2021-2022学年高中人教A版数学必修第一册练习：第三章

第2课时分段函数

C5争分夺秒一刻钟，狠抓基础零失误)/

必备知识•基础练

概念定理玛加跖

1.分段函数是两个或多个函数.()

2.分段函数的定义域是其中一个部分的定义域.()

3.分段函数的值域是各个部分的值域的交集.()

.,x>0

4.若f(x)=<,f(a)+f(-1)=2,则a=1.()

、q-x,x<。

fl

2^-1(x>0)

5.函数f(x)=<，若f(a)=a，则a=1.()

-(x<0)

1.提示：X.分段函数由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

2.提示：x.分段函数的定义域是各个部分的定义域的并集.

3.提示：x.分段函数的值域是各个部分的值域的并集.

4.提示：x.当a>0时，f(a)=6,

所以6+#=2,所以6=1,a=1.

当a<0时,f(a)=,所以+小=2,

所以=1,a=-1.

所以a=1或a=-1.

5.提示：x.当aNO时，有;a-1=a,解得a=-2(舍),

当a<0时，有;=a,所以a=-1.

基础分组正通关

•题组一分段函数的定义域、值域

1.已知函数f(x)=》，则其定义域为()

A

A.RB.(0,+oo)

C.(-00,0)D.(-00,0)U(0,+00)

选D.要使f(x)有意义，需x和,故定义域为(-8,0)U(0,+8).

_〔2x,x>0,

2.已知函数f(x)"且f(a)+f⑴=0,则a等于()

[x+1,x<0,

A.-3B.-1C.1D.3

选A.当a>0时，f(a)+f(l)=2a+2=0=>a=-1,与a>0矛盾；

当a<0时,f(a)+f(l)=a+1+2=0=>a=-3,符合题意.

fx,xe[0,1],

3.f(x)=的定义域为_________值域为________.

[2-x,xe(1,2]

函数定义域为[0,1]U(1,2]=[0,2].

当x£(l,2]时，f(x)£[O,1),故函数值域为[0,1)U[O,1]=[0,1].

答案：[0,2][0,1]

•题组二分段函数求值问题

1.设函数f(x)=若帽)=4,则b=()

731

A.1B.oQC.j4D.7Z

选D.减I=

f[3x6-b)KM.

当m-b<l,即b>|时，3x1|-bj-b=4,解得b=1(舍去).

当|-b>l,即b<|时，2x(|-bj=4,解得b=1.

[Vx,0<x<1,/八

2.设f(x)=j若f(a)=f(a+1),则心=()

[2(x-1)zx>l.⑷

A.2B,4C,6D.8

选C.当0<a<1时,a+1>1,f(a)=,

f(a+l)=2(a+l-l)=2a,

因为f(a)=f(a+1),所以或=2a,

解得a=1或a=。(舍去).

所以d=44)=2x(4-1)=6.

当aNl时，a+1N2,

所以f(a)=2(a-1),f(a+1)=2(a+1-1)=2a,

所以2(a-l)=2a,无解.

综上，码=6.

Y-4-OYQxVf)

,'-'若f(f(a))=25!Ja=________

{-x2,x>0.

当a>0时,f(a)=-a2<0,

f(f(a))=a4-2a?+2=2,得a=嫄(a=0a=-嫄舍去)；

当a<0时，f(a)=a2+2a+2=(a+I)2+1>0,

f(f(a))=-(a2+2a+2)2=2,此方程无解.

综上可知，a二嫄.

答案：也

4.国内某快递公司规定：重量在1000克以内的包裹快递邮资标准

如表：

运送距500<x1000<x1500<x

0<x<500・・・

离x(km)<1000<1500<2000

邮资y(元)5.006.007.008.00・・・

如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1300km的某地，他应

付的邮资是_______.

邮资y与运送距离x的函数关系式为y=

"5.00(0<x<500),

6.00(500<x<l000),

<

7.00(1000<x<l500),

、8.00(1500<x<2000),

因为1300e(l000,1500],

所以y=7.00.

答案:7.00兀

•题组三分段函数的图象及应用

1,x>0,

1.设x£R,定义符号函数sgnx=<0,x=0,贝(J函数f(x)=|x|sgn

、-1,x<0,

x的图象大致是()

平事半斗

ABCD

x,x>0,

选C.因为|x|=<0,x=0,

、-x,x<0,

所以f(x)=x的图象为C中图象所示.

