2020-2021学年高一数学下学期期末测试卷01（人教B版2019）(解析版)

2020-2021学年高一数学下学期期末测试卷01

（考试范围：必修第三册第四册考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的。

Z

1.已知不=l+i,则复数z=（）

A.-l+3iB.l-3iC.3+iD.3-i

解析由题意知z=(l+i)(2+i)=2—l+3i=l+3i,

从而z=l-3i,选B.

答案B

2.如图所示的几何体是由下列哪个平面图形通过旋转得到的（）

解析由题图知平面图应是一个直角三角形和一个直角梯形构成，故D正确.

答案D

3.ZVIBC的三个内角4、B、C所对的边分别为a、b、c,若asinAsinB+6cos24=小”,

贝哈=()

A.2昭B.2y[2C.小D小

解析VasinAsinB+bcos2A=y/3a,；.由正弦定理，彳导sin%sinB+sin8cos2A=,sinA,

...sin8(sin2A+cos24)=小sirtA,；.sin8=A/5sirL4,.,.^^=巾.由正弦定理，得

小.

答案C

4.若有平面a与夕，且ar）H=/,a_L夕，P^a,P^l,则下列命题中的假命题为（）

A.过点P且垂直于/的直线在a内

B.过点P且垂直于a的直线平行于0

C.过点P且垂直于/的平面垂直于夕

D.过点P且垂直于夕的直线在a内

解析如图（1）,过P作PQ_L/,则PQ_LQ,过Q作在QR上任取一点R,连

PR则显然不满足PRca.：.A错误：如图⑵在I上取点Q,过Q在平面口内作bA.1

可知，bLa,又aJ_a,〃方，上，〃夕，，B正确；如图（3）,七夕，

...夕_Ly,；.C对；如图（4）由二面垂直的性质定理知D正确。

5.已知点0是△4BC所在平面内一点，且|沆F+而F=|为|2+|/|2=|醇F+|的2,

则。是（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

解析显然|沆F+|M|2=|加产+|启|2等价于衣2+嬴2=油2+/2,即：（^^一用力

+（Ae2-Ac2）=BC（dc+dfi）+cfi（AB+Ac）=BC-i（dc-Ac）+（dfi-A«）］=2Bca4=o,

可得OA_LBC,同理可得03_LAC,OC±AB,最终可得。为垂心.

答案D

6.如图所示，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高16cm,将一个球放

在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为12cm,若不计容器厚度，

则球的体积为（）

解析如图所示，作出球的一个域,面，则A/C=16—12=4(cm),8M=:A8=1xl6=

44000

8(cm).设球的半径为Rem,则R2=OM2+MB2=(R-4)2+82,：.R=\0.：.V

7t(cm3).

答案C

jr

7.函数y=4sin（cor+9）（①>0,|°|v/,x£R）的部分图象如图所示，则函数表达式为（）

A.

C.

71

[3G>4"6?=0,

解析由图可知，A=2且

9[一口+伊=-7T3

夕=一4兀

.,.y=2sin(^r-y)=-2sin(%+：).

答案A

8.己知向量”=（-1,1）,6=（3,江若|。+例不超过24，则4的取值范围是（）

A.[-3,5]B.[-5,3]C.[-4,2]D.[-2,4]

解析由|a+*2小平方得。2+2。心+人$20,由题意得2+2（-3+灯+9+庐S20,

即斤+2&—159），伏+5）伏—3）总），求得一5W公3.故选B.

答案B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分.

9.下图是函数产Asin（5+e）（xCR）在区间[一袭，著上的图象，为了得到这个函数的

图象，只要将y=sinx（xGR）的图象上所有的点（）

A.向左平移守个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变

B.向左平移,个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变

C.向把所得各点的横坐标缩短到原来的g倍，再左平移看个单位长度，纵坐标不变

D.向把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，再左平移专个单位长度，纵坐标不变

解析由图象可知A=l,7="一（一奇=兀，：,（o=专=2.

♦.,图象过点专，0）,.，.sin含+0）=0,.,号+0=兀，：.<p=]

：.y=sinx先向左平移力个单位长度后，再把所得各点的横坐标缩短到原来的机倍，纵坐

标不变，可得原函数的图象.或y=sinx先把所得各点的横坐标缩短到原来的;倍后，再向

■JT

左平移5个单位长度，纵坐标不变，可得原函数的图象.

