2023-2024学年昭通一中高二数学上学期期末考试卷附答案解析

-2024学年昭通一中高二数学上学期期末考试卷试卷满分150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（

）A． B．C． D．2．已知直线，则该直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．3．设抛物线：的焦点为，在上，，则的方程为（

）A． B． C． D．4．若，，，且三点共线，则(

)A．－2 B．5 C．10 D．125．若椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为5，则点到另外一个焦点的距离（

）A．6 B．7 C．8 D．96．设，，则以线段为直径的圆的方程是（

）A． B．C． D．7．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（

）A． B．C． D．8．如图，在正方体中，分别为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知点P是双曲线上任意一点，，是C的左、右焦点，则下列结论正确的是（

）A． B．C的离心率为C． D．C的渐近线方程为10．已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，．下列结论正确的有（

）A．B．C．是平面的一个法向量D．11．过点且与圆相切的直线的方程为（

）A． B．C． D．12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点Q．下列说法正确的是（

）．A．若，则B．若，则C．若，则PB平分D．若，延长AO交直线于点M，则M，B，Q三点共线第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．请写出一个焦点在y轴上，且与直线没有交点的双曲线的标准方程：．14．斜率为的直线与椭圆交于A，B两点，为线段的中点，则椭圆的离心率为．15．已知⊙M：，直线l：，点P为直线l上的动点，过点P作⊙M的切线，切点为A，则切线段长的最小值为．16．如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为.四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知在平面直角坐标系中，已知的三个顶点为，，，求：(1)所在直线的方程；(2)边上的高所在直线的方程.18．已知圆和圆．(1)求证：圆和圆相交；(2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长．19．如图，在正方体中，E，F，G分别是，，的中点．(1)证明：．(2)求直线与平面所成角的正弦值．20．已知椭圆的长轴是短轴的倍，且右焦点为.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线交椭圆于两点，求的面积.21．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点.(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成角的余弦值.22．已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点A，，当直线的倾斜角为时，.(1)求抛物线的标准方程和准线方程；(2)记为坐标原点，直线分别与直线，交于点，，求证：以为直径的圆过定点，并求出定点坐标.1．D【分析】由空间点在坐标平面上投影的性质确定向量在平面上的投影向量.【详解】若起点为原点，则终点为，该点在平面上投影坐标为，所以向量在平面上的投影向量是.故选：D2．A【分析】利用斜率与倾斜角的关系计算即可.【详解】设该直线倾斜角为，由题意可知，故.故选：A3．A【分析】根据抛物线的定义求得，进而确定正确答案.【详解】抛物线的开口向上，由于在上，且，根据抛物线的定义可知，所以抛物线的方程为.故选：A4．C【分析】由三点共线可得直线的斜率存在并且相等求解即可.【详解】解：由题意，可知直线的斜率存在并且相等，即，解得10.故选：C.5．B【分析】根据椭圆的定义进行求解.【详解】由椭圆方程可知，解得.又椭圆上一点M到两焦点的距离和为，所以M到另一个焦点的距离为.故选：B6．B【详解】根据已知确定圆的圆心和半径，即可得圆的方程.【分析】由题设，所求圆的圆心为，半径为，所以以线段为直径的圆的方程是.故选：B7．A【分析】根据向量线性运算，以为基底表示出，从而确定的取值.【详解】，，，，，，.故选：A.8．D【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解即可.【详解】以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，所以，所以，所以直线与直线所成角的余弦值为.故选：D.

