2023-2024届高考一轮复习物理教案（新教材人教版）第四章抛体运动与圆周运动第2讲抛体运动

第2讲抛体运动

【目标要求】1.掌握平抛运动的规律，学会运用运动的合成与分解处理类平抛、斜抛运动问题.

2.学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题.3.会处理平抛运动中的临界、极值问题.

考点一平抛运动的规律及应用

■梳理必备知识

平抛运动

1.定义：将物体以一定的初速度沿近方向抛出，物体只在重力作用下的运动.

2.性质：平抛运动是加速度为1的匀变速曲线运动,运动轨迹是抛物线.

3.研究方法：化曲为直

（1）水平方向：匀速直线运动;

（2）竖直方向：自由落体运动.

4.基本规律

如图，以抛出点。为坐标原点，以初速度。O方向（水平方向）为X轴正方向，竖直向下为y轴

正方向，建立平面直角坐标系XOy.

位［水平方向g里%位移

移大小3=JΛ2+V2

关

系-竖直方向:J=JgV-方向:tanɑH=合

速卡平方向^

度大小：g包2+42

关方向Me=M卷

系—竖直方向:%=a-

1.平抛运动的加速度方向与速度方向总垂直.（×）

2.相等时间内做平抛运动的物体速度变化量相同.（√）

3.相等时间内做平抛运动的物体速度大小变化相同.（X）

■提升关键能力

1.平抛运动物体的速度变化量

因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g,所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔

。内的速度变化量Ao=gAf是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示.

2.两个推论

（1）做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点.

（2）做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan6=2tanα.

【例1］（多选加、b两个物体做平抛运动的轨迹如图所示，设它们抛出的初速度分别为%、vh,

从抛出至碰到台上的时间分别为小加则（）

A.va>Vb

B.va<vb

C.t0>tb

D.ta<tb

答案AD

解析由题图知，hh>ha,因为〃=上尸，所以L<⅛,又因为X=O（）/,且X">A⅛,所以。〃>私,

选项A、D正确.

【例2］（多选）（2023•浙江省金华十校模拟）如图是飞镖盘示意图，盘面画有多个同心圆用来表

示环数，。是圆心，盘竖直挂在墙上，A是盘的最高点，B是盘的最低点.某同学玩飞镖时,

飞镖的出手点与A等高，且每次飞镖的出手点相同，出手时飞镖速度与盘面垂直，第一支飞

镖命中B点，第二支飞镖命中。点，若空气阻力不计，可知前、后两支飞镖（）

A.空中飞行时间之比是2：1

B.空中飞行时间之比是啦：1

C.出手时飞镖速度大小之比是1：啦

D.命中前瞬间速度大小之比是1:√2

答案BC

解析飞镖飞出时在竖直方向做自由落体运动，由y=&P,解得飞镖飞行时间为t

由题意可知，第一支飞镖和第二支飞镖飞行时间之比为力：f2=√5：1,A错误，B正确：飞

镖飞出后水平方向做匀速直线运动，且水平位移相同，由X=OOf可知，第一支飞镖和第二支

飞镖出手速度大小之比为Voi:如2=1:6，C正确；飞镖命中时的速度大小为v=y∣voi+(gt)2

空可见，第一支飞镖和第二支飞镖命中时速度大小之比不可能为1:啦，D错误.

考点二与斜面或圆弧面有关的平抛运动

已知条件情景示例解题策略

从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示

分解速度tan<9=T2=T7

Uyg/

知速度的方向垂直于斜面配〃;7〃〃.

777^

已知速度从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形

方向轨道，如图所示，已知速度方向沿该点圆弧的切

分解速度tanT唱

线方向

从斜面上平抛又落到斜面上，如图月f示，已知位分解位移

L2家ɪ

tanθ~x~vt~2v

移的方向沿斜面向下-77^^77777777777777)00

已知位移

在斜面外平抛,落在斜面上位移最小，如图所f示，

方向分解位移

KZ八XVot2vo

已知位移方向垂直斜面““徐r77V

从圆心处水平抛出，落到半径为R的圆弧上，

如图所示，已知位移大小等于半径R

X=Vot

。生旦…门

号<y=28f2

.x1+y1=R2

利用位移

关系从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R

<x=R+Rcosθ

的圆弧上，如图所示，已知水平位移X与R的差

X=Vot

的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方

<1.