2.已知函数f(x)的图象如图，则f(x)的解+析式为

：x

户oNi

当-Igx<0时，设f(x)=ax+b,

f-a+b=0fa=1

由题意<,解得：\,

[b=llb=l

故f(x)=x+l,x"1,0)；

0<x<l时,设f(x)=ax,

则f(x)=-X,

fx+l,xG[-l,0)

故f(x)=S,

l-x,xe[0,1]

fx+l,xG[-l,0)

答案：f(x)=S

I-x,xe[0,1]

X‘]

3.设定义域为R的函数f(x)=「一"，若关于x的方程f(x)

1,X=1

二b有3个不同的解，则b等于.

—x#l

函数f(x)=-11的图象如图所示：

1,x=1

由图易得函数的值域为(0,+oo),

由f(x)=b有3个不同的解，可知b=1.

答案：1

易错易混今场盘

易错点混淆”一个分两段的函数”和“两个函数

Ix?-xX<1

1.已知函数f(x)=x2-x,g(x)=5，记a=f(f(-2)),

[x-X2,X>1

b=g(g(-2)),c=g(f(-2)),则()

A.a>b=cB.a>b>c

C.a>c>bD.b>a=c

选A.因为f(-2)=6,a=f(f(-2))=f(6)=30,

c=g(f(-2))=g(6)=-30,因为g(-2)=6,

所以b=g(g(-2))=-30,所以a>b=c.

_[f(x)-x,f(x)>x,

2.已知函数f(x)=x2-x,则g(x)=5的值

[x-2-f(x),f(x)<x

域为()

A.(0,+oo)

B.[-2,-1]U(0,+8)

C.(-oo,-2]

D.(-oo,-1]U(0,+oo)

选B.由f(x)=x,即x?-2x=0,解得x=0,2,

所以当x<0或x>2时,f(x)>x,g(x)=x2-2x>0,

当0<x<2时，f(x)<x,g(x)=-X2+2X-2G[-2,-1J,

所以g(x)的值域为[-2,-1]U(O,+oo).

【易错误区】“一个分两段的函数”和“两个函数”的区别：一个分两段

的函数实质为一个函数，不是两个函数，要注意区分.

◎晚间小练半小时,突破课堂重难点！/

关键能力•综合练

限时30分钟分值50分战报得分

一、选择题(每小题5分，共25分)

fx24-1(X<0)

1.已知函数y=1，若f(a)=10,则a的值是()

[2x(x>0)

A.3或-3B.-3或5

C.-3D.3或-3或5

选B.若a<0,则f(a)=a2+1=10,

所以a=-3(a=3舍去),

若a>0,则f(a)=2a=10,

所以a=5.

综上可得，2=5或2=-3.

f1,x>0

2.已知f(x)=《则不等式x+(x+2)-f(x+2)<5的解集是

[-1,x<0

()

A.[-2,1]B.(-oo,-2]

'31(3'

C.-2,2D.I-oo,

选D.当x+2N0时，即xN-2时，f(x+2)=1,由x+(x+2>f(x+2)<5

可得x+x+2<5,

所以x<|,即-2<x<|,

当x+2<0,即x<-2时，f(x+2)=-1,

由x+(x+2>f(x+2)我可得x-(x+2长5,即-235,所以x<-2.

综上，不等式的解集为1Xx<|-.

3.在自然数集N上定义的函数f(n)=

[n-3(n>l000),

〈则f(90)的值是()

[f(n+7)(n<1000),

A.997B.998C.999D.1000

选A.n<1000时,有f(n)=f(n+7),

所以f(90)=f(97)=f(104)=...

=f(l000)=1000-3=997.

fx2(x>0)fx(x>0)

4.(多选)已知f(x)=5,g(x)=j，则(

[x(x<0)[-x*-(x<0)

A.f(g(-3))=-9B.g(f(-3))=9

C.f(f(-3))=-3D.g(g(-3))=-81

选ACD.f(g(-3))=f(-9)=-9,

g(f(-3))=g(-3)=-9,

f(f(7))=f(-3)=-3,

g(g(-3))=g(-9)=-81.

5.(多选)已知具有性质：的=-f(x)的函数，我们称为满足“倒负

变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是()

A.f(x)=x-；B.f(x)=x+：

x,0<x<l,

c_i1-x

C.f(x)=(U,x—1,D.f(x)=-----

]14-X

-一,X>1.

IX'

选ACD.对于A,f(x)=X-J,

A.

dm=~-x=-f(x),满足；

对于B,+X=f(x),不满足；

rii

-,0<-<l,

X'X'

对于C,<0,­=1,

'X'

1

-X,->1,

I'X'

P,X>1,

=<

即0,X=1,

、-x,0<x<l,

故4）=-f（x），满足•

x-1

对于D,因为3=-f(x),所以满足.

X

X

综上可知，满足倒负”变换的函数是ACD.

