2021-2022学年上海市五十二中高考冲刺数学模拟试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角〃条形码粘贴处〃o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知数列｛a„｝满足log3«„+1=log3a„+1eN）且4+4+4=9,则l°g；3+/+%）的值是（）

9

A.5B.-3C.4D.—

91

2.在复平面内，复数z=2二（i为虚数单位）对应的点位于（）

1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数

可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不

超过15的素数中，随机选取2个不同的素数b,则-4<3的概率是（）

1412

A.—B.—C.—D.一

51535

,vz111、2「,ll1、

4.已知无穷等比数列仅“｝的公比为2,且hm（—+—+…+---）=-,贝！|hm（一+—+••-+——）=（）

'I，4%«2„-i328a2%a2n

124

A.-B.-C.1D.一

333

5.在一个数列中，如果都有4臼用4+2=火（人为常数），那么这个数列叫做等积数列，攵叫做这个数列的

公积.已知数列｛。“｝是等积数列，且4=1,阻=2,公积为8,则4+0+…+/20=（）

A.4711B.4712C.4713D.4715

6.如图，四边形ABC。为平行四边形，E为AB中点，尸为CO的三等分点（靠近。）若/=方后，贝”一*

的值为（)

121

A.

233

7.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡

诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有

A.72种B.36种C.24种D.18种

a>h\1

8.定义「已知函数f(x)=^—―，gM=-——厂，则函数E(x)=/(x)位g(x)的最小值

b,a<b2-sinx2-cosx

为()

24

A.-B.1C.-D.2

33

9.已知集合A={x|x<0},B=1x|x24-/n¥-12=0j,若AI6={-2},则加二()

A.4B.-4C.8D.一8

10.已知函数/(x)=/，若/(2a—1)>/(()),则。的取值范围为()

A.(；，+8)B.(0,1)C.(；/)(°，£)

]3

11.已知a=logi213空)"，c=log1314,则a,A,c的大小关系为()

A.a>b>cB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

(1Y°

12.-xx2--^的展开式中有理项有()

(2也)

A.3项B.4项C.5项D,7项

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

21

13.已知x>0,y>0,且一+—=1,若x+2y>m2+2加恒成立，则实数机的取值范围是.

xy

已知(1+—)(1_2力7=21

14.-+a0+aix+a1X+-+a1x,则生

X

%+4++…+%=___________________________

15.如图梯形ABCO为直角梯形，AB±AD.CDrAD,图中阴影部分为曲线y=/与直线x=x+2围成的平面图形,

向直角梯形ABCQ内投入一质点，质点落入阴影部分的概率是

16.已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为9万和15乃，则该圆锥的体积为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在三棱柱ABC-A'3'C'中，M.N、F分别是AC、BC、A'C的中点.

（1）证明：MN”平面CFB'；

（2）若底面A'3'C'是正三角形，A;C=l,C在底面的投影为F,求B'到平面AA'C'C的距离.

18.（12分）已知数列｛4｝中，（实数。为常数），4=2,S“是其前〃项和，¥=〃（”；♦）且数列｛〃｝是等

比数列，4=2,为恰为邑与4-1的等比中项.

（1）证明：数列｛%｝是等差数列；

（2）求数列｛a｝的通项公式；

（3）若9=彳，当“N2时9,=厂”+厂工^+…+懑，匕｝的前〃项和为北，求证：对任意〃22,都有

12Tfl>6n+13.

19.（12分）在△ABC中，角A,B,。所对的边分别为b,c,且。=/?cosC+csin3.

（1）求8的值；

（2）设N3AC的平分线A£＞与边交于点O,已知4。=亍，cosA=--,求b的值.

20.（12分）（选修4-4：坐标系与参数方程）

在平面直角坐标系xQy,已知曲线C：""""""（。为参数），在以。原点为极点，X轴的非负半轴为极轴建立

y=sin。

的极坐标系中，直线/的极坐标方程为乎夕cos（e+?）=-i.

（1）求曲线c的普通方程和直线/的直角坐标方程：

（2）过点M（—1,0）且与直线/平行的直线4交C于A,B两点,求点M到A,B的距离之积.

21.（12分）椭圆。：£+左=1（。＞力＞0）的右焦点尸（夜,0）,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为

3VL

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点（2,0）且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点.。为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，求四边形

OMAN面积的最大值.

