第4章知识资料控制系统的频域特性

第四章控制系统的频率特性频率特性及其表示法极坐标图对数坐标图由频率特性曲线求传递函数由单位脉冲响应求传递函数对数幅相图控制系统的闭环频率响应时域（分析方法）线性定常系统

常微分方程传递函数

复频域（分析方法）频率特性

频域（分析方法）系统常用的数学模型频率特性的特点（1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。（2）由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。（3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。4.1.1频率特性的基本概念

4.1频率特性

频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的稳态响应特性。

定义：在正弦信号作用下，系统的输出稳态分量与输入量复数之比。频率响应注意：稳态输出量与输入量的频率相同，仅振幅和相位不同。00.51.01.52.02.53.0-5-4-3-2-101234500.51.01.52.02.53.0-2.0-1.5-1.0-0.500.51.01.52.0

0123456-8-6-4-20246u(t)y(t)yss(t)红—输入，蓝—全响应，黑—稳态响应

0123456-2-1.5-1-0.500.511.52u(t)y(t)红—输入，蓝—全响应，黑—稳态响应yss(t)

RCi

(t)ui(t)u0(t)例：如图所示的RC电路数学本质稳态分量：RC电路的传递函数：当S=jω时式中：式中:X—输入信号的振幅;

—输入信号的角频率。一般线性定常系统,设输入信号为正弦函数,即:x(t)=Xsin

t(4.1)其拉氏变换为：(4.2)一般情况下,传递函数可以写成如下形式:X(s)Y(s)G(s)(4.3)系统的输出为：(4.4)(4.6)稳定系统

(4.5)待定系数

稳态输出(4.7)式中的待定系数A,可按求留数的方法求得：(4.8)(4.9)G(j

)是一个复数,它可以表示为:(4.10)(4.11)式中:将式(4.8)～(4.11)代入式(4.7)中,有:(4.12)式中:—稳态输出的幅值,是

的函数。

线性定常系统对正弦输入信号Xsint的稳态输出Ysin(t+

),仍是一个正弦信号。其特点是：①.频率与输入信号相同;③.相移为

(ω)=∠G(j)。②.振幅Y为输入振幅X的倍;

振幅Y和相移

都是输入信号频率

的函数,对于确定的

值来说,振幅Y和相移

都将是常量.b)向量图XY

ReIm0a)函数图X

Yx(t)ys(t)ys(t)

tx(t)0输入、输出关系用函数图和向量图表示如下:频率特性的定义—

幅频特性—

相频特性(4.13)—频率特性(4.14)

4.1.2频率特性的求取方法

1）根据定义求取

已知系统的微分方程，把正弦输入函数代入，求出其稳态解，取输出稳态分量与输入正弦量的复数比即可得到。

2）根据传递函数求取

已知系统的传递函数，即用s=j

代入系统的传递函数，即可得到。

3）通过实验的方法直接测得

(4.15)

频率特性等于系统输出和输入的傅氏变换之比。1）与传递函数一样，频率特性也是一种数学模型。它描述了系统的内在特性，与外界因素无关。当系统结构参数给定，则频率特性也完全确定。4.1.3频率特性的性质2）频率特性是一种稳态响应。系统稳定的前提下求得的，不稳定系统则无法直接观察到稳态响应。从理论上讲，系统动态过程的稳态分量总可以分离出来，而且其规律并不依赖于系统的稳定性。因此，我们仍可以用频率特性来分析系统的稳定性、动态性能、稳态性能等。3）系统的稳态输出量与输入量具有相同的频率。

当频率

改变，则输出、输入量的幅值之比A（

）和相位移

（

）随之改变。这是系统中的储能元件引起的。4.1.4系统模型之间的关系线性系统微分方程频率特性传递函数4.1.5频率特性的表示法1）数学式表示法

（直角坐标表示法）

（极坐标表示法）

（指数坐标表示法）2）频率特性的图示方法对数频率特性(Bode图)频率对数分度幅值/相角线性分度幅相频率特性—极坐标图(Nyquist图)对数幅相频率特性(Nichols图)以频率为参变量表示对数幅值和相角关系：L(ω)—

