2024年高考数学二轮复习第一篇核心专题突破专题四立体几何第2讲空间点、直线、平面之间的位置关系

第一篇专题四第2讲一、单项选择题1.已知直线a，b，c两两异面，且a⊥c，b⊥c，下列说法正确的是(D)A．存在平面α，β，使a⊂α，b⊂β，且c∥α，c∥β，α⊥βB．存在平面α，β，使a⊂α，b⊂β，且c∥α，c∥β，α∥βC．存在唯一的平面γ，使c⊂γ，且a，b与γ所成角相等D．存在平面γ，使a∥γ，b∥γ，且c⊥γ【解析】只有当a⊥b时才存在平面α，β，使a⊂α，b⊂β，且c∥α，c∥β，α⊥β，故A错误；若存在平面α，β，使a⊂α，b⊂β，且c∥α，c∥β，则此时α与β不平行，故B错误；存在两个平面γ，使c⊂γ，且a，b与γ所成角相等，故C错误；存在平面γ，使a∥γ，b∥γ，且c⊥γ，故D正确．故选D.2.(2023·武侯区校级模拟)已知两个平面α，β，及两条直线l，m.则下列命题错误的是(C)A．若α⊥β，l⊂β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥αB．若l⊥β，α∥β，m⊂α，则l⊥mC．若l⊂α，m⊂α，m∥β，l∥β，则α∥βD．若l，m是异面直线，l⊂α，l∥β，m⊂β，m∥α，则α∥β【解析】对于A，若α⊥β，l⊂β，α∩β＝m，l⊥m，根据面面垂直的性质定理可得l⊥α，A正确；对于B，若l⊥β，α∥β，则l⊥α，又m⊂α，则l⊥m，B正确；对于C，若l⊂α，m⊂α，m∥β，l∥β，则α与β可以相交或平行，C错误；对于D，因为m⊂β，m∥α，所以存在直线m′⊂α，m∥m′，因为l，m是异面直线，所以l与m′相交，因为m′∥m，m⊂β，m′⊄β，所以m′∥β，又因为l⊂α，l∥β，所以α∥β，D正确，故选C.3.(2023·船山区校级模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是(A)①AD1∥BC1②平面AB1D1∥平面BDC1③AD1∥DC1④AD1∥平面BDC1A．①②④ B．①②③C．②③④ D．①③④【解析】因为AB∥C1D1，AB＝C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，故AD1∥BC1，故①正确；易证BD∥B1D1，AB1∥DC1，BD⊂平面BDC1，B1D1⊄平面BDC1，所以B1D1∥平面BDC1，同理可得AB1∥平面BDC1，又AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1，故平面AB1D1∥平面BDC1，故②正确；由正方体ABCD－A1B1C1D1易知，AD1与DC1异面，故③错误；因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1，故④正确．故选A.4.(2023·长宁区校级三模)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1上一点，若平面MBD1与棱CC1交于点N，则下列说法中正确的是(D)A．存在平面MBND1与直线BB1垂直B．四边形MBND1可能是正方形C．不存在平面MBND1与直线A1C1平行D．任意平面MBND1与平面ACB1垂直【解析】对于A，BD1⊂面MBND1，∠B1BD1小于90°，若直线BB1与平面MBND1垂直，则直线BB1⊥BD1，与∠B1BD1小于90°矛盾，∴平面MBND1与直线BB1不可能垂直，故A错误；对于B，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，由正方体的结构特征可知，A1D1⊥平面ABB1A1，∵BM⊂面ABB1A1，∴A1D1⊥BM，若四边形MBND1是正方形，有MD1⊥BM，可得BM⊥平面AA1D1D，这样过点B有两条直线与平面AA1D1D垂直，故B错误；对于C，当M、N分别为所在棱的中点时，平面MBND1与直线A1C1平行，故C错误；对于D，由正方体的结构特征可知，D1B⊥AC，D1B⊥AB1，∵D1B⊄面ACB1，AC⊂面ACB1，AB1⊂面ACB1，∴D1B⊥面ACB1，∵D1B⊂面MBND1，∴任意平面MBND1与平面ACB1垂直，故D正确．故选D.5.(2023·长宁区二模)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点P在直线AD1上，Q为线段BD的中点．则下列说法不正确的是(C)A．存在点P，使得PQ⊥A1C1B．存在点P，使得PQ∥A1BC．直线PQ始终与直线CC1异面D．