答案BC

10.设z是复数，则下列命题中的真命题是（）

A.若z21。，则z是实数B.若z2<0,则z是虚数

C.若Z是虚数，则z220D.若z是纯虚数，则Z22。

解析设2=”+万（”，h£R）,

[ab=0,

选项A,z2=（a+bi）2=a2~b2+2abi^0,则,,

a2。-,

故。=0或a,6都为0,即z为实数，正确.

，出?=0,〃=0,

选项B,z1=（a+bi）2=cr-b2+2abi<0,则,,则故z一定为虚数，正

zz

[a<hf1。工0,

确.选项C,若z为虚数，则人W0,/=（〃+例）2=/—02+2H;i,由于4的值不确定，故z2

a=0,

无法与0比较大小，错误.选项D,若z为纯虚数，则则/=一〃<（）,错误.

力W0,

答案AB

11.定义平面向量之间的一种运算如下：对任意的。=（〃?，〃），b=（p,q）,令a

Gb=mq-np.下面说法错误的是（）

A.若。与b共线，则。。6=0

B.aQb=bQa

C.对任意的有Oa)OZ»=T(aOb)

D.(aQb)2+(ab)2^\a\2\b\2

解析若a=(m,")与。=(p,q)共线，则〃的一叩=0,依运算“。"知。。6=0,故A正

确.由于aOb="?q—〃p,义b©a=np—mq,因此。。力=-6。％故B不正确.对于C,

由于〃=(后n,即)，因此(痴)。6=为"4一力中，又一MaQ>b)=_Kmq-np)=­；.mq+2"p,故C

错误.对于D,(aQb)2+(a-b)2=m2q2—2mnpq+n2p2+(mp+nq)2=m\p2+q2)+n\p2+q2)=1

(m2+n2)(p2+?2)=|a|2|*|2,故D正确.

答案BC

12.如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r=l,母线长/=4,“为母线SA上的一个

点，且SM=x,从点〃拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.设式x)为绳子最短时，顶点到

绳子的最短距离；则式x)满足()

A.最小值为0B.最大值2吸

C.最小值2吸D.无最大值

解析将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧A4,的长度L

就是圆。的周长,

••乙=2兀/*=2元.

j2几

.•・NASM=%X360°=T^77X360O=90°.

27tz2兀X4

由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM,其值为AM=#X2+16(0WXW4).

绳子最短时，在展开图中作SRLAM,垂足为R,则SR的长度为顶点S到绳子的最短

距离，在△SAM中，•；SASAA/=]S4SM=]AA7，SR,SR——笛"-]((0WxW4),

4x

即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为WxW4).

4r4

当今0时，fix）^-j====—/，/在0<xW4上为增函数。

++164+号

，综上可知，式x）在0WxW4上为增函数。

/.当x=0时，段）取最小值为0,当x=4时，兀v）取最大值2啦

答案AB

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.

13.已知平面向量a、B，|a|=l,叫=3,al(a-2#),贝”2a+M的值是.

解析由aJ4a—24)得a(a-2/?)=0,二/一2/0=0.又：|a|=1,

又Y叫=3,A|2a+fi\=.2a+加^4a2+4afi+fl2=勺4+4乂；+9=小.

答案V15

14.已知复数zi=sin9+i,Z2=cos。-i,则zg的实部最大值为,虚部最大值

为.

解析zi-Z2=(sin0+i>(cos。-i)=(cos0sin0+1)+i(cos0—sin。)

133

实部cos0sin^+I=I+/sin2。g，最大值为全....................2分

虚部cos。-sin9=啦cos(0+：)q/^,最大值为啦...................3分

□

答案16

15.ZVIBC中，ZB=60°,AC=y/3,则A8+28C的最大值为.

解析在△ABC中，根据券=篝=悬,得回篇sinC=|sinC=2sinC,同理

2

BC=2sinA.所以AB+2BC=2sinC+4sinA=2sinC+4sin（120°-C）=4sinC+25cosC=2币

sin（C+w）（tan0=坐，且“是第一象限角）.又0<NC<120°,故AB+28c的最大值为2币.

答案2币

16.如图所示，在长方形A8CO中，AB=2,BC=1,E为。C的中点，尸为线段EC（端

点除外）上一动点.现将△AFD沿AF折起，使平面A3£>_L平面ABC.在平面ABD内过点D

作。K_LA8,K为垂足，设AK=r,则r的取值范围是

解析此题的求解可考虑尸与E重合和尸与C重合这两个极端位置.当尸位于力C的

中点E时，点K与AB的中点重合，r=l.

