2021年中考数学复习 24 矩形（教师版含解析）

专题24矩形问题

专题知识点概述

1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2.矩形的性质

(1)矩形的四个角都是直角；

(2)矩形的对角线平分且相等。

3.矩形判定定理

(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；

(2)对角线相等的平行四边形是矩形；

(3)有三个角是直角的四边形是矩形。

4.矩形的面积：S=ab(a、b分别表示矩形的长、宽)

例题解析与对点练习

【例题1】(2020•湘西州)如图，在平面直角坐标系x行中，矩形46切的顶点1在x轴的正半轴上，矩形的

另一个顶点〃在y轴的正半轴上，矩形的边49=a,BC=b,ADAO=x,则点C到x轴的距离等于()

A.acos广加inxB.C?COSA+Z?COSX

C.asinx+6cosxD.asin产桃inx

【答案】A

【解析】作庞，y轴于£,由矩形的性质得出切=力加=&AD=BC=b,N4r=90°,证出NC组=N"W=

x,由三角函数定义得出O/J=bsinx,DE=acosx,进而得出答案.

作四_Ly轴于反如图：

•四边形力比少是矩形，

：.CD=AB=ayAD=BC=b,N49c=90°,

:・/CDE+/ADO=9G,

VZAOD=90°,:・/DA必NADO=9。。,

:・NCDE=4DAO=x,

•：sinZDAO=—,cosACDE=—,

ADCD

/.OD=ADXsinZDAO=6sinx,DE=DXcosZCDE=acosx,

/.0E=DE+0D=acosx+bnnx,

・•・点C到x轴的距离等于acos广加inx.

【对点练习】（2019•贵州省铜仁市）如图为矩形力四，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边

形的内角和分别为a和力，则研，不可能是（）

AK-----------------------

B'---------------1c

A.360°B.540°C.630°D.720°

【答案】c.

【解答】一条直线将该矩形力时分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180。的

倍数，都能被180整除，分析四个答案，

只有630不能被180整除，所以不可能是630°.

【例题2】（2020•荷泽）如图，矩形力及力中，AB=5,/仄=12,点一在对角线如上，且BP=BA,连接"并

延长，交加的延长线于点。，连接80,则制的长为.

【答案】3m.

【解析】根据矩形的性质可得劭=13,再根据跖=为可得&?=勿=8,所以得0=3,在RtZXJS中，根

据勾股定理即可得回的长.

,矩形力腼中，49=5,/W=12,NBAD=/BCD=9G°,

：.BD=5MB2+）。2=13,

,:BP=BA=5,

：.PD=BD-BP=3,

,:BA=BP,

：.NBA—/BPA=/DPQ,

・：AB"CD,

：./BA—/DQP,

ADPQ=ADQP,

：.DgDS

：.CQ=DQ-CD=DQ-AB=8-5=3,

.•.在低△&%＞中，根据勾股定理，得

BQ=,JBC2+CQ2=V153=3V17.

【对点练习】（2019内蒙古通辽）如图，在矩形/时中，AD=8,对角线4C与被相交于点0,AEVBD,垂

足为点E,且45"平分/劭C,则的长为.

【答案】名叵.

3

【解答】1•四边形/空9是矩形

：.AO=CO=BO=DO,

平分N协0

:.NBAE=NEAO,且AE=AE,NAEB=NAEO,

：./\ABE^/\AOE(ASA)

:.AgAB,且47=庞

：.AO=AB=BO=DO,

:.BIA2AB,

.♦.64+麻=44次

.•"6=色叵

3

【例题3】（2020•聊城）如图，在外吃》中，£为优的中点，连接止并延长交加的延长线于点F,连接BF,

AC,若的=AF,求证：四边形/眼是矩形.

A__________________D

【答案】见解析。

【解析】根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用加S判定从而得到AB=CF；

由已知可得四边形力跖T是平行四边形，BC=AF,根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形

46尸C是矩形.

证明：•••四边形/时是平行四边形，

：.AB//CD,AB=CD,

:./BAE=NCFE,NABE=NFCE,

•••£为用的中点，

:.EB=EC,

:.△AB-XFC队AAS）,

:.AB=CF.

'：AB//CF,

四边形/跖C是平行四边形，

’：BC=AF'

四边形4跖C是矩形.

【对点练习】（2019•湖北省鄂州市）如图，矩形46缪中，AB=8,4A6,点。是对角线切的中点，过点。

的直线分别交/从切边于点反F.

(1)求证：四边形比,仍是平行四边形;

(2)当班'=毋'时，求)'的长.