(ω)4.2极坐标图(Nyquist图)奈奎斯特（Nyquist）图[极坐标图]

当ω从0→∞变化时，根据频率特性的极坐标式G(jω)=A(ω)∠φ(ω)，可以算出每一个ω值所对应的幅值A(ω)和φ(ω)，将它们画在极坐标平面图上，就得到了频率特性的极坐标图。

RC网络的幅相特性曲线4.2.1典型环节的极坐标图

如果系统如右图所示,则系统开环传递函数G(s)H(s)的一般表达式为典型系统结构图－G(s)H(s)将其分子、分母分解因式，则常见有以下七种典型环节：①比例环节④惯性环节⑤一阶微分环节②积分环节③微分环节⑥

振荡环节⑦二阶微分环节1）比例环节幅频特性相频特性传递函数频率特性实频特性虚频特性ReIm0比例环节的极坐标图

所有元部件和系统都包含这种环节，如减速器、放大器、液压放大器等。2）积分环节幅频特性相频特性传递函数频率特性实频特性虚频特性积分环节的极坐标图积分环节的极坐标图为负虚轴。频率ω从0→∞特性曲线由虚轴的－∞趋向原点。ReIm03）微分环节幅频特性相频特性传递函数频率特性实频特性虚频特性微分环节的极坐标图Re微分环节的极坐标图为正虚轴。频率ω从0→∞特性曲线由虚轴的原点趋向+∞

。Im04）惯性环节幅频特性相频特性传递函数频率特性实频特性虚频特性惯性环节的极坐标图极坐标图是一个圆，对称于实轴。证明如下：整理得：下半个圆对应于正频率部分，而上半个圆对应于负频率部分。5）一阶微分环节幅频特性相频特性传递函数频率特性实频特性虚频特性一阶微分环节的极坐标图ReIm16）二阶振荡环节传递函数频率特性幅频特性相频特性实频特性虚频特性由图可见无论是欠阻尼还是过阻尼系统，其图形的基本形状是相同的。当过阻尼时，阻尼系数越大其图形越接近圆。7）二阶微分环节幅频特性相频特性传递函数频率特性实频特性虚频特性8）延迟环节幅频特性相频特性传递函数频率特性1极坐标图是一个圆心在原点，半径为1的圆。4.2.2系统开环频率特性

一般系统的开环传递函数及频率特性为：当λ=0时，称该系统为0型系统；当λ=1时，称该系统为Ⅰ型系统；当λ=2时，称该系统为Ⅱ型系统；……

系统开环频率特性极坐标图（Nyquist图）

由上式可知系统开环的频率特性是由典型环节的频率特性组合而成，其极坐标图可由下面的方法绘制。幅频特性=组成系统的各典型环节的幅频特性之乘积。

相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。将开环系统的频率特性写成或 的形式，根据不同的算出或可在复平面上得到不同的点并连之为曲线（手工画法）。

(1)求A(0)、

(0)；A(∞)、

(∞)；

(2)补充必要的特征点(如与坐标轴的交点)，根据A(ω)、

(ω)

的变化趋势，画出Nyquist图的大致形状。

[绘制方法]：使用MATLAB工具绘制。sys=tf(num,den)nyquist(sys)例

设开环系统的频率特性为：试列出实频和虚频特性的表达式。当绘制奈氏图。解：当时找出几个特殊点（如，与实、虚轴的交点等），可大致勾勒出奈氏图。为了相对准确，可以再算几个点。0-1.72-5.7700-0.7903.8510.80.20相角：-180-114.62-90-56.3100.80.20用上述信息可以大致勾勒出奈氏图。下图是用Matlab工具绘制的奈氏图。[具有积分环节的系统的频率特性的特点]：频率特性可表示为：其相角为：当时，当时，

显然，低频段的频率特性与系统型数有关，高频段的频率特性与n-m有关。4.3对数频率特性—(Bode图)对数频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包括对数幅频和对数相频两条曲线。频率特性：对数坐标刻度图(dB)octdec只标注ω的自然数值。用L(ω)简记对数幅频特性，也称L(ω)为增益。用

