高中数学《第五章 一元函数的导数及其应用》单元检测试题与答案解析（共四套）

高中数学选择性必修二《第五章一元函数的导数及其应用》单元检测试卷（一）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．函数的导函数为（）A．B．C．D．2．曲线在点处切线的斜率为（）A．1B．2C．3D．43．如图是函数的导函数的图像，则下面判断正确的是(

)A．在区间（-2,1）上是增函数B．在区间（1,3）上是减函数C．在区间（4,5）上是增函数D．当时，取极大值4．设曲线在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝()A．0B．1C．2D．35．已知定义在上函数的导函数为，，有，且.设，，，则（）.A．B．C．D．6．直线是曲线和曲线的公切线，则（）A．B．C．D．7．设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为（）A．B．C．D．8．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）9．若直线是函数图像的一条切线，则函数可以是（）A．B．C．D．10．对于函数，下列说法正确的是（）A．在处取得极大值B．有两个不同的零点C．D．若在上恒成立，则11．如果函数的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的是（）A．函数在区间内单调递增B．函数在区间内单调递减C．函数在区间内单调递增D．当时，函数有极大值12．已知函数，若在区间上的最大值为28，则实数k的值可以是（）A．B．C．D．第II卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为__________．14．已知函数在处有极小值10，则___________．15．已知函数，若正实数满足，则的最小值是__________．16．已知函数有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是_____.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70分）17．已知，在与处都取得极值.（1）求实数，的值；（2）若对任意，，都有成立，求实数的取值范围.18．已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若恒成立，求的取值范围.19．设函数.（1）求函数的极大值点；（2）若关于x的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围.20．已知函数，其中.曲线在点处的切线斜率为.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求证：.21．已知函数（a为常数）.（1）当时，求过原点的切线方程；（2）讨论的单调区间和极值；（3）若，恒成立，求a的取值范围.22．已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；（2）若对都有成立，试求实数的取值范围；答案解析第I卷（选择题）单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．函数的导函数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，故选：.2．曲线在点处切线的斜率为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】的导数为，可得曲线在点处切线的斜率为.故选：C.3．如图是函数的导函数的图像，则下面判断正确的是(

)A．在区间（-2,1）上是增函数B．在区间（1,3）上是减函数C．在区间（4,5）上是增函数D．当时，取极大值【答案】C【解析】选项A,区间（-2,1）导函数先是负后是正,所以原函数先减后增,A错误选项B,区间（1,3）导函数先是正后是负,所以原函数先增后减,B错误选项C,区间（4,5）导函数恒大于0，原函数单调递增，C正确选项D，当处，左边减右边增，取极小值，D错误答案是C4．设曲线在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝()A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】，，当x＝0时，y′＝a－1.故曲线在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，即：，从而a－1＝2，即a＝3.本题选择D选项.5．已知定义在上函数的导函数为，，有，且.设，，，则（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】设，，即，所以函数是偶函数，并且，所以函数在单调递减，，，，因为，所以，即.故选：D6．直线是曲线和曲线的公切线，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，，则，由，可得，则，即点，将点的坐标代入直线的方程可得，可得，①，则，由，可得，，即点，将点的坐标代入直线的方程可得，，②联立①②可得，.故选：C.7．设函数，若是函数是极大值点，则函数的极小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∵是函数的极大值点，∴，解得，∴，∴当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；∴当时，有极小值，且极小值为．故选A．8．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，可得，当，，当或时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，可得，令，可得或，则的图像如图所示，因为函数在区间上有最小值，故，解得：，故选：C.二、多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）9．若直线是函数图像的一条切线，则函数可以是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】直线的斜率为，由的导数为，即切线的斜率小于0，故A不正确；由的导数为，而，解得，故B正确；由的导数为，而有解，故C正确；由的导数为，而，解得，故D正确，故选：BCD10．对于函数，下列说法正确的是（）A．在处取得极大值B．有两个不同的零点C．D．若在上恒成立，则【答案】ACD【解析】由已知，，令得，令得，故在上单调递增，在单调递减，所以的极大值为，A正确；又令得，即，只有1个零点，B不正确；函数在上单调递减，因为，所以，故C正确；若在上恒成立，即在上恒成立，设，，令得，令得，故在上单调递增，在单调递减，所以，，故D正确.故选：ACD11．如果函数的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的是（）A．