直线PQ始终与直线BC1异面【解析】正方体ABCD－A1B1C1D1中，易得A1C1⊥平面BDD1B1，∵点P在直线AD1上，Q为线段BD的中点，当点P和D1重合时，PQ⊂平面BDD1B1，∴PQ⊥A1C1，故A正确；连接A1D，如图所示：当点P为线段A1D的中点时，PQ为三角形A1BD的中位线，即PQ∥A1B，故B正确；CC1⊂平面AA1C1C，当点P和点A重合时，PQ⊂平面AA1C1C，则直线PQ和CC1在同一平面内，故C错误；BC1⊂平面ABC1D1，PQ∩平面ABC1D1＝P，P∉BC1，故直线PQ始终与直线BC1不相交，且不平行，是异面直线，故D正确．故选C.6.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为(B)A.eq\r(2) B．eq\f(9,8)C．eq\r(3) D．eq\f(\r(6),2)【解析】如图，分别取C1D1，B1C1的中点P，Q，连接PQ，B1D1，DP，BQ，NP，易知MN∥B1D1∥BD，AD∥NP，AD＝NP，所以四边形ANPD为平行四边形，所以AN∥DP.又BD和DP为平面DBQP内的两条相交直线，AN，MN为平面AMN内的两条相交直线，所以平面DBQP∥平面AMN，四边形DBQP的面积即所求．因为PQ∥DB，所以四边形DBQP为梯形，PQ＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)，梯形的高h＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))2)＝eq\f(3\r(2),4)，所以四边形DBQP的面积为eq\f(1,2)(PQ＋BD)h＝eq\f(9,8).故选B.二、多项选择题7.(2023·广州三模)下列命题正确的是(BC)A．如果一条直线上两点到一个平面的距离相等，那么这个直线与这个平面平行B．两条平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等C．如果一个平面内一个锐角的两边，分别平行于另一个平面内一个角的两边，那么这两个平面平行D．如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直【解析】对于A，如果一条直线上两点到一个平面的距离相等，那么这个直线与这个平面平行，错误，直线也可能在平面内，也可能与平面相交，故A错误；对于B，两条平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等，故B正确；对于C，如果一个平面内一个锐角的两边，分别平行于另一个平面内一个角的两边，由平面与平面平行的判定定理可知，这两个平面平行，故C正确；对于D，如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，当这无数条直线均平行时，不能得出直线与这个平面垂直，故D错误．故选BC.8.(2023·香坊区校级三模)已知l，m，n为空间中三条不同的直线，α，β，γ为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的有(AC)A．若m⊥α，m⊥β，α∥γ，则β∥γB．若α∥β，l，m分别与α，β所成的角相等，则l∥mC．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，若l∥m，则n∥mD．若α∩β＝n，α⊥β，β⊥γ，则n⊥γ【解析】若m⊥α，m⊥β，则α∥β，又α∥γ，则β∥γ，故A正确；若α∥β，l，m分别与α，β所成的角相等，由直线与平面所成角的定义可知，l与m的位置关系可以是平行，可以相交，也可以异面，故B错误；若α∩β＝l，β∩γ＝m，则l⊄γ，m⊂γ，已知l∥m，得l∥γ，又因为l⊂α，γ∩α＝n，则l∥n，故m∥n，故C正确；若α∩β＝n，α⊥β，β⊥γ，则n与γ也可能平行，故D错误．故选AC.三、填空题9.在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点，若平面BC1D∥平面AB1D1，则eq\f(AD,DC)＝_1__.【解析】如图所示，连接A1B，与AB1交于点O，连接OD1，∵平面BC1D∥平面AB1D1，平面BC1D∩平面A1BC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，∴BC1∥D1O，∴eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)，同理AD1∥DC1，∴eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD)，∴eq\f(A1O,OB)＝eq\f(DC,AD)，又∵eq\f(A1O,OB)＝1，∴eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.10.