传递函数为图5－3控制系统结构图

综上所述,可以看出辅助函数F(s)具有以下特点:

(1)辅助函数F(s)是闭环特征多项式和开环特征多项式之比,其零点和极点分别为系统的闭环极点和开环极点。

(2)辅助函数F(s)的零点和极点的个数相同,都是n个。

(3)辅助函数F(s)与开环传递函数G(s)之间只相差一个常数1,故其几何意义为:F平面上的坐标原点就是G平面上的点(-1,j0),如图5－4所示。图5－4F平面与G平面的关系图

5.3.2辐角原理

1.开环系统稳定下的辐角原理

设系统的开环传递函数为

其特征方程可表示为如下形式:

式中,p1,p2,…,pn是特征方程的根,它可以是实数根,也可以是复数根。将方程中的因子s用jω取代后可得到特征函数D(jω):图5－5不同极点情况下的辐角原理

2.辅助函数F(jω)的辐角变化与闭环系统的稳定性关系

辅助函数的表达式为

结论:当系统开环稳定时,系统闭环稳定的充分必要条件是辅助函数的总辐角变化∠F(jω)=0;相反,如果当ω由0→∞时,辅助函数总辐角变化∠F(jω)≠0,则闭环系统

不稳定。

5.3.3奈奎斯特图判定法

1.奈奎斯特稳定判据描述之一

利用开环系统奈奎斯特图判定系统是否稳定的方法之一为:根据系统开环频率特性的奈奎斯特图形是否包围复平面上的(-1,j0)点来判别闭环系统的稳定性。如果开环系统是

稳定的,则闭环系统稳定的充分必要条件是开环传递函数的奈奎斯特图不包围(-1,j0)点,如图5－6(a)所示;如果图形包围了(-1,j0)点,则闭环系统不稳定,如图5－6(c)所示;如果图形正好经过(-1,j0)点,则闭环系统称为临界稳定系统,如图5－6(b)所示。图5－6奈奎斯特稳定判据

2.奈奎斯特稳定判据描述之二

利用开环系统奈奎斯特图判定系统是否稳定的方法之二为:根据系统开环奈奎斯特图形与单位圆和负实轴交点的位置来判别闭环系统的稳定性。如果系统开环稳定,则闭环稳

定的充要条件是:当ω由0→∞时,开环奈奎斯特图形先相交于单位圆(对应的频率为ωc),然后才与负实轴相交(对应的频率为ωg);相反,如果开环奈奎斯特图形先相交于负实轴(对应的频率为ωg),然后才与单位圆相交(对应的频率为ωc),则闭环系统不稳定。如图5－7所示,曲线1为稳定系统,曲线2为不稳定系统。图5－7依据奈氏图与单位圆及负实轴的关系判别系统是否稳定

3.奈奎斯特稳定判据说明

关于奈奎斯特稳定判据的两点说明如下:

(1)以上两种奈奎斯特稳定判据的描述都是在假设开环系统稳定的前提下,来判别闭环系统是否稳定的,那么对于开环不稳定的系统,闭环仍有可能稳定。此种情况下,闭环系统稳定的充分必要条件是:当ω由0→+∞变化时,开环频率特性G(jω)的奈奎斯特曲线逆时针包围点(-1,j0)的周数N,等于系统开环传递函数G(s)位于右半平面的极点数P。即当N=P时,闭环系统稳定;否则,闭环系统不稳定。

(2)当开环传递函数中包含积分环节时,开环系统的奈奎斯特图形是不封闭的。当传递函数中只包含一个积分环节时,奈氏图的起始点位于负虚轴的无穷远处;当包含两个积分环节时,起始点位于负实轴的无穷远处。为了判别图形是否包围(-1,j0)点,可以从正实轴到图形起始点间用一个R=∞的辅助图连接起来,从而产生一个封闭图形,如图5－8所示。然后根据图形是否包围了(-1,j0)点,对闭环系统的稳定性作出判定。图5－8包含积分环节的辅助的圆判定

5.3.4奈奎斯特判据举例

例5－5某系统的开环传递函数为

试用奈奎斯特稳定判据分析闭环系统的稳定性。

解由于开环特征方程的根均为负实数,故开环稳定,因为是0型系统,只包含两个惯性环节,如图5－9(a)所示,所以奈奎斯特图在第Ⅳ、Ⅲ象限,故图形不包含(-1,j0)点,则闭环系统稳定。事实上,从系统的开环频率特性可以看到,当ω由0→∞变化时,∠G(jω)=-arctanT1ω-arctanT2ω,相频在ω=∞时∠G(jω)=-180°,即曲线终止于第三象限,而到不了第二象限,因此与负实轴无交点。无论k取何值,系统始终稳定。图5－9多个惯性环节的奈奎斯特图

例5－6系统的开环传递函数为

其中,T1=0.1s,T2=0.05s,T3=0.01s。试求当k取多大值时,闭环系统稳定。

当T4取小值时,微分环节在高频时起作用,开环奈奎斯特图有可能包围(-1,如图5－10中曲线1所示;当T4取大值时,微分环节在低频时就开始起作用,开环奈奎斯特图有凹凸形状,曲线不包围(-1,j0)点,如图5－10中曲线2所示。