二、填空题（每小题5分，共15分）

2,x>0,

6.设函数f(x)=j.若f(一4)=f(0),f(-2)=-2,

Ix2+bx+c,x<0,

则f(x)的解+析式为f(x)=

因为f(-4)=f(0),f(-2)=-2,

[(-4)2-4b+c=c,

所以，

[(-2)2-2b+c=-2.

fb=4,

解得＜

c=2.

2,x>0,

所以f(x)=,

[x2+4x+2,x<0.

[2,x>0,

答案：｛,

[x2+4x+2,x<0

7.函数f(x)的定义域为[-2,+s),它的图象由线段AB和抛物线

的一部分组成，如图，

则函数f(x)的解+析式为«-1))=

设线段AB对应的解+析式为y=kx+m,则由题图可得m=3,-1

=-2k+m,所以m=3,k=2,

所以当-2<x<0时，f(x)=2x+3,

设抛物线对应的解+析式为y=ax2+bx+c,

则由图可得c=2,=2,4a+2b+c=

-2,解得a=1,b=-4,c=2.

所以当x>0时,f(x)=x2-4x+2,

所以函数f(x)的解+析式为f(x)=

12x+3,-2<x<0,

[x2-4x+2,x>0,

所以｛4-1))=f(0=-1.

[2x+3,-2<x<0

答案：f(x)"-1

[x2-4x+2,x>0

8.定义新运算”★”：当m>n时，m^n=m；当m<n时，m^n=n2.

设函数f(x)=(2^x)x-(4T^X),xe[1,4],则函数f(x)的值域为

由题意知，

2x-4,xe[l,2],

f(x)=

x3-4,xe(2,4],

当x£[l,2]时，f(x)£[-2,0]；

当x£(2,4]时,f(x)G(4,60],

故当x£[l,4]时,f(x)e[-2,0]U(4,60].

答案：[-2,0]U(4,60]

三、解答题

ri

i+-,x>l,

9.(10分)已知函数f(x)=<x2+Jf_!<x<!f

、2x+3,x<-1.

⑴求f{f[f(-2)]}的值；

⑵若f(a)=|，求a.

⑴因为-2<-1,

所以f(-2)=2x(-2)+3=-1,

f[f(-2)]=f(-1)=2,

13

所以f{f[f(-2)]}=fT2)=l+]=3.

13

⑵当a>l时，f(a)=1+三=5，所以a=2>l；

d乙

3

当-l<a<l时，f(a)=a?+1=5,

所以a=土乎£[-1,1]；

当a<-1时，f(a)=2a+3=|,

所以a=舍去).

综上,a=2或a=上乎.

自我挑战区

ax+b,x<0,

且f(-2)=3,f(-l)=f(l).

{2x,xK),

⑴求f(x)的解+析式；

⑵画出f(x)的图象.

f(-2)=3,

⑴由

f(-D=f(l),

f-2a+b=3,fa=-1,

得解得

[-a+b=2,[b=1,

-x+1,x<0,

所以f(x)=

px,x>0.

⑵作出f(x)的图象如图所示.

y

盟【变式备选】

如图，底角ZABE=45。的直角梯形ABCD,底边BC长为4cm,腰

长AB为2吸cm，当一条垂直于底边BC的直线1从左至右移动（与

梯形ABCD有公共点）时，直线I把梯形分成两部分，令BE=x，试

写出阴影部分的面积y与x的函数关系式，并画出函数大致图象.

根据题意得，当直线1从点B移动到点A时，0<xW2,y=1x2；

当直线1从点A移动到点D时,2<x<4,y=1x2x2+(x-2)-2,即y

=2x-2.

所以阴影部分的面积y与x的函数关系式为

[|x2,xe(0,2],

y=r函数图象如图所示.

[2x-2,x£(2,4],

K

行周末抽出一小时，阶段复盘再提升!//

考点综合•提升练5

限时60分钟分值100分战报得分

一、选择题(每小题5分，共30分，在每小题给出的选项中，只有一

个正确选项)

1,下列各组函数是同一函数的是()

①f(x)=[_2x3与g(x)=xyl_2x；

②f(x)=x与g(x)=病；

③f(x)=x。与g(x)=9；

A.

@f(x)=X2-X+1与g(t)=t2-t+1.

A.①②B.①③C.③④D.①④

选C.①f(x)=[-2x3与g(x)=x]-2x的定义域是｛x|xg0｝；而①f(x)

=-2x3=-x7-2x,故这两个函数不是同一函数；

②f(x)=X与g(x)=Vx5的定义域都是R,g(x)=川=|x|,这两个函

数的定义域相同，对应关系不相同，故这两个函数不是同一函数；

③f(x)=x。的定义域是{x|x#)},而g(x)=J的定义域是{x|xM},故这

A.

