2022年上海市嘉定区南翔中学中考数学诊断试卷（4月份）及答案解析

2022年上海市嘉定区南翔中学中考数学诊断试卷（4月份）

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列分数中，能化为有限小数的是（）

A-3B4C-7D4

2.如果a>b,c<0,那么下列不等式成立的是.（）

A.a+c>b+cB.c—a>c—bC.ac>benD.-a>-b

cc

3.下列二次根式中，最简二次根式的是（）

A.B.V0?5C.V5D.V50

4.抛物线y=-（％+2）2-3的顶点坐标是（）

A.（2,-3）B.（-2,3）C.（2,3）D.(-2,-3)

5.下列命题中，真命题是（）

A.周长相等的锐角三角形都全等B.周长相等的直角三角形都全等

C.周长相等的钝角三角形都全等D.周长相等的等腰直角三角形都全等

6.矩形4BCC中，AB=8,BC=3遮，点P在边4B上，且BP=34P,如果圆P是以点P为圆

心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）

A.点B,C均在圆P外

B.点B在圆P外，点C在圆P内

C.点B在圆P内，点C在圆P外

D.点、B,C均在圆P内

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7.计算：a2-a3=.

8.因式分解：x2-9y2=

9.如果关于x的方程/一2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根，那么m=

10.函数y=VT=三的定义域是

11.如果反比例函数y=5（k是常数，％羊0）的图象经过点那么这个函数的解析式是

12.一次函数y=3x—2的函数值y随自变量x值的增大而（填“增大”或“减小”）.

13.有-8只型号相同的杯子，其中一等品5只，二等品2只和三等品1只，从中随机抽取1只杯

子，恰好是一等品的概率是.

14.某小区2012年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2880平方

米，如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是.

15.如图，AM是△ABC的中线，设向量荏=苍，BC=b，那么向量而=（结果用本

3表示）.

16.如图，点8、C、。在同一条直线上，CE"AB,乙4cB=90。，如果NEC。=36。，那么

Z.A='

17.如图，AB,4C都是圆0的弦，OM1AB,ON1AC,垂足分别为M、N,如果MN=3,

那么BC=.

A

18.中，已知NC=90。，4B=50。，点。在边BC上，BD=2CD（如图）.把△ABC绕

着点。逆时针旋转m（0<m<180）度后，如果点8恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么

m=.

三、解答题（本大题共7小题，共49.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.（本小题10.0分）

计算：（-3）o-+|1-+海;加.

20.（本小题10.0分）

X—y=2

解方程组:

,x2—2xy—3y2=0'

21.（本小题6.0分）

如图，点C、。分别在扇形40B的半径。4、。8的延长线上，且04=3,AC=2,CD平行于4B,

并与弧AB相交于点M、N.

（1）求线段0。的长；

（2）若tan“=g,求弦MN的长.

D

22.（本小题8.0分）

某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与

生产数量％（吨）的函数关系式如图所示.

Q）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量.

（注：总成本=每吨的成本x生产数量）

23.（本小题6.0分）

如图，在梯形4BCD中，AD//BC,AB=DC,过点。作DE_LBC,垂足为E,并延长DE至F,

使EF=DE.连接BF、CF、AC.

（1）求证；四边形4BFC是平行四边形；

（2）如果DE?=BE-CE,求证：四边形ABFC是矩形.

24.（本小题4.0分）

已知平面直角坐标系％Oy（如图），一次函数y=+3的图象与y轴交于点4,点M在正比例函

数y=|x的图象上，且M。=M4二次函数y=/+匕％+c的图象经过点4、M.

（1）求线段4M的长；

（2）求这个二次函数的解析式；

（3）如果点8在丁轴上，且位于点4下方，点C在上述二次函数的图象上，点。在一次函数y=

,%+3的图象上，且四边形4BCD是菱形，求点C的坐标.

4

25.(本小题5.0分)

在中，AACB=90°,BC=30,4B=50.点P是4B边上任意一点，直线PE14B,

与边4c或BC相交于E.点M在线段4P上，点N在线段BP上，EM=EN,sWEMP=圣

(1)如图1,当点E与点C重合时，求CM的长；

(2)如图2,当点E在边AC上时，点E不与点4、C重合，设4P=x,BN=y,求y关于x的函数

关系式，并写出函数的定义域；

(3)若△AMEs^ENBOAME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应)，求4P的

长.

图1图2

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：4•.《=0.3…故本选项错误；

1=0.2故本选项正确；

C、；=0.142857…故本选项错误；

D、2=0」…故本选项错误.