所以当T4取大值时,闭环系统稳定;当T4取小值时,闭环系统可能不稳定。j0)点,图5－10Ⅰ型系统稳定性分析图5－11Ⅱ型系统的稳定性分析

由以上例题的分析可以得到如下结论:

(1)开环系统中串联的积分环节越多,系统型次越高,则开环奈氏图就越容易包围(-1,j0)点,闭环系统就越不容易稳定。一般系统的型次不应超过Ⅱ型。

(2)微分环节的时间常数越大,则在低频时就开始影响奈氏图的轨迹形状,使系统越容易稳定;微分环节的时间常数越小,只在高频时对奈氏图轨迹起作用,这样对闭环系统的稳定性越是不利。

5.4对数稳定判据

控制系统的频率特性极坐标图与对数坐标图有着互相对应的关系。伯德稳定判据可以认为是奈奎斯特稳定判据的又一种描述方法。伯德判据是从系统开环伯德(Bode)图上对闭环系统的稳定性作出判别的,它在描述系统的相对稳定性与稳定储备这些概念时,更直观清晰。

5.4.1系统开环Bode图与开环奈氏图的对应关系

(5)奈氏图如果顺时针包围(-1,j0)点,则曲线先与负实轴相交于ωg点,然后才与单位圆相交于ωc点,即ωg<ωc。这就相当于Bode图中相频曲线先与-180°线相交于ωg点,

然后幅频特性曲线才与零分贝线相交于ωc点,如图5－12(a)所示。如果奈氏图不包含(-1,j0)点,则曲线先与单位圆相交于ωc,然后才与负实轴相交于ωg,即ωc<ωg。这就相当于对数Bode图中幅频曲线先在ωc点处与零分贝线相交,然后相频曲线才于ωg点处与-180°线相交,如图5－12(b)所示。图5－12Bode图稳定判据

5.4.2对数Bode图稳定判据的描述

当系统开环稳定时,在开环对数Bode图对应的幅频和相频特性曲线中,由幅频特性曲线过零分贝线对应频率ωc处,向下做平行于虚轴的虚线,与对数相频特性有一交点,若交点对应的相位为φ(ωc)且-180°<φ(ωc)<0°,即闭环系统满足相频条件,则相位裕度条件满足;再由相频特性曲线与-180°线的交点向上做平行于虚轴的线,与对数幅频特性曲

线相交,对应交点的幅值为L(ωg),若L(ωg)<0dB,则说明幅值裕度条件满足,见图5－12(b),可以看出ωc<ωg,这时闭环系统是稳定的。

若φ(ωc)<-180°,即闭环系统不满足相频条件,相位裕度不满足稳定要求;若L(ωg)>0dB,则说明幅值裕度也不满足要

求,见图5－12(a),可以看出,ωg<ωc,这时闭环系统是不稳定的。对数Bode图稳定判据的判别与奈奎斯特稳定判据中利用单位圆与奈氏图相角来判别的结论是一致的。

5.4.3系统的相对稳定性———稳定裕度的计算

奈奎斯特稳定判据是基于G(jω)开环奈氏曲线对点(-1,

j0)的包围情况来定义的。实际上,如果奈氏曲线不包围(-1,

j0)点,则系统稳定,且曲线越远离该点,系统的稳定程度越好。因此用G(jω)曲线对点(-1,j0)的接近程度来表示系统的相对稳定性。通常,这种接近程度是以相位裕度γ和幅值裕度Kg来表示的。

1.相位裕度γ图5－13相位裕度和幅值裕度的定义图5－14稳定裕度在Bode图上的表示

2.幅值裕度

G(jω)的奈氏曲线与负实轴交点处的频率ωg称为相角交界频率,此时幅相特性曲线的幅值为A(ωg),如图5－13所示,其值的倒数定义为幅值裕度Kg

在对数坐标图上,有

例5－10某单位反馈闭环系统具有开环传递函数

试分析当K值分别取10和100时系统的相对稳定性。

解当K=10、K=100时,分别绘制系统Bode图,如图5－15(a)、(b)所示。比较图5－15(a)、(b)可知,K=100时的幅频图比K=10时的幅频图从坐标上上移了20dB,二

者形状相同,而它们的相频图则完全一致。由图可见,当K=10时,系统的相位裕度γ=21°,幅值裕度20lgKg=8dB。

当K=100时,由于增益交界频率的右移导致系统的相位裕度γ=-30°,幅值裕度20lgKg=-12dB。

由此可知,随着增益K的提高,闭环系统逐渐地由稳定系统变为不稳定系统。

图5－15增益K对系统稳定性的影响

例5－11设系统的开环传递函数为

试分析当阻尼系数ζ很小时(ζ=0)闭环系统的相对稳定性。

解由于ζ很小,系统将在固有频率附近发生幅值共振,其Bode图形状如图5－16所示。由图可知,系统的相位裕度γ很大,而幅值裕度Kg却很小,这是由于当ζ很小时二阶振荡环节的幅频特性峰值很高所致。所以如果仅以相位裕度γ来评定该系统的相对稳定性,将会得出系统稳定程度高的结论。而实际上由于ζ很小,系统的稳定程度并不高。因此,同时依据相位裕度γ和幅值裕度K