函数在区间内单调递增B．函数在区间内单调递减C．函数在区间内单调递增D．当时，函数有极大值【答案】CD【解析】对于A选项，当时，，则函数在区间上单调递减，A选项错误；对于B选项，当时，，则函数在区间上单调递增，B选项错误；对于C选项，当时，，则函数在区间上单调递增，C选项正确；对于D选项，当时，，当时，，所以，函数在处取得极大值，D选项正确.故选：CD.12．已知函数，若在区间上的最大值为28，则实数k的值可以是（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】因为，所以，令，解得，所以在和时，，在时，，所以函数在和上单调递增，函数在上单调递减，则在内单调递增，所以在内，最大；在时单调递减，所以在内，最大；在时单调递增，所以在内，最大；因为，且在区间上的最大值为28，所以，即k的取值范围是，故选：AB.第II卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．已知函数f(x)=exlnx，为f(x)的导函数，则的值为__________．【答案】e【解析】由函数的解析式可得：，则，即的值为e，故答案为.14．已知函数在处有极小值10，则_____．【答案】【解析】因为，所以，又函数在处有极小值10，且，解得，或，当时，此时，是函数的极小值点，当时，，此时，不是函数的极小值点，，，故答案为：15．已知函数，若正实数满足，则的最小值是__________．【答案】【解析】因为，所以函数为单调递增奇函数，因此由，得因此，当且仅当时取等号.16．已知函数有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】因为函数有且仅有一个极值点，所以只有一个解，即，只有一个解，即与只有一个交点，因为，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，当时，；当时，，画出函数的草图如下：结合图象可得或，解得或，当时，，所以，令，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以恒成立，所以在上单调递减，所以函数没有极值点.所以实数的取值范围是.故答案为：四、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70分）17．已知，在与处都取得极值.（1）求实数，的值；（2）若对任意，，都有成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2），，.【解析】（1），，在与处都取得极值，与是的两根，即，解得，.（2）由（1）知，，，令，则或，和随在，上的变化情况如下表所示：，，，1，00极小值极大值，极大值为（1），在，上的最大值为，对任意，，都有成立，，解得或.故实数的取值范围为，，.18．已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】Ⅰ；Ⅱ.【解析】时，函数，可得，所以，时，．曲线则处的切线方程；即：；由条件可得，则当时，恒成立，令，则，令，则当时，，所以在上为减函数．又，所以在上，；在上，．所以在上为增函数；在上为减函数．所以，所以．19．设函数.（1）求函数的极大值点；（2）若关于x的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），所以在，上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，函数的极大值点为.（2），可化为，即在区间上有两个不同的实数根，令，，则在上，函数单调递增，在上，函数单调递减，所以，又，，故原方程有两个不同实数解时的的取值范围为.20．已知函数，其中.曲线在点处的切线斜率为.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求证：.【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）证明见解析.【解析】（Ⅰ），由题意可知，，故；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，易得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极大值也是最大值，故.21．已知函数（a为常数）.（1）当时，求过原点的切线方程；（2）讨论的单调区间和极值；（3）若，恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.【解析】（1）当时，，则，设切点坐标为，∴，解得，∴，∴过原点的切线方程；（2），∴，当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值；当时，令，解得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，∴，无极大值；（3），恒成立，即在上恒成立，当时，恒成立，当时，，设，，∴恒成立，∴在上单调递减，∴，∴，综上所述.22．已知函数.（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；（2）若对都有成立，试求实数的取值范围；【答案】（1）的单调增区间是，单调减区间是;（2）.【解析】（1）直线的斜率1.函数的定义域为，，所以，解得.所以，.由解得；由解得，所以的单调增区间是，单调减区间是.（2），由解得；由解得.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，函数取得最小值，，因为对于都有成立，所以只须即可，即，解得.高中数学选择性必修二《第五章一元函数的导数及其应用》单元检测试卷（二）一、单选题1．设函数，则（）A．0B．1C．2D．－12．已知函数，求()A．B．5C．4D．33．已知函数，且，则曲线在处的切线方程为（）A．B．C．D．4．若函数不是单调函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．5．函数y=xlnx的图象大致是()A．B．C．D．6．已知函数，则()A．B．eC．D．17．函数有（）A．极大值6，极小值2B．极大值2，极小值6C．极小值－1，极大值2D．极小值2，极大值88．若函数的最大值为，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．二、多选题9．（多选题）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）A．B．C．D．10．直线能作为下列（）函数的图像的切线.A．B．C．D．11．已知函数f（x）的定义域为R且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的有（）A．函数f（x）的减区间是（-，-2）B．函数f（x）的增区间是（-2，+）C．x=-2是函数的极小值点D．x=2是函数的极小值点12．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A．