故选艮

本题需根据有理数的除法法则分别对每一项进行计算，即可求出结果.

本题主要考查了有理数的除法，在解题时要根据有理数的除法法则分别计算是解题的关键.

2.【答案】A

【解析】解：A：va>h,/.a+c>b+c,故此选项正确；

B：a>b,

**•—u<—b9

：•-ci+cV-b+c,

故此选项错误；

C：va>h,c<0,

・・・ac<be,

故此选项错误；

D：va>6,c<0,

,aWb

cc

故此选项错误；

故选：A.

根据不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.（2）不等

式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.

（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.一个个筛选即可得到答案.

此题主要考查了不等式的基本性质.“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密

切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱，准确把握不等式的性质是做题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：4、/中被开方数是分数，故不是最简二次根式；

B、瓜中被开方数是分数，故不是最简二次根式；

C、遍中被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数，故是最简二次根式；

。、同中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式；

故选：C.

根据最简二次根式的定义解答即可.

本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数

中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，否则就不

是.

4.【答案】D

【解析】解：••・抛物线的解析式为：y=-（％+2产—3,

.••此抛物线的顶点坐标为：（-2,-3）.

故选：D.

直接根据此二次函数的顶点式进行解答即可.

本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键.

5.【答案】D

【解析】解：力、周长相等的锐角三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；

8、周长相等的直角三角形对应锐角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；

C、周长相等的钝角三角形对应钝角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；

。、由于等腰直角三角形三边之比为1：1：故周长相等时，等腰直角三角形的对应角相等，

对应边相等，故全等，真命题.

故选O.

全等三角形必须是对应角相等，对应边相等，根据全等三角形的判定方法，逐一检验.

本题考查了全等三角形的判定定理的运用，命题与定理的概念.关键是明确全等三角形的对应边

相等，对应角相等.

6.【答案】C

【解析】解：如图，

•••四边形4BCD为矩形，

AD=BC=3通，

■■■AB=8,BP=3AP,

・•・AP=2,BP—6,

在RtMDP中，AP=2,AD=3V5-

PD=7Ap2+=7,

在RtAPBC中，•••PB=6,BC=3V5.

PC=y/PB2+BC2=9，

/.PC>PD>PB,

.•.点B在圆P内，点C在圆P外.

故选：C.

由4B=8,BP=34P得到4P=2,BP=6,再根据勾股定理，在Rt△4DP中计算出PD=7,在

及△。8。中计算出「。=9,则PC>PD>PB,然后根据点与圆的位置关系进行判断.

本题考查了点与圆的位置：设。。的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有：点P在圆外Od>r；

点P在圆上od=r；点P在圆内od<r.

7.【答案】a5

【解析】解：a?.=a2+3=a5.

故答案为：a5.

根据同底数的幕的乘法，底数不变，指数相加，计算即可.

熟练掌握同底数的基的乘法的运算法则是解题的关键.

8.【答案】(x+3y)(x-3y)

【解析】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键.

直接利用平方差公式分解即可.

解：x2—9y2=(%+3y)(x—3y).

故答案为：(x+3y)(x-3y).

9.【答案】1

【解析】解：■:x的方程/一2%+m=0(m为常数)有两个相等实数根

•••A=b2-4ac=(-2)2—4x1-m=0

4—47n=0

m=1

故答案为：1

本题需先根据已知条件列出关于m的等式，即可求出m的值.

本题主要考查了根的判别式，在解题时要注意对根的判别式进行灵活应用是本题的关键.

10.【答案】x<3

【解析】二次根式有意义，即被开方数为非负数，BP3-x>0,解不等式即可.

解：依题意，得3—久20,

解得XV3.

故答案为：x<3.

本题考查了函数的自变量取值范围的求法.关键是根据二次根式有意义时，被开方数为非负数建

立不等式.

11.【答案】y=

【解析】解：把(-1,2)代入反比例函数关系式得：k=-2,

2

・・・y=一针

故答案为：/y=-X

根据图象过(-1,2)可知，此点满足关系式，能使关系式左右两边相等.

此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点.

12.【答案】增大

【解析】解：一次函数y=3x—2中，fc=3>0,

.•・函数值y随自变量化值的增大而增大.

故答案为：增大.

根据一次函数的性质判断出一次函数y=3%-2中k的符号，再根据一次函数的增减性进行解答即

可.

本题考查的是一次函数的性质，即一次函数、=/^+匕/不0)中，k>0时，y随x的增大而增大.

