2023-2024届新高考一轮复习湘教版 4-8 正弦、余弦定理应用举例 学案

第八节正弦、余弦定理应用举例

【课标标准】会运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有

关的实际问题.

必备知识夯实双基

知识梳理

1.仰角和俯角

罂-水平线

视线

(1)

与目标线在同一铅垂平面内的和目标视线的夹角，目标视线在水平视线

的叫仰角，目标视线在水平视线的叫俯角，如图(1)所示.

北

2.方位角

指从顺时针转到目标方向线的水平角，如图(2)中B点的方位角为«.

北偏东,目标

3.方向角

相对于某正方向的,如北偏东。，即由正北方向顺时针旋转。到达目标方向,

如图(3),其他方向角类似.

4.坡角：坡面与水平面所成的二面角的正切值.

夯实双基

1.思考辨析(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)东南方向与南偏东45。方向相同.()

(2)从A处望8处的仰角为«,从8处望A处的俯角为β,则α,β的关系为a+尸

I8O°.(

(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围是［0,=］.()

(4)方位角大小的范围是［O,2π),方向角的大小范围一般是［0,柒.()

2.如图，两座灯塔A和8与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东

40。，灯塔B在观察站的南偏东60。，则灯塔A在灯塔B的()

A.北偏东10oB.北偏西10o

C.南偏东10oD.南偏西10°

3.如图所示，D,C,B三点在地面的同一直线上，DC=a,从点C,。测得点A的仰

角分别为60。，30。，则A点离地面的高度AB等于.

关键能力•题型突破

题型一测量距离问题

例1[2023•江西景德镇期末]江西浮梁地大物博，山清水秀.据悉某建筑公司在浮梁投

资建设玻璃栈道、摩天轮等项目开发旅游产业，考察后觉得当地两座山之间适合建造玻璃栈

道,现需要测量两山顶M,N之间的距离供日后施工需要,特请昌飞公司派直升机辅助测量，

飞机沿水平方向在A,B两点进行测量，A,B,M,N在同一个铅垂平面内（如示意图）.飞

o

机测量的数据有在4处观察山顶M，N的俯角为：c≈l=60,小=30。，在8处观察山顶

N的俯角为：a2=45。，∙2=75。，飞机飞行的距离AB为500m,请问：用以上测得的数据能

否计算出两山顶间的距离MN,若能，请帮助该建筑公司求出MM结果精确到1m,若不

能，请说明理由.

（参考数据：√2≈1.414,√3≈1.732,√67≈8.2,√∑68≈1.64）

题后师说

巩固训练1

[2023•河南南阳模拟]北京大兴国际机场（如图所示）位于中国北京市大兴区和河北省廊

坊市交界处，为4F级国际机场、世界级航空枢纽.如图，天安门在北京大兴国际机场的正

北方向46km处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16.28。方向上，在天安门北

偏东47.43。的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为km∙（结

果精确到整数）

（参考数据：sin16.28o≡≡0.28,sin47.43°QO.74,sin31.15o≈⅛0.52）

题型二测量高度问题

例2[2023•辽宁朝阳期末]大型城雕“商”字坐落在商丘市睢阳区神火大道与南京路交

汇处，“商”字城雕有着厚重悠久的历史和文化，它时刻撬动着人们认识商丘、走进商丘的

欲望.吴斌同学在今年国庆期间到商丘去旅游，经过“商”字城雕时，他想利用解三角形的

知识测量一下该雕塑的高度（即图中线段AB的长度）.他在该雕塑塔的正东C处沿着南偏西

60。的方向前进7痘米后达到。处（A,C,。三点在同一个水平面内），测得图中线段AB在

东北方向，且测得点B的仰角为71.565。，则该雕塑的高度大约是（参考数据：tan

71.565o≡≈3）（）

A.19米B.20米

C.21米D.22米

题后师说

测量物体高度的求解策略

高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思

想是把要求解的高度（某线段的长度）纳入到一个三角形中，使用正、余弦定理或共他相关知

识求出该商度.

巩固训练2

[2023•湖北襄阳五中月考]如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大

跳台最高点P距地面的距离,小明同学在场馆内的点A测得P的仰角为30。，NABo=I20。，

/540=30。，AB=60(单位：m),(点A,B,。在同一水平地面上)，则大跳台最高高度OP

=()

A.45mB.45Λ∕2m

C.60mD.6θV3m

题型三测量角度问题

例3[2023∙山东东营期末]如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得灯塔底部C在

北偏东15。方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，此时测得灯塔底部C在北偏东60。方

向上，测得塔顶P的仰角为60。，已知灯塔高为2√5km.

(1)求巡逻船的航行速度；

(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时灯塔底部C位于D处的南偏东什么方向？

题后师说

角度问题的解题方法

首先应明确方向角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正

确画出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法

解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点.

巩固训练3

[2023•河北保定期末]一艘船航行到点A处时,测得灯塔C与其相距30海里,如图所示.随

后该船以20海里/小时的速度，沿直线向东南方向航行1小时后到达点8,测得灯塔C在其

北偏东25。方向，则sinNACB=()

22

A.-sin70°B.-sin75°

33

C.IcOS70。D.在

3

第八节正弦、余弦定理应用举例

必备知识•夯实双基

知识梳理

1.水平视线上方下方

2.正北方向

3.水平角

夯实双基

1.答案：(I)J(2)×(3)×(4)√

2.解析：

观察可知

ZACB=90o-40°+90°-60°=80°,

TAC=BC,

ΛZCBA=50o,

根据平行线的性质可知NC3O=60。，

：•ZABD=∖0o,

・・・灯塔A在灯塔B北偏西10°.

故选B.

答案：B

3.解析：由三角形的外角和定理可知：

ZDAC=/ACB-No=60。-30。=30。,

∙*∙AC—CD=a,

在RtAABC中，

AB=ACsin60。=线，

2

A点离地面的高度AB等于，α.

答案：y

关键能力•题型突破

例1解析：在AAMB中，由正弦定理得

50sinα

am=θ^=^⅛=500(√3-l),

sm(a+a)松+<2

124

在AABN中，由正弦定理得

AN=500SinB2=5OOX^^=500(6+1)

Sin(β2-βj)堂2-

在AAMN中，由余弦定理得

22

W=√AM+AN-2AM∙AN-cos(a1-β1)

=500≈⅛500√0^7Λ=500×0.82=410m.

巩固训练1解析：如图，由题意可得AC=46km,ZACB=16.28o,ZBAC=132.57°,

BC_AC即BC=46

由正弦定理可得

sinzBACSinzABCsin132.57°sin31.15°

解得8C=焉於Sinl32.57。

答案：65

例2解析：在C。中，NCAD=I35。，ZACD=30o,CD=7√2,

由正弦定理ADCD

sinz_ACDsinZCAD,

CDxsinzACD

所以AD==7(米),

sinZ.CAD

在Rt∆ABD中，NBD4=71.565。，

所以AB=AOXtan71.565°=⅛7X3=21(米).

故选C.

答案：C

巩固训练2解析：在AABO中，NABo=I20。，NBAo=30。，所以NAoB=30。，又

A8=60,由正弦定理可得，

AB_Ao

SinzAOBsinZABO,

ABsinzABO60x申-

AO=—^=60√r3,

SinzAOBr

2

-,0POP-√3

在RtZ∖APO中，tanQO

'AO60√33

所以OP=60(m).

故选C.

答案：C

例3解析:(1)在RtZ∖BCP中，tan/PBC=裂，故BC=2.

在AABC中，∕BCA=180°-15°-120°=45°,

由正弦定理得一