函数在区间内单调递增B．当时，函数取得极小值C．函数在区间内单调递增D．当时，函数有极小值三、填空题13．曲线y＝x2+lnx在点（1，1）处的切线方程为_____．14．函数的单调递增区间为_______.15.若函数在处取得极小值，则__________．16．已知函数则的最小值为_____，最大值为____.四、解答题17．设，（），曲线在点处的切线垂直于轴.（1）求的值；（2）求函数的单调区间.18．已知函数在处有极值.（1）求的值；（2）求函数在上的最大值与最小值.19．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，（万元）；当年产量不小于7万件时，（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.（1）写出年利润（万年）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取）.20．已知曲线的方程是．（1）求曲线在处的切线方程；（2）若，且直线与曲线相切于点，求直线的方程及切点坐标．21．已知函数(mR)（1）当时，①求函数在x=1处的切线方程；②求函数在上的最大，最小值．（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；22．已知函数．（1）若函数有两个零点，求的取值范围；（2）证明：当时，关于的不等式在上恒成立．答案解析一、单选题1．设函数，则（）A．0B．1C．2D．－1【答案】B【解析】因为，所以.故选：B.2．已知函数，求()A．B．5C．4D．3【答案】B【解析】由题意，函数，则，所以.故答案为：B.3．已知函数，且，则曲线在处的切线方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，解得，即，，则，，曲线在点处的切线方程为，即.4．若函数不是单调函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】的定义域为，，令解得.由于函数在上不是单调函数，所以，解得.故选：D5．函数y=xlnx的图象大致是()A．B．C．D．【答案】D【解析】因为y=xlnx，故可得令，可得；令，可得，故函数在区间上单调递减，在区间单调递增，又因为当时，，故排除；又时，，故函数在区间上有一个零点，故排除C.故选：D.6．已知函数，则()A．B．eC．D．1【答案】C【解析】由题得，所以.故选：C.7．函数有（）A．极大值6，极小值2B．极大值2，极小值6C．极小值－1，极大值2D．极小值2，极大值8【答案】A【解析】令，解得，则随的变化如下表所以，当时，函数有极大值为；当时，函数有极小值为.故选:A.8．若函数的最大值为，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，，，若，则在恒成立，在，且时，，函数的最大值不可能为，，当时，得，当时，，在单调递增，在单调递减，，当时，，，故选：C.二、多选题9．（多选题）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】由奇函数定义可知，A、B、D均为奇函数，C为偶函数，所以排除C；对于选项A，，所以在上单调递增；对于选项B，，所以在上单调递增；对于选项D，，所以在上单调递增.故选：ABD10．直线能作为下列（）函数的图像的切线.A．B．C．D．【答案】BCD【解析】，故，无解，故排除；，故，故，即曲线在点的切线为，正确；，故，取，故曲线在点的切线为，正确；，故，故，曲线在点的切线为，正确；故选：.11．已知函数f（x）的定义域为R且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的有（）A．函数f（x）的减区间是（-，-2）B．函数f（x）的增区间是（-2，+）C．x=-2是函数的极小值点D．x=2是函数的极小值点【答案】ABC【解析】当时，，故，函数单调递增；当时，，故，函数单调递增；当时，，故；当时，，故，函数单调递减；对比选项知：故正确.故选：.12．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A．函数在区间内单调递增B．当时，函数取得极小值C．函数在区间内单调递增D．当时，函数有极小值【答案】BC【解析】对于A，函数在区间内有增有减，故A不正确；对于B，当时，函数取得极小值，故B正确；对于C，当时，恒有，则函数在区间上单调递增，故C正确；对于D，当时，，故D不正确.故选：BC三、填空题13．曲线y＝x2+lnx在点（1，1）处的切线方程为_____．【答案】【解析】，在点（1，1）处的切线斜率为，所以切线方程为.14．函数的单调递增区间为_______.【答案】【解析】函数有意义，则：，且：，由结合函数的定义域可得函数的单调递增区间为，故答案为.15.若函数在处取得极小值，则__________．【答案】【解析】求导函数可得，所以，解得或，当时，，函数在处取得极小值，符合题意；当时，，函数在处取得极大值，不符合题意，不符合题意，所以.16．已知函数则的最小值为_____，最大值为____.【答案】【解析】则当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则当时，；又，所以.故答案为：；.四、解答题17．设，（），曲线在点处的切线垂直于轴.（1）求的值；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）；（2）的单调递增区间为，单调递减区间为.【解析】（1）由于，依题意，解得.（2）由（1）知，所以在上递增，在上递增.也即的单调递增区间为，单调递减区间为.18．已知函数在处有极值.（1）求的值；（2）求函数在上的最大值与最小值.【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为【解析】（1）由题可知，，的定义域为，，由于在处有极值，则，即，解得：，，（2）由（1）可知，其定义域是，，令，而，解得，由，得；由，得，则在区间上，，，的变化情况表如下：120单调递减单调递增可得，，，由于，则，所以，函数在区间上的最大值为，最小值为.19．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，（万元）；当年产量不小于7万件时，（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.（1）写出年利润（万年）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取）.【答案】（1）（2）当年产量约为万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为万元【解析】（1）产品售价为元，则万件产品销售收入为万元.依题意得，当时，，当时，，；（2）当时，，当时，的最大值为（万元），当时，，当时，单调递增，当单调递减，当时，取最大值（万元），当时，取得最大值万元，即当年产量约为万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为万元.20．