(2023·亭湖区校级一模)正四面体ABCD棱长为2，E，F，G分别为AB，CD，AD的中点，过G作平面α⊥EF，则平面α截正四面体ABCD，所得截面的面积为_1__.【解析】分别取AC，BC，BD的中点H，M，N，连接GH，HM，MN，NG，EC，EF，ED，由题意可知：HG∥CD且HG＝eq\f(1,2)CD＝1，又因为MN∥CD且MN＝eq\f(1,2)CD＝1，所以HG∥MN且HG＝MN，所以四边形GHMN为平行四边形，因为MH∥AB且MH＝eq\f(1,2)AB＝1，所以MH＝GH，则平行四边形GHMN为菱形，因为ABCD为正四面体，所以三角形ABC是边长为2的正三角形，所以CE⊥AB且CE＝eq\r(3)，同理DE⊥AB且ED＝eq\r(3)，又CE∩ED＝E，CE，ED⊂平面ECD，所以AB⊥平面ECD，又因为CD⊂平面ECD，所以AB⊥CD，因为MN∥CD，MH∥AB，所以MN⊥MH，所以菱形GHMN为正方形．因为CE＝eq\r(3)，ED＝eq\r(3)且F为CD的中点，所以EF⊥CD，因为HG∥CD，所以EF⊥HG，同理EF⊥HM，HM∩HG＝H，HM，HG⊂平面GHMN，所以EF⊥平面GHMN，所以过G作平面α⊥EF，则平面α截正四面体ABCD所得的图形即为正方形GHMN，所以截面面积为S＝1×1＝1.四、解答题11.(2023·东方模拟)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD为正三角形，M为线段PD上一点，N为BC的中点．(1)当M为PD的中点时，求证：MN∥平面PAB.(2)当PB∥平面AMN，求出点M的位置，说明理由．【解析】(1)证明：在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面PAD为正三角形，取AP中点为E，连接EM，EB，在△PAD中，M为PD的中点，E为AP中点，∴EM∥AD，EM＝eq\f(1,2)AD，在平行四边形ABCD中，N为BC的中点，∴BN∥AD，BN＝eq\f(1,2)AD，∴BN∥ME，BN＝ME，∴四边形BNME为平行四边形，∴MN∥BE，MN⊄面PAB，BE⊂面PAB，∴MN∥平面PAB.(2)连接AN，BD，相交于O，连接OM，∵PB∥面AMN，面PBD∩面AMN＝OM，PB⊂面PBD，∴PB∥OM，eq\f(PM,MD)＝eq\f(OB,OD)＝eq\f(BN,AD)＝eq\f(1,2)，即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点．12.(2023·南充模拟)如图所示，已知AC，BD是圆锥SO底面的两条直径，M为劣弧eq\o\ac(BC,\s\up10(︵))的中点．(1)证明：SM⊥AD；(2)若∠BOC＝eq\f(2π,3)，E为线段SM上的一点，且SE＝2EM，求证：平面BCE∥平面SAD.【证明】(1)连接MO并延长交AD于N，如图所示，∵M为劣弧eq\o\ac(BC,\s\up10(︵))的中点，∴MO是∠BOC的角平分线，∴MN平分∠AOD，∵OA＝OD，∴MN⊥AD，又∵在圆锥SO中，SO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴SO⊥AD，∵MN，SO⊂平面SMN，且MN∩SO＝O，∴AD⊥平面SMN，又∵SM⊂平面SMN，∴AD⊥SM.(2)设MO交BC于F，显然OF平分∠BOC，且OF⊥BC，又∠BOC＝eq\f(2π,3)，∴∠COF＝eq\f(π,3)，∴在△COF中，OF＝eq\f(1,2)CO，∴F为OM的中点，同理ON＝eq\f(1,2)OD，∴NF＝2FM，又∵SE＝2EM，∴eq\f(ME,SE)＝eq\f(MF,NF)＝eq\f(1,2)，∴EF∥SN，∵SN⊂平面SAD，且EF⊄平面SAD，∴EF∥平面SAD，又∵在平面ABCD中，BC⊥MN，AD⊥MN，∴BC∥AD，又AD⊂平面SAD，且BC⊄平面SAD，∴BC∥平面SAD，又∵EF，BC⊂平面BCE，且EF∩BC＝F，∴平面BCE∥平面SAD.13.(2023·内江三模)在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝3，过点A作AD⊥BC，交线段BC于点D(如图1)，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°(如图2)，点E、M分别为棱BC、AC的中点．(1)求证：CD⊥ME；(2)在图2中，当三棱锥A－BCD的体积取最大值时，求三棱锥A－MDE的体积．【解析】(1)证明：∵CD⊥AD，CD⊥BD，AD∩BD＝D，AD、BD⊂平面ABD，∴CD⊥平面ABD，∵AB⊂平面ABD，∴CD⊥AB，又∵M，E分别为AC、BC的中点，∴ME∥AB，∴CD⊥ME.(2)图1所示