22.（10分）本小题满分14分）

已知曲线C的极坐标方程为夕=4sin9,以极点为原点，极轴为K轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线/的

,1

F

参数方程为「（f为参数），求直线/被曲线C截得的线段的长度

*+1

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

由log,a„+\=log,a„+1,可得an+l=3q,,所以数列｛凡｝是公比为3的等比数列，

c八9

所以。2+。4+4=。2+9。2+81%=91%=9,则%=一

3

贝pogI（%+。5+%）=logI（34+27%+243生）=log13=-3t故选B

333

点睛：本题考查了等比数列的概念，等比数列的通项公式及等比数列的性质的应用，试题有一定的技巧，属于中档试

题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，等比数列的性质和在

使用等比数列的前“项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

2.C

【解析】

化简复数为a+初①、的形式，可以确定z对应的点位于的象限.

【详解】

解：复数z=^=^j^=-（万一—2i

故复数二对应的坐标为（-1,-2）位于第三象限

故选：C.

【点睛】

本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题.

3.B

【解析】

先列举出不超过15的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数“、力，

满足-4<3”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】

不超过15的素数有：2、3、5、7、11、13,

在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数，所有的基本事件有：（2,3）、（2,5）、（2,7）、/（再）一/（乙）、（2,13）、

（3,5）、（3,7）、（3,11）、（3,13）、（5,7）、（5,11）、（5,13）、（7,11）、（7,13）、（11,13）,共15种情况，

其中，事件“在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数〃、b,且|a-向<3”包含的基本事件有：（2,3）、（3,5）、

（5,7）、（11,13）,共4种情况，

4

因此，所求事件的概率为P=百.

故选：B.

【点睛】

本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.

4.A

【解析】

依据无穷等比数列求和公式，先求出首项％,再求出生,利用无穷等比数列求和公式即可求出结果。

【详解】

.1,1

因为无穷等比数列伍“｝的公比为2,则无穷等比数列｛7｝的公比为,。

1

由lim（L+'+…+」一）=,有，,解得4=2,所以a,=4,

"Xa,%生,1313■

1-----

4

]_

lim（L+'+…，故选A。

a-«2«4«2„1-13

4

【点睛】

本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用。

5.B

【解析】

计算出%的值，推导出%+3N*）,再由2020=3x673+1,结合数列的周期性可求得数列｛叫的前2020项

和.

【详解】

8，

由题意可知",4+4+2=8,则对任意的〃eN*，q尸°，则a。%=8,：•%=---=4,

02

由44+9“+2=8,得4+4+24“+3=8，,凡4+。+2=%+q+24:+3，,4“+3=%，

2020=3x673+1,因此，q+%H---=673（q+4+/）+4=673x7+1=4712.

故选：B.

【点睛】

本题考查数列求和，考查了数列的新定义，推导出数列的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等

题.

6.D

【解析】

使用不同方法用表示出AF，结合平面向量的基本定理列出方程解出.

【详解】

解：AF=AD+DF=-AB+AD,

3

又,户=xAC+yDE=x(AB+AD)+y(gAB-AD)=(x+1y}AB+(x—y)AD

.f5

y1x=—

XH—=-Q

23解得，，所以y-x=T

,4

x-y=1y=——

LI9

故选：D

【点睛】

本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题.

7.B

【解析】

根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科

医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可.

【详解】

2名内科医生，每个村一名，有2种方法，

3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1

名护士，

若甲村有1外科,2名护士，则有二;：二；=3x3=9,其余的分到乙村，

若甲村有2外科,1名护士，则有二：二；=3x3=9,其余的分到乙村，

则总共的分配方案为2x(9+9)=2xl8=36种，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.

8.A

【解析】

根据分段函数的定义得F(x)>/(x),F(x)>g(x),则2F(x)>/(x)+g(x),再根据基本不等式构造出相应的所需的

形式，可求得函数的最小值.

【详解】

依题意得尸(x)2/(x),F(x)>,则2F(x)2/(x)+g(x),

11111,,

/(x)+g(x)=-----—+-------=-(-----—+------)[(2-sin2%)+(2-cos-x)]

2-sin2x2-cos2x32-sin2x2-cos2x

222223

12-cosx2-sin%.1_12-cosx2—sinx.4Z1UH2-cosx2-sinx

=一(2+------+------)>-(2+2,----------------)=-(3且仪37^-=-----—

32-sin-x2-cos2x3V2-sirrx2-cos'x32-sin-x2-cos'x

sin?x=cos?x=g时”=”成立.此时,/(x)=g(x)=g，,2F(x)>^,：.F(x)的最小值为g,

故选：A.

【点睛】

本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2/(x)N/(x)+g(x),再由基本不等式求得最值，属

于中档题.

9.B

【解析】

根据交集的定义，AI8={—2},可知—2wB,代入计算即可求出机.