已知曲线的方程是．（1）求曲线在处的切线方程；（2）若，且直线与曲线相切于点，求直线的方程及切点坐标．【答案】（1）；（2）直线的方程为，切点坐标为．【解析】（1）∵，∴，∴，∴的斜率为，且过点，∴直线的方程为，即；（2）直线过原点，则，由点在曲线上，得，∴，又，所以，又，∴，整理得，∵，∴，此时，，∴直线的方程为，切点坐标为．21．已知函数(mR)（1）当时，①求函数在x=1处的切线方程；②求函数在上的最大，最小值．（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；【答案】（1）①；②函数在上的最大值为，最小值为；（2）.【解析】（1）当时，.①当x=1时，，所以函数在x=1处的切线的斜率为，因此切线方程为：；②因为，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数有极小值，而，所以函数在上的最大值为，最小值为；（2），因为函数在上单调递增，所以在时恒成立，即在时恒成立，设，，因为当时，函数单调递增，所以，因此要想在时恒成立，只需.所以当函数在上单调递增时，实数的取值范围为.22．已知函数．（1）若函数有两个零点，求的取值范围；（2）证明：当时，关于的不等式在上恒成立．【答案】（1）；（2）【解析】（1）令，；令，，令，解得，令，解得，则函数在上单点递增，在上单点递减，．要使函数有两个零点，则函数的图像与有两个不同的交点．则，即实数的取值范围为．（2），；设，；设，，则在上单调递增.又，.，使得，即，.当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减..设，.当时，恒成立，则在上单调递增，，即当时，.当时，关于的不等式在上恒成立.高中数学选择性必修二《第五章一元函数的导数及其应用》单元检测试卷（三）一、选择题1．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A．2B．C．D．2．若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是()A．[-1，+∞]B．（-1，+∞）C．（-∞，-1]D．（-∞，-1）3．设，若函数，有大于零的极值点，则（）A．B．C．D．4．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的0<a<b，则必有()A．af(b)≤bf(a)B．bf(a)≤af(b)C．af(a)≤f(b)D．bf(b)≤f(a)5．（多选题）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（）A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于点对称C．对任意，都有D．函数的最小值为-36．（多选题）已知函数f(x)=,下列结论中正确的是（）A．,f()=0B．函数y=f(x)的图像是中心对称图形C．若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,）单调递减若是f（x）的极值点，则()=0二、填空题7．曲线在点处的切线的斜率为，则________．8．已知函数在区间上存在最小值，则a的取值范围为_______．9．在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________．10．设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是________．二、解答题11．已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．12．设函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.答案解析一、选择题1．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A．2B．C．D．【答案】D【详解】,直线的斜率为-a.所以a=-2,故选D2．若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是()A．[-1，+∞]B．（-1，+∞）C．（-∞，-1]D．（-∞，-1）【答案】C【解析】由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故Ｃ为正确答案．3．设，若函数，有大于零的极值点，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，则，若函数在x∈R上有大于零的极值点．即有正根，当有成立时，显然有，此时．由，得参数a的范围为．故选B．4．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的0<a<b，则必有()A．af(b)≤bf(a)B．bf(a)≤af(b)C．af(a)≤f(b)D．bf(b)≤f(a)【答案】A【解析】因为xf′(x)≤－f(x)，f(x)≥0，所以′＝≤≤0，则函数在(0，＋∞)上单调递减．由于0<a<b，则，即af(b)≤bf(a)5．（多选题）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（）A．函数的最小正周期为B．函数的图象关于点对称C．对任意，都有D．函数的最小值为-3【答案】BCD【详解】A.因为的周期分别是，其最小公倍数为，所以函数函数的最小正周期为，故错误；B.因为，故正确；C.，故正确；D.,故正确；故选：BCD6．（多选题）已知函数f(x)=,下列结论中正确的是（）A．,f()=0B．函数y=f(x)的图像是中心对称图形C．若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,）单调递减D．若是f（x）的极值点，则()=0【答案】ABD【解析】由于三次函数的三次项系数为正值，当x→－∞时，函数值→－∞，当x→＋∞时，函数值也→＋∞，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x轴，即一定∃x0∈R，f(x0)＝0，选项A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x＋m)3＋n(x＋m)＋h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为y＝x3＋nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，选项B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x1，x2，则极小值点x2＞x1，即函数在－∞到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选项D中的结论正确.二、填空题7．曲线在点处的切线的斜率为，则________．【答案】【详解】解：则，所以故答案为-3.8．