【答案】见解析。

【解析】根据矩形的性质得到由平行线的性质得到/MH根据全等三角形的性质得到所

=BE,于是得到四边形弧班是平行四边形；推出四边形应加'是菱形，得到〃£=应；EFX.BD,OE=OF,设

AE=x,则DE=BE=S-x根据勾股定理即可得到结论.

(1)证明：•.•四边形49缪是矩形，

：.AB//CD,

：.2DF0=ABEO,

天黄为ZD0F=2B0E,OD=OB,

：./\DOF^/\BOE{ASA),

：.DF=BE,

丈因'为DF〃BE,

...四边形则■、是平行四边形；

②解■:，：DE=DF,四边形即A是平行四边形

二四边形庞加是菱形，

:.DE=BE,EFLBD,OE=OF,

AE=x,贝ij应'=8-x

在他△力班1中，根据勾股定理，有相+而=流

：.x+6l=（8-x）2,

解之得：*=工，

4

."£=8-工=空，

44

在心△月初中，根据勾股定理，有就+/4=如

•■•^762+82=10,

.•.浙_LBM5,

2

在心△〃庞.中，根据勾股定理，有〃片-布=施工

一、选择题

1.（2020•怀化）在矩形力腼中，AC,加相交于点。，若/的面积为2,则矩形/腼的面积为（）

C.8D.10

【答案】C

【解析】根据矩形的性质得到OA=OB=OC=Oil推出S△四产S—=SMDO=Sso=2,即可求出矩形力以7〃的面

积.

•.•四边形力腼是矩形，对角线勿相交于点0,

：.AC=即，且%=0B=0C=0D,

■.Sc^AOO-S/\!X：n-S/\dM~Sl^AHO-2,

二矩形力的面积为45k.=8,

2.（2020•达州）如图，/打切=45°,80^DO,点力在加上，四边形46（6是矩形，连接BD交于点、E,

连接应'交4。于点片下列4个判断：①应"平分N8M；②0F=BD；③DF=®AF；④若点G是线段。尸的中

点，则为等腰直角三角形.正确判断的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】由矩形得医=勿=必，N掰〃为直角，再由等腰三角形的三线合一性质可判断①的正误；证明△

AO0AABD,便可判断②的正误；连接以；由线段的垂直平分线得毋,=〃尸，由前面的三角形全等得/尸=46,

进而便可判断③的正误；由直角三角形斜边上的中线定理得4c=例，进而求得//仍'=45°,由矩形性质得

ED=EA,进而得/用力=22.5°,再得N£4G=90°,便可判断④的正误.

①：四边形"切是矩形，

：.EB=ED,

'：BO=DO,

：.OE平■64BOD,

故①正确;

②,・•四边形月比。是矩形，

：.ZOAD=ZBAD=90°,

・・・//即N/庞=90°,

•：OB=OD,BE=DE,

：・OELBD,

:./BOE+/OBE=9。。,

A£BOE=ABDA.

'：4BOD=钟,N如片90°,

.♦・/490=45°,

：.AO=AD,

,△力行丝△月劭（力9）,

・・・OF=BD,

故②正确；

③•：XAOF^XABD、

：.AF=AB,

连接外；如图1,

图1

:,BF=0AF,

、：BE=DE,OELBD,

:・DF=BF,

:«DF=y/2AFy

故③正确；

④根据题意作出图形，如图2,

是冰的中点，Zfl4A=90°,

:・AG=OG,

:"AOG=/OAG,

〈N4勿=45°,0E平分乙AOD,

：.ZAOG=ZOAG=22.5°,

：.ZFAG=67,5°,ZADB=ZAOF=22.50,

・・,四边形力腼是矩形，

:・EA=ED,

：.ZEAD=ZEDA=22.5°,

：.ZEAG=90°,

VZAGE=ZAOG^ZOAG=450,

/.ZAEG=45°,

:"E=AG,

为等腰直角三角形,

故④正确；

故选:A.

3.（2019•广东广州）如图，矩形力及力中，对角线〃1的垂直平分线跖分别交6C,AD于点、E,F,若

跖=3,AF=5,则/C的长为（）

A.4旄B.473C.10D.8

【答案】A

【解析】连接46,由线段垂直平分线的性质得出以=OC,AE=CE,证明得出4-CX'=5,

得出/£=龙=5,BC=BE+CE=8,由勾股定理求出仍=J^Z^=4，再由勾股定理求出即可.