【详解】

由AI8={—2},可知-2e3，

又因为8={x|V+mx—12=Oj,

所以％=—2时，(-2)2-2加-12=0,

解得帆=T.

故选：B.

【点睛】

本题考查交集的概念，属于基础题.

10.C

【解析】

求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式.

【详解】

由3>0得-1VXC1,

1-X

]+x2

在XG(-1,1)时，y=/是增函数，y=sinx是增函数，y=\n——=ln(-l+——)是增函数,

\-x\-x

J./。)=丁+5m8+111[£^]是增函数，

.•.由/(2。-1)>/(0)得0<2。一1<1,解得

2

故选：C.

【点睛】

本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域

内求解.

11.D

【解析】

由指数函数的图像与性质易得b最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较"和c的大小关

系，进而得解.

【详解】

13

根据指数函数的图像与性质可知0<b=(2<1,

113J

由对数函数的图像与性质可知Q=logi213>l,c=log1314>l,所以匕最小；

而由对数换底公式化简可得a-c=logl2l3-log13l4

=lgl3_lgl4

~lgl2lgl3

_lg213-lg12-lgl4

一Igl2.lgl3

「1f

由基本不等式可知电12-lgl4V-(Igl2+lgl4)，代入上式可得

2lg213--(Igl2+lgl4)

底13-电12.电14°0

Igl2-lgl3'Igl2-lgl3

(i丫

lg213--lgl68

u；

一Igl2-lgl3

f1V1

Igl3+-lgl68-lgl3-lgl68

_I2八2J

Igl2-lgl3

(lgl3+lgV168)-(lgl3-lgVi68)

>0

Igl21gl3

所以”>C，

综上可知a>c>'

故选：D.

【点睛】

本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.

12.B

【解析】

由二项展开式定理求出通项，求出x的指数为整数时，•的个数，即可求解.

【详解】

心=(-1)2一|°，0少<10，

当r=0,3,6,9时，1+1为有理项，共4项.

故选:B.

【点睛】

本题考查二项展开式项的特征，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(-4,2)

【解析】

试题分析：因为x+2)，=(x+2y)(2+,)=4+公+土24+2、曳x±=8当且仅当x=2)，时取等号，所以

xyxyyxy

m1+2m<8=>-4<m<2

考点：基本不等式求最值

14.—196-3

【解析】

由二项式定理及二项式展开式通项得：4=(一2)2娉+(-2)3。；=一196,令x=L则l+ao+ai+...+a7=(1+1)x(1-2)

7=-2,所以创+内+…+勿=凸，得解.

【详解】

由二项式(l-2x)7展开式的通项得Tr+]=C；(一2x)',

则a2=(-2)2C；+(-2)3G=-196,

令则1+a。+q+...+%=(l+l)x(l—2)=~2,

所以ao+ai+…+。7=-3，

故答案为：-196,-3.

【点睛】

本题考查二项式定理及其通项，属于中等题.

15.3

5

【解析】

联立直线与抛物线方程求出交点坐标，再利用定积分求出阴影部分的面积，利用梯形的面积公式求出SAB。，最后根

据几何概型的概率公式计算可得；

【详解】

y=x2[x=2[x=-1

解：联立，解得，或1,即3(2,4),C(-l,l),D(-l,0),A(2,0),

y=x+2[y=4]y=i

23

*'-S阴影=|[(x+2)—=—x+2x——x|^j=—,SABCD=(l+4)x3x-=—

—1

9

.p=S阴影=2=3

"5小一竺5

2

3

故答案为：-

【点睛】

本题考查几何概型的概率公式的应用以及利用微积分基本定理求曲边形的面积，属于中档题.

16.12%

【解析】

依据圆锥的底面积和侧面积公式，求出底面半径和母线长，再根据勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式

求出体积。

【详解】

设圆锥的底面半径为广，母线长为/,高为〃，所以有

^^7-29—3

7:v解得/二,.•/=庐77=7?万=4

7rrl=15^[/=5

1,1，

故该圆锥的体积为V=—万产〃=-万X32X4=12〃。

33

【点睛】

本题主要考查圆锥的底面积、侧面积和体积公式的应用。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见解析；(2)25.

2

【解析】

(D连接AB,连接BC'、B'C交于点E,并连接痔，则点E为BC'的中点，利用中位线的性质得出EF7/AB,

MN//A'B,利用空间平行线的传递性可得出耳7/AW,然后利用线面平行的判定定理可证得结论；

(2)推导出夕/，平面A4'C'C,并计算出8户，由此可得出5'到平面A4'C'C的距离为8'F,即可得解.