(ω)简记对数相频特性。关于Bode图的几点说明ω=0不可能在横坐标上表示出来；横坐标上表示的最低频率由所感兴趣的频率范围确定；工程中采用对数坐标图的优点

可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性；可以将乘法运算转化为加法运算；

所有典型环节的频率特性可以用分段直线（渐进线）近似表示；

将实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法绘制频率特性曲线，可以方便地确定频率特性的函数表达式。

传递函数频率特性对数幅频特性对数相频特性比例环节的Bode图04.3.1典型环节的频率特性

1）比例环节对数幅频特性对数相频特性传递函数频率特性当有两个积分环节时可见斜率为－40/dec

积分环节的Bode图2）积分环节对数幅频特性对数相频特性微分环节的Bode图传递函数频率特性3）微分环节积分与微分环节对数幅频特性（Bode图）的对比微分环节的Bode图积分环节的Bode图传递函数传递函数对数幅频特性对数相频特性传递函数频率特性4）惯性环节幅频特性相频特性低频段：当时

低频段近似为0dB的水平线，称为低频渐近线。高频段：当时转折频率：当时

高频段近似斜率为-20dB/dec的直线，称为高频渐近线。对数幅频特性对数相频特性Bode图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）当时，误差为：当时，误差为：最大误差发生在处，为ωT0.10.20.512510L(ω)(dB)-0.04-0.20-1.00-3.00-7.00-14.2-20.04渐近线(dB)0000-6.00-14.0-20.0误差(dB)-0.04-0.20-1.00-3.00-1.00-0.2-0.04相频特性的说明：

作图时先用计算器计算几个特殊点：由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于(w0,-45°)点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。wT0.010.020.050.10.20.30.50.71.0j(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45wT2.03.04.05.07.0102050100j(w)-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.45）一阶微分环节幅频特性相频特性传递函数频率特性对数幅频特性对数相频特性twwj1tg)(-=低频段：当时

低频段近似为0dB的水平线，称为低频渐近线。高频段：当时

高频段近似斜率为-20dB/dec的直线，称为高频渐近线。转折频率：当时一阶微分环节的Bode图对数幅频特性对数相频特性一阶微分环节惯性环节惯性环节与一阶微分环节（Bode图）的对比6）二阶振荡环节幅频特性相频特性传递函数频率特性对数幅频特性对数相频特性对数幅频特性对数相频特性低频段：当时低频段近似为0dB的水平线，称为低频渐近线。高频段：当时高频段近似斜率为-40dB/dec的直线，称为高频渐近线。转折频率：在时,即ω=1/T谐振频率为0.1/T1/T10/T-40-30-20-1001020-1800-1600-1400-1200-1000-800-600-400-20000二阶振荡环节的对数频率特性0.1/T1/T10/T-6-4-202468101214dB二阶振荡环节以渐近线表示时引起的对数幅值误差7）二阶微分环节幅频特性相频特性传递函数频率特性对数幅频特性对数相频特性对数幅频特性对数相频特性低频段：当时低频段近似为0dB的水平线，称为低频渐近线。高频段：当时高频段近似斜率为-40dB/dec的直线，称为高频渐近线。转折频率：在

时,即ω=1/T-20-1001020304000200400600800100012001400160018000.1/T1/T10/T二阶微分环节的对数频率特性-20-1001020304000200400600800100012001400160018000.1/T1/T10/T二阶振荡环节与二阶微分环节Bode图的对比二阶振荡环节二阶微分环节0.1/T1/T10/T-40-30-20-1001020-1800-1600-1400-1200-1000-800-600-400-200008）延迟环节的频率特性幅频特性相频特性传递函数频率特性对数幅频特性对数相频特性二阶振荡环节二阶微分环节二阶微分环节二阶振荡环节4.3.2系统开环频率特性对数幅相频率特性（Bode图）