13.【答案】I

O

【解析】解：在8只型号相同的杯子中，

一等品有5只，

则从中随机抽取1只杯子，恰好是一等品的概率是P

O

故答案为"

共有八只型号相同的杯子，每只杯子被抽到的机会是相同的，故可用概率公式解答.

此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件4出现m种

结果，那么事件4的概率P(4)=停

14.【答案】20%

【解析】

【分析】

此题考查了一元二次方程的应用.对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a(l+x)2=

b(a<b)；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a(l—x)2=b(a>b).

设增长率为x,根据题意即可列出方程.

【解答】

解：设增长率为x,根据题意可列出方程为：

2000(1+x)2=2880,

(1+x)2=1.44.

14-%=±1.2.

所以%1—0.2,%2=—2.2(舍去).

故％=0.2=20%.

即：这个增长率为20%.

故答案是：20%.

15.【答案】a+^b

【解析】解：•••AM是△ABC的中线，配=后,

.•.询=；能=弧

AB=5，

：.AM=AB+BM=a+^b.

故答案为：a+^b.

首先由AM是△ABC的中线，即可求得询的长，又由宿=荏+而，即可求得答案.

此题考查了平面向量的知识.题目难度不大，注意数形结合思想的应用.

16.【答案】54

【解析】解：•••NECD=36。，乙4cB=90。，

^ACD=90°,

•••Z.ACE=AACD-乙ECD=90°-36°=54°,

•••CE//AB,

〃=^ACE=54°.

故答案为：54°.

由N4CB=90。，NEC。=36。，求得乙4CE的度数，又由CE〃/IB,即可求得44的度数.

此题考查了平行线的性质.解题的关键是注意数形结合思想的应用.

17.【答案】6

【解析】解：,••AB、AC都是圆。的弦，0Ml4B,ONLAC,

M.N为AB、AC的中点，即线段MN为△ABC的中位线，

BC=2MN=6.

故答案为：6.

由48、4；都是圆。的弦，OM1AB,ON1AC,根据垂径定理可知M、N为AB、AC的中点，线段

!^为4ABC的中位线，根据中位线定理可知BC=2MN.

本题考查了垂径定理，三角形的中位线定理的运用.关键是由垂径定理得出两个中点.

18.【答案】80。或120。

【解析】解：如图，在线段取一点夕，使OB=DB',在线段4c取一点B",

使DB=DB",B'i

①旋转角m=/.BDB'=180-^DB'B一乙B=180°-2LB=80°,|

②在中，C口

vDB"=DB=2CD,

•••Z.CDB"=60°,

旋转角4BDB"=180°-乙CDB”=120°.

故答案为：80。或120。.

本题可以图形的旋转问题转化为点B绕。点逆时针旋转的问题，故可以。点为圆心，OB长为半径画

弧，第一次与原三角形交于斜边48上的一点夕，交直角边4c于B”,此时。B'=DB,DB"=DB=

2CD,由等腰三角形的性质求旋转角/BOB'的度数，在Rt△夕'CD中，解直角三角形求NCDB”,可

得旋转角NBOB”的度数.

本题考查了旋转的性质.关键是将图形的旋转转化为点的旋转，求旋转角.

19.【答案】解：原式=1一3遥+或一1+百-企

=-2V3.

【解析】直接利用零指数累的性质以及二次根式的性质和绝对值的性质分别化简得出答案.

此题主要考查了零指数基的性质以及二次根式的性质和绝对值的性质，正确化简各数是解题关键.

尤-y=2①

20.【答案】解:

x2-2xy—3y2=0②

由①得y=x-2③

把③代入②，得尤2—2x(x—2)-3(x—2)2=0,

即--4%+3=0

解这个方程，得的=3,g=1

代入③中，啜;:;啮2r

•••原方程组的解为｛;：二:或

【解析】用代入法即可解答，把①化为y=x-2,代入②得化简》2—4x+3=0即可解答.

本题考查了二元二次方程组的解法，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再

解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可.

21.【答案】解：5：CD〃AB,

:.Z-OAB=乙OCD,Z-OBA=乙ODC,

•••△OAB-LOCD,

t0A_08

'OC~~0Df

m04_0B

国OA+AC='0D'

又04=3,AC=2,

.・.OB—3,

・

'3+2='0D9

・・.0D=5；

-i

（2）过。作。E_LC。，连接OM,则ME=、MN,

1

•・•tanZ-C2-艮嘿=4

.♦•设OE=x,则CE=2x,

在RtAOEC中，OC2=OE2+CE2,即5?=/+（2x）2,解得乂=通，

在Rt/kOME中，OM2=OE2+ME2,即32=（通/+”我，解得ME=2.

