新设计一轮复习数学（理）通用版讲义第三讲解题的化归目标形变题变

第三讲解题的化归目标——形变题变上一讲提到解题的指导思想是“化归寻旧”，但怎样对题目进行化归，化归到什么形式？这就是本讲所要解决的两个重点问题——形变化归与题变化归．一、形变化归在数学问题的解答过程中，把问题的某一项信息或一组信息进行形式上的加工处理，使这项信息或这组信息与我们认知结构中(尤其是熟悉结构)的某项知识经验在形式上相近或相同，让问题由陌生变得熟悉，便于解题者思考和联想，为解题者拟订解题计划奠基铺路．这种处理信息的操作规律我们称为形变化归．如恒等变形、因式分解、配方、裂项、添项、换元、分类、移图、补形、数学语言化等解题方法都是形变化归在解题实践中的具体体现．从根本上说，这些解题手段没有改变问题信息的实质和内容，只是使信息的表述形式发生了变化．[例1]在数列{an}中，已知a2＝15，an＋1＝2an＋3n(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．[解]当n＝1时，由已知，得a2＝2a1＋3，即15＝2a1＋3，解得a1＝6.由an＋1＝2an＋3n，①两边同时除以3n＋1，得eq\f(an＋1,3n＋1)＝2×eq\f(an,3n＋1)＋eq\f(1,3)，即eq\f(an＋1,3n＋1)＝eq\f(2,3)×eq\f(an,3n)＋eq\f(1,3).②设bn＝eq\f(an,3n)，则②式变为bn＋1＝eq\f(2,3)bn＋eq\f(1,3).③设bn＋1＋m＝eq\f(2,3)(bn＋m)，即bn＋1＝eq\f(2,3)bn－eq\f(m,3)，令－eq\f(m,3)＝eq\f(1,3)，解得m＝－1.则bn＋1－1＝eq\f(2,3)(bn－1)，④所以数列{bn－1}是一个首项为b1－1＝eq\f(a1,3)－1＝eq\f(6,3)－1＝1，公比为q＝eq\f(2,3)的等比数列，故bn－1＝1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1，即bn＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1.由bn＝eq\f(an,3n)，得an＝3nbn＝3neq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1))＝3n＋3·2n－1(n∈N*)．⑤[反思领悟]此题解答中从①到②等式两边同除以3n＋1，从②到③是换元；从③到④是待定系数法；从④到⑤又是换元，这些恒等变形手段没有改变问题信息的实质，只是改变了信息的表述形式，但是，这种变形化归手段使信息清晰化、简单化，将一个复杂的递推数列{an}转化为一个简单的等比数列{bn－1}．[例2]已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，求证：eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＋eq\f(9,z)≥36.①[证明]eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＋eq\f(9,z)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)＋\f(9,z)))(x＋y＋z)＝14＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(4x,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(z,x)＋\f(9x,z)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4z,y)＋\f(9y,z)))②≥14＋4＋6＋12＝36.[反思领悟]此题是一个条件极值问题，信息①：x，y，z∈R＋；信息②：x＋y＋z＝1；信息③：关于x，y，z的不等关系eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＋eq\f(9,z)≥36.通过添项和并项手段将式①变为式②，问题在表述形式上发生了变化，虽然仍是一个条件极值问题，但解题思路已豁然开朗，这就是形变化归的效果．二、题变化归在数学习题的解答过程中，把数学问题的某一项信息或一组信息进行加工处理，使问题信息的形式得以更新，信息的内涵得到挖掘和拓展，使这项信息或这组信息与我们熟知的某项知识经验在内容上相近或相同，让问题由陌生变得熟悉，便于解题者思考和联想，为解题者拟订解题计划奠基铺路．这种加工处理信息的操作规律我们称为题变化归，如构造法、待定系数法、三角变换法、数形结合法、命题等价转化等都是题变化归．从本质上说，这些解题手段不仅改变了问题信息的表述形式，而且改变了问题信息的实质，使问题以新的形式和新的内容呈现出来．[例3]已知x2＋y2＝1，则eq\r(2＋x＋\r(3)y)＋2eq\r(2＋x－\r(3)y)的最大值为________．[解析]此题的信息有两项，信息①：实数x,y的关系式为x2+y2=1；信息②：求eq\r(2＋x＋\r(3)y)＋2eq\r(2＋x－\r(3)y)的最大值.eq\r(2＋x＋\r(3)y)＋2eq\r(2＋x－\r(3)y)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(\r(3),2)))2)＋2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))2).(ⅰ)令P(x，y)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，原问题转化为：点P是单位圆上的动点，A，B为单位圆上的定点，求|PA|＋2|PB|的最大值．(ⅱ)作出示意图如图所示，易知∠APB＝eq\f(1,2)∠AOB＝60°，由正弦定理将信息②进行形变化归：eq\f(|PA|,sin120°－A)＝eq\f(|PB|,sinA)＝eq\f(\r(3),sin60°)⇒|PA|＝2sin(120°－A)，|PB|＝2sinA，则|PA|＋2|PB|＝2sin(120°－A)＋4sinA＝5sinA＋eq\r(3)cosA＝2eq\r(7)sin(A＋φ)≤2eq\r(7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(\r(3),5)))，(ⅲ)所以|PA|＋2|PB|的最大值为2eq\r(7).[答案]2eq\r(7)[反思领悟]此题解答过程中首先利用信息①把信息②形变化归为(ⅰ)，然后再将信息①和(ⅰ)结合，进行题变化归得到(ⅱ)，将“求最值的代数问题”转化为“求单位圆中的线段和的最值问题”；将(ⅱ)转化为(ⅲ)也是题变化归，将“求单位圆中的线段和问题”转化为“一个三角函数最值问题”．此题进行一系列题变化归，使解题策略由茫然到朦胧，由朦胧到清晰，最后豁然开朗．[例4]已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根，求使得(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥ka2恒成立的实数k的最大值．[解]此题的信息有两项，信息①：实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实数根;信息②:求使得(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥ka2恒成立的实数k的最大值.令原方程的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).(ⅰ)k≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(b,a)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)－\f(c,a)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)－1))2＝(1＋x1＋x2)2＋(x1＋x2＋x1x2)2＋(x1x2－1)2＝2(xeq\o\al(2,1)＋x1＋1)(xeq\o\al(2,2)＋x2＋1)(ⅱ)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,2)))2＋\f(3,4)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,2)))2＋\f(3,4)))≥eq\f(9,8).(ⅲ)故实数k的最大值为eq\f(9,8).[反思领悟]该解法将信息①化为(ⅰ)是形变化归，信息②化为(ⅱ)既是形变化归，也是题变化归，将原问题转化为“两个二次函数的最值问题”；从(ⅱ)到(ⅲ)是形变化归．显然，该解法的过程，既是一系列形变化归的过程，也是题变化归的过程．而且形变化归是