连接｛反如图：

•.•）是/C的垂直平分线,

：.OA=OC,AE=CE,

•；四边形4?⑺是矩形，

.../6=90°,AD//BC,

：.AOAF=AOCE,

rZA0F=ZC0E

在△/"和中，.0A=0C

Z0AF=Z0CE

:.△AOKACOElASa,

:.AF=CE=3,

:・AE=CE=5,筋四=3+5=8,

・"AVAE2-BE2=V52-32=Z4,

:'AC=VAB2+BC2=V42+82=4^:

故选：A.

4.（2019•山东泰安）如图，矩形加W中，AB=4,AD^2,£为16的中点，尸为比上一动点，P为DF中点,

连接加，则阳的最小值是（）

A.2B.4C.A/2D.272

【答案】D

【解析】根据中位线定理可得出点点9的运动轨迹是线段P0,再根据垂线段最短可得当由LA月时，PB

取得最小值：由矩形的性质以及已知的数据即可知防，故即的最小值为郎的长，由勾股定理求解

即可.

如图:

当点尸与点C重合时，点夕在4处，CP尸DP\,

当点尸与点£重合时，点尸在2处，EP尸DP?,

:.PHHCE豆P、P产ACE

2

当点尸在尾上除点C、£的位置处时，有DP=FP

由中位线定理可知：P\P〃CEAP\4LCF

2

...点一的运动轨迹是线段产出，

,当初，△旦时，阳取得最小值

•.•矩形4比》中，4?=4,AD=2,£'为47的中点，

:NBE、4ADE、△8CF为等腰直角三角形，CP\二2

:.NADE=NCDE=/CP\B=©,/DEC=9Q°

AZ^1=90°

二/如0=45°

：.NRRB=90°,即即_LK8,

游的最小值为阴的长

在等腰直角a2中，CP产BC=2

,郎=2加

二阳的最小值是2M

5.（2019湖北荆州）如图，矩形四切的顶点4,B,。分别落在乙股¥的边。姑ON上,若OA=OC,要求只用

无刻度的直尺作/玳邠的平分线.小明的作法如下：连接AC,BD交于点、£,作射线OE,则射线晒平分/他出有

以下几条几何性质：①矩形的四个角都是直角，②矩形的对角线互相平分，③等腰三角形的“三线合一”.小

明的作法依据是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】C

【解析】•••四边形/1%。为矩形，

：.AE=CE,

而OA=OC,

二比为//3的平分线.

二、填空题

6.（2020•绍兴）将两条邻边长分别为鱼，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法剪

出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的（填序号）.

①也②1,③e-1,@y,⑤VI

【答案】①②③④.

【解析】首先作出图形，再根据矩形的性质和等腰三角形的判定即可求解.

如图所示:

则其中一个等腰三角形的腰长可以是①近，②I,③立—I,鳄，不可以是VI

7.（2020•泸州）如图，在矩形四切中，E,尸分别为边四，/〃的中点，BF与EC、口分别交于点M,N.已

知四=4,BC=6,则腑的长为.

【解析】/

【分析】延长区为交于。，延长跖和切，交于队根据勾股定理求出防，根据矩形的性质求出4。，根

据全等三角形的性质得出AQ=BC,AB=CW,根据相似三角形的判定得出监监，△创%s△例以根

据相似三角形的性质得出比例式，求出以'和8犷的长，即可得出答案.

【解析】延长四、的交于Q,如图1,

2、

'E-

BC

图1

•・•四边形被⑦是矩形，BC=6,

：.ZBAD=^°,AD=BC=&,AD//BC,

•“为力〃中点，

:・AF=DF=3,

在Rt△物厂中，由勾股定理得：BF=y/AB2+AF2=V42+32=5,

u：AD//BQ

：.4Q=/ECB,

•・・£为45的中点,AB=4,

:.AE=BE=2,

在后和△鹿中

(NQEA=NBEC

|NQ=NECB

MF=BE

:、△QAE^XCBE'AAS,

:.AQ=BC=6,

即g=6+3=9,

u：AD//BQ

:・XQMFs[\CMB,

.FM_QF_9

，-BC-6，

,:BF=5,

:.BM=2,FM=3,

延长必和徼交于例如图2,

w

同理四=〃V=4,CW=8,BF=FM=5,

・：AB//CD,

:、△BNESXWND,

・BNBE

NFDW

,BN_2

**5-5N+5-4'

解得：BN=y,

：..MN=BN-BM=--2=-

33

8.（2020•黔东南州）如图，矩形加力中，AB=2,BC=圆£为徵的中点，连接被加交于点R过点一

作PQ1BC于点Q,则Pg.

【解析埒.