MN=4,

答：弦MN的长为4.

【解析】（1）根据CD〃48可知，△04ByOCD,再根据相似三角形的对应边成比例即可求出。。的

长；

（2）过。作。EJ.CD,连接。M,由垂径定理可知ME=^MN,再根据tan/C=g可求出0E的长，利

用勾股定理即可求出ME的长，进而求出答案.

本题考查的是垂径定理，涉及到锐角三角函数的定义、相似三角形的判定与性质及勾股定理，根

据题意作出辅助线是解答此题的关键.

22.【答案】解：(1)利用图象设y关于x的函数解析式为丫=卜》+比

将(10,10)(50,6)代入解析式得:

flO=10k+b

16=50k+b'

解得：，

(b=11

y=-Yj%+ll(10<x<50)

(2)当生产这种产品的总成本为280万元时，

X(.~^QX+11)=280,

解得：X]=40,%2=70(不合题意舍去)，

故该产品的生产数量为40吨.

【解析】(1)利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为10吨，但不超过50

吨时，得出x的定义域；

(2)根据总成本=每吨的成本X生产数量，利用(1)中所求得出即可.

此题主要考查了一次函数的应用，根据总成本=每吨的成本X生产数量得出等式方程求出是解题关

键.

23.【答案】证明：(1)连接BD,

•.•梯形4BCO中，AD//BC,AB=CD,

:.AC=BD,

vDE1BC,EF=DE,

:.BD=BF,CD=CF,

：.AC=BF,AB=CF,

，四边形4BFC是平行四边形；

(2)・••DE2=BE,CE

tDE__BE_

••而一说‘

•・•乙DEB=乙DEC=90°,

・•・△BDE〜二DCE,

:.Z-CDE=乙DBE,

・・・Z.BFC=(BDC=乙BDE+乙CDE=乙BDE+乙DBE=90°,

二四边形4BFC是矩形.

【解析】(1)连接BD,利用等腰梯形的性质得到AC=BD,再根据垂直平分线的性质得到DB=FB,

从而得到4C=BF,然后证得4C〃BF,利用一组对边平行且相等判定平行四边形；

(2)利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到

直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形.

本题考查了等腰梯形的性质、全等及相似三角形的判定及性质等，是一道集合了好几个知识点的

综合题，但题目的难度不算大.

24.【答案】解：(1)在一次函数y=,x+3中，

当久=0时，y=3.

・・・4(0,3).

•・・MO=MA,

・・.M为。4垂直平分线上的点，

可求04垂直平分线上的解析式为y=|,

又,・,点M在正比例函数y=|x,

3

Xv4(0,3).

...V13

:.AM=”-;

(2),・•二次函数y=%24-bx4-c的图象经过点A、M.可得

[l+b+c=g,

10+0+c=3,

解得«=一，.

=3

25「

.・.y=Xz4-3;

(3)•••点。在一次函数y=,无+3的图象上，

则可设。(n(n+3),

设B(0,zn)(ni<3),C(n,n2—+3)

•••四边形ZBCD是菱形，

\AB\=3-m,IKy”：),'卜3':/：〃‘31]〃一，

2

\AD\=J(n-0)2+(1n+3-3)=|1n|，

V\AB\=\DC\,

**•3—m=-zi一九？，(T),

V\AB\=\DA\,

5②

3m

=4-

解①②得，nl-。(舍去)，兀2=2,

5

将九二2,代入「(〃一”-jli,

・・・C(2,2).

即：满足条件的点C坐标为C(2,2).

【解析】(1)先求出根据04垂直平分线上的解析式，再根据两点的距离公式求出线段4M的长；

(2)二次函数y=/+%%+。的图象经过点4、M彳寺定系数法即可求出二次函数的解析式；

(3)可设。(n*n+3),根据菱形的性质得出以且点C在二次函数y3上，得

422

到方程求解即可.

本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有抛物线解析式的确定，两点的距离公式，菱形

的性质，解二元一次方程，综合性较强，难度较大.

(1)V乙ACB=90°,

・・.AC=TAB2—BC'2,

=、5。2—302,

=40,

・・・CPLABf

:.-A-B-C-P=-A-C--B-C,

22

.30x40_50cp

••~2—-2，

・•・CP=24,

rp

・・・CM=———,

sinzFMP

24

="TT,

13

=26；

(2)vsin乙EMP=—,

图2

・••设EP=12a,

则EM=13a,PM=5a,

•・・EM=EN,

・・.EN=13a,PN=5a,

AEP~AABC,

PEBC

...—,

APAC

12a30

x40

：•x=16a,