y=Rsin委丁

%OR9=

”______________________________

<(χ-/?)2+/=/?2

考向1与斜面有关的平抛运动

【例31（2023•浙江省名校协作体模拟）第24届冬季奥运会于2022年2月在北京成功举办，如

图甲所示为运动员跳台滑雪运动瞬间，运动示意图如图乙所示，运动员从助滑雪道AB上由

静止滑下，到达C点后水平飞出，落到滑道上的。点，运动轨迹上的E点的速度方向与滑道

8平行，设运动员从C到E与从E到。的运动时间分别为h与5忽略空气阻力，运动员

可视为质点，下列说法正确的是（）

A.t∖<t2

B.tι>t2

C.若运动员离开C点时的速度加倍，则落在滑道上的速度方向不变

D.若运动员离开C点时的速度加倍，则落在滑道上到C的距离也加倍

答案C

解析以C点为原点，以CO为X轴，以垂直8向上方向为y轴，建立坐标系如图所示.对

运动员的运动进行分解,y轴方向上的运动类似竖直上抛运动，x轴方向做匀加速直线运动.当

运动员速度方向与滑道平行时，在y轴方向上到达最高点，根据竖直上抛运动的对称性，知

t∖=t2,A、B错误：设运动员落在滑道上的速度方向与水平方向的夹角为α,滑道的倾角为θ,

则有tanα=p,tan9='=；;=会，得tanα=2lan仇。一定，则α一定，可知运动员落在滑

00XVotZVo

道上的速度方向与从。点飞出时的速度大小无关，C正确.从抛出至落到滑道，tan0=l=⅛7,

XZVo

2υ0tanθ

付一g

2υo2tanθ

X=Vot=-----------

O

若运动员离开C点时的速度。0加倍，则水平位移变为原来的4倍，

Y

又5=方7，则S也变为原来的4倍，D错误.

【例4】（2023•福建宁德市高三月考）如图所示，1、2两个小球以相同的速度如水平抛出.球1

从左侧斜面抛出，经过时间A落回斜面上，球2从某处抛出，经过时间攵恰能垂直撞在右侧

的斜面上.已知左、右两侧斜面的倾角分别为a=30。、4=60。，则（）

A.rɪ：r2=l：2zɪ：f2=1：3

C.t∖：tι=2:1t∖:£2=3：1

答案C

沏er,υo

解析由题意可得，对球1,有tana='J=打，对球2,有tan夕=7，又tanα∙tan£=1,

联立解得“：t2=2：1,A、B、D错误，C正确.

考向2与圆弧面有关的平抛运动

【例51如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动（小球可视为质

点），飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，。为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R,OB

与水平方向的夹角为60。，重力加速度为g,不计空气阻力，则小球抛出时的初速度为（）

O-

解析小球飞行过程中恰好与半圆轨道相切于8点，可知小球运动到B点时速度方向与水平

f∩n30。ʌʃɑv

方向的夹角为30。，设位移方向与水平方向的夹角为仇则tan9=-—=ð,由tan。=（=

ɪ,可得竖直方向的位移y=坐R,而ι√=2gy,tan30o=^∙,联立解得Oo=ʤ当吃选

2R°

项A正确.

考点三平抛运动的临界和极值问题

I.平抛运动的临界问题有两种常见情形：（1）物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最

小初速度；（2）物体的速度方向恰好为某一方向.

2.解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速

度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或

速度规律进行解题.

考向1平抛运动的临界问题

【例6】如图所示，一网球运动员将网球（可视为质点）从。点水平向右击出，网球恰好擦网通

过落在对方场地的A点，A点到球网的水平距离是击球点到球网的水平距离的2倍.已知球

网的高度为〃，重力加速度为g,不计空气阻力，则网球击出后在空中飞行的时间为（)

O

答案B

解析设网球击出后在空中飞行的时间为Z,因为A点到球网的水平距离是击球点到球网的

水平距离的2倍，所以网球从击球点运动到球网的时间为：，则”=上尸，H-h=^g(^)2,联

立解得t;故选B.