幅频率及相频率特性为：对数幅频率及对数相频率特性为：对数幅频特性=组成系统的各典型环节的对数幅频特性之代数和。相频特性=组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。且有：系统开环频率特性的伯德图步骤如下

(1)写出开环频率特性表达式，分析系统由哪些典型环节串联组成，并将这些典型环节的传递函数都化成标准形式(以时间常数形式)。

(2)绘制出各因子（典型环节）的对数幅频曲线的渐近线及相频特性曲线。(3)将对应频率下因子（典型环节）的对数幅频曲线的渐近线及相频特性曲线相加，即得出系统开环频率特性的（Bode图）。(4)如果需要，再按典型因子的误差曲线对相应的分段直线进行修正。[例]：开环系统传递函数为：[解]：该系统由四个典型环节组成。一个比例环节，一个积分环节两个惯性环节。手工将它们分别画在一张图上。然后，在图上相加。试画出该系统的波德图。实际上，画制Bode图不用如此麻烦。我们注意到：幅频曲线由折线（渐进线）组成，在转折频率处改变斜率。

确定和各转折频率，并将这些频率按小大顺序依次标注在频率轴上；步骤如下：

确定低频渐进线：因为由可推得低频渐进线，就是第一条折线，其斜率为要确定这条折线,还需确定该线所通过的一个点,有两种方法：因为当 时,有1）令即首段线（实际上是比例k

和积分的曲线），过点（1，20lgk）。2）令，有即对于0型系统，λ=0，首段线平行于横轴，距横轴20lgk；对于1型系统，λ

=1，首段线与零分贝线（横轴）交于ω=K；对于2型系统，λ

=2，首段线与零分贝线（横轴）交于ω=；

高频渐进线的斜率为：-20(n-m)dB/dec。相频特性还是需要点点相加，才可画出。遇到（一阶惯性）时，斜率下降-20dB/Dec;遇到（二阶振荡）时，斜率下降-40dB/Dec。画好低频渐进线后，从低频开始沿频率增大的方向，每遇到一个转折频率改变一次分段直线的斜率：遇到（一阶微分）时，斜率增加+20dB/Dec;遇到（二阶微分）时，斜率增加+40dB/Dec;[例]系统开环特性为：试画出波德图。2）低频渐进线：斜率为，过点（1，20）3）波德图如下：红线为渐进线，兰线为实际曲线。[例]已知试画波德图。[解]：1）2）低频渐进线斜率为，过（1，-60）点4）画出波德图如下页：3）高频渐进线斜率为

：红线为渐进线，兰线为实际曲线。[例]具有延迟环节的开环频率特性为：，试画出波德图。[解]：

可见，加入了延迟环节的系统其幅频特性不变，相位特性滞后了。4.3.3最小相位系统和非最小相位系统定义：若系统开环传递函数的极点和零点均在s复平面的左侧，同时无纯滞后环节的系统称为最小相位系统，相应的传递函数为最小相位传递函数。反之若传递函数的极点和(或)零点有在s复平面右侧的系统称为非最小相位系统，相应的传递函数为非最小相位传递函数。在最小相位系统中，具有相同幅频特性的系统（或环节）其相角（位）的变化范围最小，如上表示的。相角变化大于最小值的系统称为非最小相位系统。

最小相位系统的特征

a)

在n≥m且幅频特性相同的情况下，最小相位系统的相角变化范围最小。（这里n和m分别表示传递函数分母和分子多项式的阶次。）

c)

对数幅频特性与相频特性之间存在确定的对应关系。对于一个最小相位系统，我们若知道了其幅频特性，它的相频特性也就唯一地确定了。也就是说：只要知道其幅频特性，就能写出此最小相位系统所对应的传递函数，而无需再画出相频特性。

b)