【详解】

(D连接AB,连接BC'、B'C交于点E,并连接石户，则点E为BC'的中点，

•.•£、尸分别为3C'、AC的中点，则瓦7/A3,同理可得MN〃A'B,：.EF//MN.

•.•MNZ平面CF8',EFu平面CFB',因此，MN〃平面CFB'；

(2)由于C在底面AB'C'的投影为尸，.•.CEJ_平面AB'C,

笈尸u平面A'B'C,B'F1CF,

•.•△A'B'C'为正三角形，且尸为A'C的中点，.•.3/LAC,

•.・。尸04'。'=/，；.8/，平面44'。'。，且8伊=AB'-sin^=立，

32

因此，5'到平面AA'C'C的距离为立.

2

本题考查线面平行的证明，同时也考查了点到平面距离的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

18.(1)见解析(2)2=2",〃—)见解析

【解析】

nci

(1)令〃=1可得％=S1=0,即a=o.得至|JS“=年，再利用通项公式和前n项和的关系求解，

⑵由⑴知4=2(〃-1),”GN*.设等比数列也｝的公比为9,所以勿=如"T=2qi,再根据明恰为S,与仇—1

的等比中项求解，

(3)由(2)得至(J〃N2时,c=：----1---：----------->--H---F...H—-

〃2"々+12n~l+22〃2〃2〃T9

2〃一(2〃々-1)+12〃T1七.7田小一工叩

=---------------=----=—,求得Tn,再代入证明o

2〃T2

【详解】

YiCl

(1)解：令〃=1可得q=S1=0,即。=0,所以s〃=芋.

〃22时%=5“—S'-=等一(,一;加，可得(〃-2)“，=(〃一I)。,一，

a„n-\a,a,a,〜.、

当〃23时工=-所以4t…X-乂々=2(〃-1).

%〃-2%an_2a2

显然当〃=1,2时，满足上式.所以a,,=2(〃—l),〃eN*.

怎+|-4=2,所以数列｛an｝是等差数列,

(2)由(1)知%=2(〃-1),ne2V*.

设等比数列也｝的公比为4，所以a=伉/1=2/T

,-.a4=6,S4=l2,b2=2q,

va4恰为与4-1的等比中项,

所以62=12x(2q-l),

解得q=2,所以b“=2",〃eN"

时，

(3)〃22Tn=C|+c2+...+cn,

=[1+£|+(*+升(*+++++扑…+(六+^^+,一+3而〃N2时

111111

------i---------1--------：-------+...H------->--------1---------F...H-------9

2,,-|+12n-l+22"2"2"2"

2"-(2"-'-1)+1

TT2

n=1+3*25_6x2+13

所以当〃=2时,

U~~12~

夕,1111116n+13

7=G+&+•••+C〉Id-------1-------1-------1-------1-------F••H-----=---------------

当〃23时，”12〃23422212

\____________________________，

"-2个

对任意〃之2,都有12意之6〃+13,

【点睛】

本题主要考查数列的通项公式和前"项和的关系，等差数列，等比数列的定义和性质以及数列放缩的方法，还考查了

转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题，

AOsinZADC

19.⑵匕

sinC

【解析】

(1)利用正弦定理化简求值即可；

(2)利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出b的值.

【详解】

解：(1)a-bcosC=csin5,由正弦定理得：sinA-sinBcosC=sinCsinB,

sin-3-C)一sinBcosC=sinCsinB,

sin(B+C)-sinBcosC=sinCsinB,

sinBcosC+sinCcosB-sinBcosC=sinCsinB,

sinCcos3=sinCsinB,

又B,。为三角形内角，故sin3>0,sinC>0,

TC

则cosB=sinB>0,故tan5=1,B=一；

4

(2)AO平分设ZBA£)=NCW=x,则A=2x£(0,万)，xc

cosA=cos2x=2cos2x-l=---,cosx=—,则sinx=A/I-COS2^=—,

2555

sinA=Vl-cos2A=—,又B=工，

254

贝(JsinC=sin|-"Aj-sin—cosA-cos—sinA=1772

L4)4450

sinfx+—.71.717V2

sinZADC=sin(B+x)=sinxcos—4-cosxsm—=-----

I4J4410

bAD,AZ)sinZADC

在△AC。中，由正弦定理:------------=-------,b=

sinZADCsinC-------------sinC

【点睛】

本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题.

2

20.(1)曲线C：—+/=1,直线/的直角坐标方程x—y+2=0；(2)1.

3

【解析】

试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线。化为普通方程，再根据x=pcos6,y=psin。将直线/的极

坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意设直线4参数方程，代入C方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点M

到A,3的距离之积

V-2

试题解析：（1）曲线。化为普通方程为：—

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