考向2平抛运动的极值问题

［例7］某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示.模型放到m高的水平桌子

上，最高点距离水平地面2m,右端出口水平.现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力作

用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为()

C.mD.m

答案C

解析小球从最高点到右端出口，机械能守恒，有机。2,从右端出口飞出后，小

球做平抛运动，有x=vt,h=^gt1,联立解得x=2∖j(H-h)h,根据数学知识可知，当H-h

=/?时，X最大，即/?=1m时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为A∕J=1m-0.8m

=0.2m,故C正确.

考点四斜抛运动

必备知识

1.定义：将物体以初速度出斜向上方或斜向下方抛出,物体只在重力作用下的运动.

2.性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线.

3.研究方法：运动的合成与分解

(1)水平方向：匀速直线运动;

(2)竖直方向：匀变速直线运动.

4.基本规律

OX

以斜抛运动的抛出点为坐标原点。，水平向右为X轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向,

建立如图所示的平面直角坐标系xθy.

初速度可以分解为。Or=OOCoS。，UOv=Vosinθ.

在水平方向，物体的位移和速度分别为

x=θoM=（0（＞cosθ）tφ

VX-VOX-VOCOS8®

在竖直方向，物体的位移和速度分别为

y=%vf-%F=（比sin6»）f—上户③

4=0Q、，—gf=。OSin3—gt®

■提升关键能力

1.斜抛运动中的极值

在最高点，vy=0,由④式得到∕=°°,6⑤

将⑤式代入③式得物体的射高加=普詈⑥

物体落回与抛出点同一高度时，有y=0,

由③式得总时间/总=空普⑦

O

将⑦式代入①式得物体的射程Xm=唯：2。

当6=45°时,sin26最大，射程最大.

所以对于给定大小的初速度%,沿J=45。方向斜向上抛出时，射程最大.

2.逆向思维法处理斜抛问题

对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛

运动，还可根据对称性求解某些问题.

【例8】（2021•江苏卷∙9）如图所示，4、8两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮

筐时的速度方向相同，下列判断正确的是（）

A.A比B先落入篮筐

B.A、B运动的最大高度相同

C.A在最高点的速度比B在最高点的速度小

D.A、8上升到某一相同高度时的速度方向相同

答案D

解析若研究两个过程的逆过程，可看成是从篮筐沿同方向斜向上的斜抛运动，落到同一高

度上的两点，则A上升的高度较大，高度决定时间，可知4运动时间较长，即B先落入篮筐

中，A、B错误；因为两球抛射角相同，A的射程较远，则A球的水平速度较大，即A在最

高点的速度比B在最高点的速度大，C错误：由斜抛运动的对称性可知，当4、8上升到某

一相同高度时的速度方向相同，D正确.

【例9】（2023•浙江温州市模拟）如图甲所示是一种投弹式干粉消防车.如图乙，消防车从出弹

口到高楼的水平距离为X,在同一位置消防车先后向高层建筑发射2枚灭火弹，且灭火弹均

恰好垂直射入建筑玻璃窗，假设发射初速度大小均为。0,%与水平方向夹角分别为仇、θ2,

击中点离出弹口高度分别为⑶、后，空中飞行时间分别为小h灭火弹可视为质点，两运动

轨迹在同一竖直面内，且不计空气阻力，重力加速度为g.则下列说法正确的是（）

b∙时间之比9黑I

C.两枚灭火弹的发射角满足4+02=90。

D.水平距离与两枚灭火弹飞行时间满足X=Igtxt2

答案C

解析两灭火弹在竖直方向的初速度分别为0，i=ooSina，42=%sin仇，根据2v2=2g〃，可

得%,根据马=/，可得卜=；；：故A、B错误；两灭火弹在水平方向有X=Oocos

υs1θ

仇警辿，X=OOS⅜∙°1J^,可得Sin2。I=Sin2⅛=sin（180。-2%），结合数学关系可得θ↑

ðoCð

JT

O

+<92=90,故C正确；水平方向有OCOS仇，竖直方向有gf2=α）Sinθ2,又由仇+<⅜=90°

得Sine2=c0s仇，可得X=g∕V2,故D错误.