【分析】根据矩形的性质得到48〃G9,AB^CD,AD^BC,/切片90°,根据线段中点的定义得到西

\AB,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解析】•.•四边形46，力是矩形，

：.AB//CD,AB=CD,AD=BC,ZBAD=^O°,

•；£为丁的中点,

：.DE=\CD=：AB,

：.XABP^XEDP,

.AB_PB

••=i

DEPD

・2PB

.・一=,

1PD

・PB2

..——=

BD3

■:PQ'BC,

：.PQ//CD,

:.△BPgXDBC,

.PQBP2

•・-——,

CDBD3

"：CD^2,

：g

9.（2019湖南娄底）如图，要使平行四边形力腼是矩形，则应添加的条件是（添加一个条

件即可）.

【答案】N/叱90°或AC=BD.

【解析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形;

故添加条件：N4麻90°或AC=BD.

故答案为：N4胫90°或AC=BD.

10.（2019黑龙江省龙东地区）如图，矩形四切中，四=4,比'=6,点P是矩形46切内一动点，且区"尸,

2

S；则％+如的最小值是

【答案】475.

【解析】结合已知条件，根据嘉行,可判断出点P在平行于AB,与AB的距离为2、与CD的距离为

2

4的直线上，再根据“将军饮马问题”的解法解之即可.

过点P作直线1〃AB,作点D关于直线1的对称点”,连接CDJ•矩形ABCD中，〃=4,a三6,；.CD=4,DDi=8,

在RtACDD,^,由勾股定理得CD「4布,.”C+如的最小值是4疗.

11.（2019贵州省安顺市）如图，在Rt△力8。中，N的。=90°,49=3,AC=4,点〃为斜边比1上的一个动

点，过〃分别作〃以48于点弘作例L/C于点儿连接川M则线段4V的最小值为

BD

【答案】y

【解析】连接力。，即可证明四边形/例’是矩形；由矩形得出廨=4）,再由三角形的面积关系求出力〃

的最小值，即可得出结果.

连接/〃，如图所示：

"：DMLAB,DNLAC,//必=N4\g90°,

又劭f=90°,；.四边形4监!V是矩形；:.MN=AD,

胡C=90°,4Q3,然=4,:.BC=3,

当比时，4。最短，

此时△47C的面积='BC'AD=-AB'AC,

22

.曰［/士A5,AC12

・・AD的最小值=--------——,

BC5

...线段物，的最小值为以

O

12.（2019•湖北省咸宁市）如图，先有一张矩形纸片4?=4,应、=8,点也"分别在矩形的边4〃BC

上，将矩形纸片沿直线网，折叠，使点，落在矩形的边/〃上，记为点R点〃落在G处，连接尸G友.MN于

点。，连接。肌下列结论：

①CQ=O）；

②四边形。必必是菱形;

③P,力重合时，松三2旄;

④△收〃的面积S的取值范围是3WSW5.

其中正确的是（把正确结论的序号都填上）.

【答案】②③.

【解析】先判断出四边形历是平行四边形，再根据翻折的性质可得CN=NP,然后根据邻边相等的平行四

边形是菱形证明，判断出②正确；假设8=或，'恳RtXCMgXCMD,进而得/必kNQQ/=N8CP=30°,

这个不一定成立，判断①错误；点。与点4重合时，设.B4x,表示出4V=M、=8-%利用勾股定理列出

方程求解得x的值，进而用勾股定理求得协'，判断出③正确；当必V过〃点时，求得四边形。的¥的最小面

积，进而得S的最小值，当户与力重合时，S的值最大，求得最大值便可.

如图1,

"：PM//CN,

二4PMN=NMNC,

"：/MNC=ZPNM,：.ZP肺=ZPNM,：.P\f=PN,

,：NC=NP,：.PM=CN,

'：MP//CN,

...四边形。仍V是平行四边形，

•••。¥=八巴...四边形。W%是菱形，故②正确；

:.CP；MN,ABCP=^MCP,

二乙园C-N片90°,

TCP=CP,

若CgCI),则Rt/\CMQQ△CMD,

：.ZDCM=ZQCM=ZBCP^300,这个不一定成立,

故①错误；

点一与点力重合时，如图2,

图2

设BN=x,贝匕叱=8-必

在Rt/XABN中,AR+BN-旃，

即42+X2=(8-x))

解得x=3,

；.CV=8-3=5,^C=<\/AB2+BC2=W5,

**•CQ$C=2代，

QN=VCN2-CQ2=V5)

:.MN=2QN=2娓.