两个函数是同一函数;

④f(x)=X?-X+1与g(t)=t2-t+1是同一函数.

x+a,-l<x<0

2.已知函数f(x)=\2

I5'x，0<x<l

()

633

A.-5B.0C.gD.-g

3.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB,其中点O,A,B的坐标分

'1'

别为(0,0),(1,2),(3,1),则f75T的值为()

A.1B.2C.3D.4

选B.由题意可得f(3)=1,所以嵩=1,

所以=f(l)=2.

x-2(x>10)

4.设f(x)"，则f(5)=()

If[f(x+6)](x<10)

A.10B.11C.12D.13

x-2(x>10)

选B.因为f(x)=

£f(x+6)](x<10)

所以f(5)=f[f(ll)]=f(9)=f[f(15)]=f(13)=ll.

[x2+1(x<l)

5.已知f(x)=彳，贝!Jf[f(2)]=()

I-2x+3(x>l)

A.5B.-1C.-7D.2

fx2+l(x<l)

选D.因为f(x)=4,

[-2x+3(x>l)

所以f(2)=-2x2+3=-1,

所以f[f(2)]=f(-1)=(-1>+1=2.

6.函数f(x)=^x+1+J—的定义域为()

，—X

A.(-1,2)U(2,+oo)B.[-1,2)U(2,+oo)

C.(1,2)U(2,+oo)D.[1,2)U(2,+oo)

选B.由题意，函数f(x)=JTTi+J—有意义，

z—X

x+l>0

则满足4,解得xN-1且在2,

2-xHO

即函数f(x)的定义域为［-1,2)U(2,+8).

二、选择题(每小题5分，共10分，在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的

得3分)

7.如果二次函数的图象关于直线x=1对称，且过点(0,0),则此二

次函数的解+析式可以是()

A.f(x)=x2-1B.f(x)=-(x-I)2+1

C.f(x)=(x-1)2+1D.f(x)=(x-I)2-1

选BD.由题意设f(x)=a(x-l)2+b,由于点(0,0)在图象上，所以a

+b=0,a=-b,故符合条件的是BD.

8.中国清朝数学家李善兰在1859年翻译的《代数学》中首次将

“function”译做“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡

此变数中函彼变数者，则此为彼之函数11930年美国人给出了我们课

本中所学的集合论的函数定义，已知集合M={-1,1,2,4},N=

{1,2,4,16},给出下列四个对应关系，请由函数定义判断，其中

能构成从M到N的函数的是()

A.y=2xB.y=x+2

C.y=2户|D.y=x2

选CD.在A中，当x=4时，y=8枷,故A错误；

在B中，当x=l时，y=3《N,故B错误；

在C中，任取x£M，总有丫=加eN,故C正确；

在D中，任取x£M，总有y=x2£N,故D正确.

三、填空题(每小题5分，共20分)

9.若2f(x)+f(-x)=3x,贝!]函数的解+析式为f(x)=.

由2f(x)+f(-x)=3x可得2f(-x)+f(x)=-3x,两式解方程组可得

f(x)=3x.

答案:3x

[X,Xe(-oo,t),一

10.设f(x)={「、若f(3)=27,则t的取值范围为

[x3,xQt,+ooj.

当t<3时，f(3)=33=27,满足题意；

当t>3时，f(3)=3,不满足题意；故t的取值范围为(-8,31.

答案：(…，3]

11.若函数y=f(x)的定义域是[-1,1],则y=f(x+1)的定义域是

由-iWx+1<1得-2<x<0,

所以y=f(x+1)的定义域是[-2,0].

答案：[-2,0]

12.已知函数f(x)=-x,g(x)=x2-2,设函数y=M(x),当f(x)>g(x)

时，M(x)=f(x)；当g(x)>f(x)时，M(x)=g(x),则M(x)=

函数y=M(x)的最小值是________________.

解不等式f(x)>g(x),即-x>x2-2,解得-2<x<l,

即-2<x<l时，M(x)=-x,解不等式f(x)<g(x),即-x<x2-2,解得

xW-2或xNl,即xg-2或x>l时,M(x)=x2-2,

fx2-2,xC^-oo,-2]u[l,+co)

即M(x)=5z、

[-x,x£(-2,1)

当xg-2或xNl时,M(x)min=M(l)=-1,

当-2<X<1时,M(X)min>M(l)=-1,

即函数y=M(x)的最小值是-1.

卜2-2,X£(-OO,-2]U[1,+00)

-1

四、解答题(每小题10分，共40分)

13.函数f(x)=冈的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[-3.5]

=-4,[2.1]=2.^xe(-2.5,3]时，写出函数f(x)的解+析式，并画

出函数的图象.

-3,-2.5<x<-2