已知函数在区间上存在最小值，则a的取值范围为_______．【答案】【详解】，时，或，当或时，，当时，，所以函数的单调递增区间是和，函数的单调递减区间是，所以函数的极大值点是，极小值点是0，且，那么当，解得：或所以函数在区间上存在最小值，则，解得：.9．在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________．【答案】【详解】设圆心到直线距离为，则所以令（负值舍去）当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为.10．设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是________．【答案】【详解】设，，由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，，当时，；当时，.所以，函数的最小值为.又，.直线恒过定点且斜率为，故且，解得，故选D.三、解答题11．已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（2）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（1）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（2）设，则.当时，，所以在区间上单调递减.所以对任意有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.12．设函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.【解析】试题分析：（1）求函数f（x）的导数，根据，求切线方程；（2）根据导函数判断函数f（x）的单调性，由函数有三个不同零点，求c的取值范围；（3）从两方面必要性和不充分性证明，根据函数的单调性判断零点个数.试题解析：（1）由，得．因为，，所以曲线在点处的切线方程为．（2）当时，，所以．令，得，解得或．与在区间上的情况如下：所以，当且时，存在，，，使得．由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．（3）当时，，，此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．当时，只有一个零点，记作．当时，，在区间上单调递增；当时，，在区间上单调递增．所以不可能有三个不同零点．综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．故是有三个不同零点的必要条件．当，时，，只有两个不同零点，所以不是有三个不同零点的充分条件．因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．高中数学选择性必修二《第五章一元函数的导数及其应用》单元检测试卷（四）一、选择题1．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为A．B．C．D．2．对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．是的零点B．1是的极值点C．3是的极值D．点在曲线上3．已知函数在R上可导且，其导函数满足，，若函数满足，下列结论错误的是（）A．函数在上为增函数B．是函数的极小值点C．时，不等式恒成立D．函数至多有两个零点4．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．5．（多选题）关于函数，下列结论正确的有（）A．在上是增函数B．存在唯一极小值点C．在上有一个零点D．在上有两个零点6．（多选题）已知：是奇函数，当时，，，则（）A．B．C．D．二、填空题7．在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.8．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是圆O的直径，上底C、D的端点在圆周上，则所裁剪出的等腰梯形面积最大值为_______________.9．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________．10．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为____.三、解答题11．已知函数．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．12．已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b²>3a;（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围．答案解析一、选择题1．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为A．B．C．D．【答案】D【解析】因为曲线，所以切线过点（4，e2）∴f′（x）|x=4=e2，∴切线方程为：y-e2=e2（x-4），令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），令x=0，y=-e2，与y轴的交点为：（0，-e2），∴曲线在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|-e2|=e2.2．对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．是的零点B．1是的极值点C．3是的极值D．点在曲线上【答案】A【解析】若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．3．已知函数在R上可导且，其导函数满足，，若函数满足，下列结论错误的是（）A．函数在上为增函数B．是函数的极小值点C．时，不等式恒成立D．函数至多有两个零点【答案】C【详解】，，则，时，，故在递增，选项正确；时，，故在递减，故是函数的极小值点，故选项正确；由在递减，则在递减，由，得时，，故，故，故选项错误；若（2），则有2个零点，若（2），则函数有1个零点，若（2），则函数没有零点，故选项正确．故选：C4．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】∵，即，（1）当时，，当时，，故当时，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当函数单增，当函数单减，故，所以．当时，在上恒成立；综上可知，的取值范围是，故选C．5．（多选题）关于函数，下列结论正确的有（）A．在上是增函数B．存在唯一极小值点C．在上有一个零点D．在上有两个零点【答案】ABD【详解】由已知得，，，恒成立，在上单调递增，又时，且存在唯一实数，使，即，所以在上是增函数，且存在唯一极小值点，故A,B选项正确.且在单调递减，单调递增，又，，，所以在上有两个零点，故D选项正确，C选项错误.故选：ABD.6．（多选题）已知：是奇函