当ω=∞时，其相角等于，对数幅频特性曲线的斜率为。有时用这一特性来判别该系统是否为最小相位系统。[例]有两个系统，频率特性分别为：转折频率都是：幅频特性相同，均为：相频特性不同，分别为：显然，满足的条件，是最小相位系统；而不满足的条件，是非最小相位系统。可以发现：在右半平面有一个零点。最小相位系统非最小相位系统该两个系统的波德图如下所示：例：有五个系统的传递函数如下：由图可知最小相位系统是指在具有相同幅频特性的一类系统中，当w从0变化至∞时，系统的相角变化范围最小，且变化的规律与幅频特性的斜率有关系(如j1(w))。而非最小相位系统的相角变化范围通常比前者大(如j2(w)、j3(w)、j5(w))；或者相角变化范围虽不大，但相角的变化趋势与幅频特性的变化趋势不一致(如j4(w))。

对于最小相位系统，幅值特性和相位特性之间具有唯一对应关系。这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的全部频率范围上给定，则相角曲线被唯一确定，反之亦然；但是这个结论对于非最小相位系统不成立。非最小相位系统情况可能发生在两种不同的条件下。一是当系统中包含一个或多个非最小相位环节；另一种情况可能发生在系统存在不稳定的内部小回路。一般来说，右半平面有零点时，其相位滞后更大，闭环系统更难稳定。因此，在实际系统中，应尽量避免出现非最小相位环节。例：已知系统开环传递函数为试绘出开环对数频率特性曲线。解：斜率为-20db/dec

由于，所以低频段的

渐近线为

因为系统是最小相位系统，所以其频率可以只绘幅频特性曲线。4.4由频率特性曲线求系统传递函数

传递函数的频域实验确定主要由一下两部分组成：a）频率响应的实验信号源对象记录仪器

由稳态的输入输出信号幅值比和相位差绘制出被测对象的对数频率特性曲线（Bode图），再得渐近对数幅频曲线。注意：求得的传递函数的对数相频曲线与实验曲线应基本一致，两条曲线在低频和高频段应严格相符。由Bode图求取传递函数的一般规则

①由低频段的斜率，推知所含积分环节的个数，由低频段在ω=1处的高度[或由低频段斜线（或其延长线）与零分贝线交点]来求得增益K。

b）传递函数的确定

②由低频→高频，斜率每增加一个+20dB/dec，即含一个比例微分环节；斜率每增加一个-20dB/dec，即含一个惯性环节；斜率每增加一个-40dB/dec，即含一个振荡环节，再由峰值偏离渐进线的偏差求得阻尼比ζ；斜率每增加一个+40dB/dec，即含一个二阶微分环节，同样由峰值偏离渐进线的偏差求得阻尼比ζ。例：已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示，试确定系统的传递函数，并写出系统的相频特性表达式。解：1）由于低频段斜率为-20dB/dec所以有一个积分环节

2）在ω=1处，L(ω)=15dB=20lgK，可得K=5.6

3）在ω=2处，斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec，故有惯性环节1/(s/2+1)

4）在ω=7处，斜率由-40dB/dec变为-20dB/dec，故有一阶微分环节(s/7+1)例：已知最小相位系统的渐近幅频特性如图所示,试确定系统的传递函数。解：1）由于低频段斜率为-40dB/dec所以有两个积分环节

3）在ω=30处，斜率由-20dB/dec变为-40dB/dec，故有惯性环节1/(s/30+1)

2）在ω=0.8处，斜率由-40dB/dec变为-20dB/dec，故有一阶微分环节(s/0.8+1)

4）在ω=50处，斜率由-40dB/dec变为-60dB/dec，故有惯性环节1/(s/50+1)根据Bode图所示,纵轴设在处,首段线与纵轴的50dB点相交,由

,

若将Bode图的首段线延长至与横轴相交,则交点应为

4.5由单位脉冲响应求系统传递函数

单位脉冲函数的傅里叶变换等于1，即对于说明中隐含着幅值相等的各种频率，如果对系统输入一个单位脉冲，则相当于用等单位强度的所有频率去激发系统。

当输入时，系统的传递函数等于其输出的傅里叶变换，即：由于傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上推出的,

4.6对数幅相频率特性(Nichols图)对数幅相频特性也称为尼柯尔斯图是将对数幅频特性和相频特性两条曲线合并成一条曲线。特点：

1）以频率

为参变量；