9．AB【分析】根据双曲线的简单性质计算即可.【详解】由标准方程可得，所以，A正确；离心率，B正确；，，C错误；渐近线方程为，D错误.故选：AB.10．ABC【分析】运用数量积逐项分析.【详解】由题意可知都是非零向量，对于A，，正确；对于B，，正确；对于C，平面ABCD，平面ABCD，，所以平面ABCD，正确；对于D，平面ABCD，平面ABCD，，错误；故选：ABC.11．AC【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】设切线为,圆心到切线的距离为,圆的半径为若的斜率不存在,则直线方程为,圆心到直线的距离,满足题意；若的斜率存在,设直线方程为,即，因为直线与圆相切，所以,解得，所以切线方程为.故选:AC.12．ACD【分析】运用数形结合的思想，将问题转化为解析几何问题，再结合抛物线的性质及几何图形特点逐项验证结果即可得出答案．【详解】对于选项，若，则抛物线,的焦点为,由已知条件得，直线的方程为，可得，，选项正确；对于选项,若，则抛物线,的焦点为,由已知条件得，直线的方程为，可得，，选项不正确；对于选项,时，∵，∴，又∵，∴平分，选项正确；对于选项，若，则抛物线,的焦点为,延长交直线于点，则，由选项可知，则M，B，Q三点共线，故正确；

故选：．13．（答案不唯一）【分析】根据双曲线的渐近线与双曲线无交点，即可得到满足条件的双曲线可以为,即可求解.【详解】与直线没有交点,则可以作为双曲线的渐近线，故满足，取，则满足条件的一个双曲线方程可以为.故答案为：14．##【分析】令，应用点差法及直线斜率、中点坐标得，即可求离心率.【详解】令，则，可得，所以，又为线段的中点，且直线斜率为，所以，则.故答案为：15．1【分析】由已知求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线l的距离，利用勾股定理得答案．【详解】⊙M：的圆心坐标为，半径为2，如图，

，且，故要使最小，则最小，此时PM⊥l，因为圆心M到直线l：的距离为，∴的最小值为故答案为：1．16．【分析】根据空间向量基本定理得到，平方后，利用向量数量积公式得到.【详解】由题意得，故，故.故答案为：17．(1)；(2).【分析】（1）求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得.（2）利用垂直关系结合（1）求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得.【详解】（1）由，，得直线的斜率为，所以所在直线的方程为，即.（2）由（1）知，直线的斜率为，而，则边上的高所在直线的斜率为，所以直线的方程为，即.18．(1)证明见解析；(2)公共弦方程为，公共弦的长为.【分析】（1）根据圆的方程确定圆心、半径，由圆心距与半径和差的关系即可证；（2）两圆方程作差求公共弦方程，应用点线距离公式、几何法求公共弦的长.【详解】（1）由题设，则，，则，所以，即圆和圆相交；（2）由（1）结论，将两圆方程作差得，即公共弦方程为，又到的距离，所以公共弦的长为.19．(1)证明见解析(2)【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明垂直关系和求解角度.【详解】（1）如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为，则，则，故，所以；（2）设平面的一个法向量为，，则，则，令，则，，则，又，设直线与平面所成角为，则，则直线与平面所成角的正弦值为.20．(1)(2)【分析】（1）根据焦点坐标求得，根据长轴和短轴的对应关系，以及列方程，可求得的值，进而求得椭圆的标准方程；（2）联立直线和椭圆的方程，求出的坐标，得到，利用点到直线的距离公式求得点到直线的距离，由此求得的面积．【详解】（1）因为长轴是短轴的倍，所以，因为右焦点为，所以，结合，解得，所以椭圆的标准方程为．（2）设，由，得，解得，，即，则，点到直线的距离，则的面积．21．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；【详解】（1）因为，，为的中点，所以，因为四棱锥的底面是矩形，所以，所以，所以，而，即，因为底面，底面，所以，而平面，所以平面；（2）因为平面，平面，所以，因为四棱锥的底面是矩形，所以，建立如下图所示的空间直角坐标系，，因为平面，所以平面的法向量为，设平面的法向量为，，，于是有，平面与平面所成角的余弦值为.22．(1)抛物线的方程为，准线方程为(2)证明见解析，定点坐标为或【分析】（1）根据已知得出直线的方程，与抛物线联立，根据过焦点的弦长公式，列出关系式，即可得出；（2）设，联立方程根据韦达定理得出的关系.进而表示出的方程，求出，的坐标，得出圆的方程.取，即可得出定点坐标.【详解】（1）由已知可得，抛物线