故③正确；

当好'过点〃时，如图3,

图3

此时，GV最短，四边形的v的面积最小，贝ijs最小为s='s菱形CMPN4X4X4=4，

当9点与4点重合时，0V最长，四边形CM科的面积最大，则S最大为S=\>X5X4=5,

...4WSW5,故④错误.故答案为：②③.

13.（2019•贵州贵阳）如图，在矩形4?缪中，AB=4,N%4=30°，点尸是对角线〃1上的一个动点，连接

DF,以加1为斜边作/"野=30°的直角三角形困'，使点£和点/位于小两侧，点厂从点4到点，的运动

过程中，点£的运动路径长是.

【解析】£的运动路径是EE的长;

,.38=4,〃。=30°,

3

当「与/点重合时,

在打中，47=生叵，=30°,N4芯=60°,

3

：.DE/CDE=30°,

3

当尸与C重合时，NEDC=60°,

：.£EDE=90°，ADEE=30°,

在打△施〃中，氏

3

14.（2019•山东潍坊）如图，在矩形四口中，4?=2.将//向内翻折，点4落在比■上，记为4,折痕为

DE.若将N3沿励'向内翻折，点8恰好落在朦上，记为8',则4?=—.

【答案】V3.

【解析】利用矩形的性质，证明应=//'a■=30°,NC=N4'@P=90°,推出△⑻/'<△

DCA,CD=SD,没AB=DC=x,在RtAADE中,通过勾股定理可求出48的长度.

•.•四边形485为矩形，

:.NADC=/C=NB=90°,AB=DC,

由翻折知，XAE恒l\AED,△/BE^/XASE,N#HE=N4N/fBg90°,

二£AED=Z/ED,Z/EB=4AEB,BE=BE,

：.AAED^Z/£9=ZJ'180°=60°,

3

...N/1〃£=90°-ZAED=30°,NA'DE=90°-ZA'£^=30°,

；.NADE=Z/DE=ZADC=30°,

又,：NC=N#BD=90°,DA=DA,

:ZBA丝（A4。，

：.DC=DB,

在RtAAED中,

/49£=30°,4g2,

.力£=2=26,

V33

设人月DC=x、则应=££=*-冬叵

3

■:A!^Alf=D这,

22

...（型3）+2=（户%-型3°,

33

解得，小=玉（负值舍去），XFM

3

15.（2019北京市）在矩形ABCD中，M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA上的点（不与端点重合）.对于任

意矩形ABCD,下面四个结论中，

①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；

②存在无数个四边形MNPQ是矩形；

③存在无数个四边形MNPQ是菱形;

④至少存在一个四边形MNPQ是正方形.

所有正确结论的序号是.

【答案】①②③

【解析】如图，0为矩形ABCD对角线的交点,

图16-1

①图中任过点。的两条线段PM,QN,则四边形MNPQ是平行四边形；显然有无数个.本结论正确.

②图中任过点0的两条相等的线段PM,QN,则四边形MNPQ是矩形：显然有无数个.本结论正确.

③图中任过点0的两条垂直的线段PM,QN,则四边形MNPQ是菱形；显然有无数个.本结论正确.

④图中过点0的两条相等且垂直的线段PM,QN,则四边形MNPQ是正方形；显然有一个.本结论错误.

故填：①②③.

三、解答题

16.(2020•苏州)如图，在矩形/腼中，£是宽的中点，DFLAE,垂足为五.

(1)求证：MABEs[\DFA；

(2)若16=6,BC=\,求加的长.

AK-----------

BE

【解析】见解析。

【分析】(1)由矩形性质得力〃〃比；进而由平行线的性质得再根据两角对应相等的两个三角

形相似；

(2)由后是力的中点，求得跖再由勾股定理求得力£,再由相似三角形的比例线段求得〃尸.

【解析】(1广・,四边形力筋是矩形，

：.AD//BC,N8=90°,

：.ZDAF=4AEB,

•：DF_LAE,

：.ZAFD=ZB=90°,

:.XADFSMEAB,

:•△ABESXDFA：

(2)•・•夕是6。的中点，BC=4,

:.BE=2,

■:AB=6,

：.AE=7AB2+BE?=/+22=2“U,

・・•四边形)腼是矩形，

：.AD=BC=4,

・：/\ABES/\DFA,

,ABAE

.•--------,

DFAD

•ABAD6X46rryr

・・DF=----------=—==-V10.

AE2V105

D

17.（2020•贵阳）如图，四边形/腼是矩形，6是8c边上一点，点尸在玄的延长线上，且CF=8£.

（1）求证：四边形府;叨是平行四边形；

⑵连接切,若NAED=90°,AB=\,BE=2,求四边形4环®的面积.

【解析】见解析。

【分析】（1）先