微积分 第七版 课件 5.5 定积分分部积分法则_第1页
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文档简介

1第五节

定积分分部积分法则本节学习目标010203理解定积分分部积分法则常用的两种情况掌握定积分分部积分法则能熟练利用分部积分法计算定积分一、定积分分部积分法则1.定积分分部积分法则内容如果函数u=u(x),v=v(x)在闭区间[a,b]上都可导,且一阶导数u'(x),v'(x)在闭区间[a,b]上都连续,则定积分

32.定积分分部积分法则证明证:根据§2.2导数基本运算法则2,有一阶导数(uv)'=u'v+uv'即有uv'=(uv)'-u'v等号两端在闭区间[a,b]上皆取定积分,得到定积分

4根据§2.7函数微分表达式,有关系式u'dx=du,v'dx=dv,又由于任何函数都为其一阶导数的一个原函数因此函数uv为其一阶导数(uv)'的一个原函数,所以定积分

53.定积分分部积分法则说明：所求定积分等于两项之差：被减项为原被积表达式中微分记号d前后两个函数的积在积分区间上的改变量；减项为原被积表达式中微分记号d前后两个函数调换位置所构成的定积分

6

凡是需要应用不定积分分部积分法则求原函数的定积分,都应该应用定积分分部积分法则求解。

定积分分部积分法则主要能够解决对数函数、反三角函数的定积分及一部分但不是全部函数乘积的定积分,分下列两种基本情况讨论这些定积分.7二、定积分分部积分法则常用的两种情况1.第一种基本情况被积函数为对数函数或反三角函数,这时直接应用定积分分部积分法则求解.例1

=2ln2-(2-1)=2ln2-18例2

92.第二种基本情况(2)被积函数为乘积xnsinx或xncosx(n为正整数),这时必须首先应用§4.3非线性凑微分将乘积sinxdx或cosxdx凑微分,然后应用定积分分部积分法则求解;(1)被积函数为乘积xnex(n为正整数),这时必须首先应用§4.3非线性凑微分将乘积exdx凑微分,然后应用定积分分部积分法则求解;10(3)被积函数为乘积xαlnx(α≠-1),这时必须首先应用§4.3非线性凑微分将乘积xαdx凑微分,然后应用定积分分部积分法则求解例3

=e-(e-1)=111例4

12例5

13

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