尸点右移至C点时，因CB_LAB,CBLDK,，C8_L平面AD8,即有CB_LBQ,

"：CD=2,BC=\,：.BD=y[3,又40=1,AB=2,：.ADLBD,则有r=:

因此f的取值范围是g,1).

答案(1,1)

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤.

17.(10分)已知z是复数，z—2i,均为实数(i为虚数单位)，对于复数v=(z+〃i)2,

当a为何值时，m为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.

解析设2=工+行。，yGR),

z—2i=x+(y—2)i,由题意得y=2,

-jv+2iI1]

我=^"=§(x+2i)(2—i)=5(2x+2)+m(4-x)i.

由题意得x=4,，z=4+2i.

Vw=(z+ai)2=(12-4a-a2)+8(«+2)i,

(l)m为实数，则a+2=0,：.a=~2,

即12+4X2—2?=16.

(2)zu为虚数，只要a+2#0,一2.

(3)"为纯虚数，只要12—4。一/=0且a+2W0,

...a=2或a=—6.

18.(12分)如图所示，A,B,C,。为空间四点.在△4BC中，AB=4,AC=BC=2小,

等边△AOB以AB为轴运动.

(1)当平面AOB_L平面ABC时，求CD；

(2)当AAOB转动时，是否总有ABLCD?证明你的结论.

D

解析(1)取A8的中点E,连结DE,CE,

因为△AOS是等边三角形，

D

所以DELAB.当平面J_平面ABC时，

因为平面AOBP平面ABC=AB,

所以DE1平面A8C,可知DEICE,

由已知可得DE=2小，EC=2,

在RtAOEC中，CD=yDE2+EC』4.

(2)当AAOB以48为轴转动时，总有A8_LCD

证明如下：①当O在平面A8C内时，因为4c=8C,AD=BD,

所以C,。都在线段A8的垂直平分线上，即A8_LCD

②当。不在平面A8C内时，由(1)知A8_LL>E

又因AC=BC,所以A8LCE.又。E,CE为相交直线，

所以AB_L平面CDE,由COu平面CDE,得ABLCD.

综上所述，总有A8_LCD

19.(12分)设函数fix)—sin2x+cos^2x+^.

(1)求函数./U)的最小正周期和最大值；

(2jBC的内角A,B,C的对边分别为“，h,c,。=3,冠=一;，若向量机=(3,

sinA）与〃=（6,sin3）共线，求a,b的值.

解析（1VU）=sin2x+cos^2x+^=-~~^^+（；cos2x一坐sin2x）=义一半sin2x.

的最小正周期7=§=兀

当2x=-：+2E,kGZ,即工=—j+E,1WZ时，儿1）取得最大值,今后.

（2）由（£）=一；,即/一坐sinC=一；,得sinC=坐.

V/n与〃共线，3sinB-6sinA=0.

由就i=备，得6=2。①

TT

当C为锐角时,C=j.

Vc=3,9=a1+b2-2abco^.②

由①②得a=$,b=2®

同理，当C为钝角时，C=|TT,a=斗，6=单.

答案a=小，b=2小或6=邛^

20.（12分）已知函数段）=4sin（0x+0）,x@R（其中A>0,0>0,0<夕号的周期为兀，且

图象上一个最低点为M（年2兀，-3）.

（1）求7U）的解析式；

(2)当xG[0,回时,求外)的最值.

2兀

解析(1)由最低点为Mfy,-2),得4=3.

_L小/«2兀2兀八

由7=兀，仔/=彳=—=2.

1兀

由点M(,，-2)在图象上，得2sin(与+p)=-2,

4兀

即sin(—+^)=—1.

47r7T

所以3~+9=2也一](k£Z).

11兀

故(p=2kTL—^~(keZ).

71

又夕G(0,2)»

所以

所以/(x)=3sin(2jv+。

jr7E7T7T

（2）因为x£[0,五],所以2r+1W|不辛.

所以当2r+（弋,即x=0时，危）取得最小值会

当2x+1=g,即工=专时，府）取得最大值本G

21.（12分）设锐角三角形A8C的内角ABC的对边分别为加inA

（1）求B的大小；（2）求cosA+sinC的取值范围.

解析（1）由〃=2bsiM,根据正弦定理得sinA=2sin8sinA,

1TT

所以sinB=^,由△ABC为锐角三角形得8=工.

Zo

7171

(2)cosA+sinC=cosA+sin(7i—A)=cosA+sin(A+g)