课时精练

过基础落实练

1.（2023•浙江省稽阳联谊学校联考）在北京冬奥会自由式滑雪女子空中技巧决赛中，中国选手

徐梦桃以压倒性优势夺冠.空中技巧比赛中，运动员经跳台斜向上滑出后在空中运动时，若

其重心轨迹与相同速度、不计阻力的斜抛小球轨迹重合，下列说法正确的是（）

A.斜向上运动过程中，运动员受斜向上作用力和重力

B.加速下落过程就是自由落体运动

C.在空中运动时，相等时间内运动员重心的速度变化相同

D.运动员运动到最高点瞬间，竖直方向分速度为零，竖直方向合力为零

答案C

解析斜向上运动过程中，斜向上作用力的施力物体不存在，所以运动员不受斜向上作用力，

故A错误；加速下落过程不是自由落体运动，因为水平方向有速度，故B错误；在空中运动

时，加速度恒为重力加速度，为定值，则相等时间内运动员重心的速度变化相同，故C正确：

运动员运动到最高点瞬间，竖直方向受重力作用，合力不为零，故D错误.

2.（2022∙广东卷∙6）如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一

玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L当玩具子弹以水平速度。从枪口向尸点射出时,

小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为。不计空气阻力.下列关于子弹

的说法正确的是（）

A.将击中P点，t大于§

B.将击中P点，t等于§

C.将击中P点上方，，大于§

D.将击中P点下方，，等于净

答案B

解析由题意知枪口与P点等高，子弹和小积木在竖直方向上均做自由落体运动，当子弹击

中积木时子弹和积木的运动时间相同，根据〃=*Z2,可知下落高度相同，所以将击中P点；

又由于初始状态子弹到户点的水平距离为L,子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有，=§,

故选B.

3.（多选）如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间r到达地面时，速度与水平方向的

夹角为仇不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是（）

/）

B.小球在r时间内的位移方向与水平方向的夹角为5

C.若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长

D.若小球初速度增大，则6减小

答案AD

解析由tan6=当可得小球平抛的初速度大小。O=J%,A正确；设小球在r时间内的位移

t/oIanU

、、h工婿Pf1Qι

方向与水平方向的夹角为α,由tani=-=∖^=*7=Tan夕可知，6t≠τ,B错误；小球做平

XVQIZUOZZ

抛运动的时间;与小球初速度无关，C错误；由tan。=W可知，S）越大，。越小，D

正确.

4.如图所示，滑板爱好者先后两次从坡道A点滑出，均落至8点，第二次的滞空时间比第一

次长，不计空气阻力，则（）

两次滑出速度方向相同

两次腾空最大高度相同

第二次滑出速度一定大

D.第二次在最高点速度小

答案D

解析设滑板爱好者从4点滑出后竖直方向的分速度为。,，，则空中运动的时间f=型，第二

g

次的滞空时间比第一次长，则第二次竖直方向的分速度大；两次水平方向的分位移大小相等，

则第二次水平方向的分速度2小，滑出速度方向与水平方向之间的夹角满足tan所以

UX

两次滑出速度方向一定不相同，故A错误；滑板爱好者从A到B做斜上抛运动，上升到的最

U2

大高度/?=铲，第二次竖直方向的分速度大，则第二次腾空最大高度大，故B错误；结合A

的分析可知，第二次滑出竖直方向的分速度大，水平方向的分速度小，所以不能判断出两次

滑出速度的大小关系，故C错误；滑板爱好者到达最高点时竖直方向的分速度为零，在最高

点的速度等于水平方向的分速度；第二次滑出水平方向的分速度小，则第二次滑出在最高点

速度小，故D正确.

5.（2023∙浙江瑞安市第六中学月考）如图所示,在M点分别以不同的速度将两个小球水平抛出，

两小球分别落在水平地面上的P点和。点.已知。点是M点在地面上的竖直投影，

~OP:¥0=1：3,且不考虑空气阻力的影响，下列说法中正确的是（）

A.两小球的下落时间之比为1:3

B.两小球的下落时间之比为1:4

C.两小球的初速度大小之比为1:3

D.两小球的初速度大小之比为1:4

答案D

解析依题意两小球下落高度相同，根据公式∕z=%Z2,可知两小球的下落时间之比为1：1,

故A、B错误；两小球的水平位移之比为2=二一二_:又X=。"，解得那4故C

X2OP+PQ

错误，D正确.

6.（2023•山东烟台市高三模拟）如图所示，小球以g正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到

达斜面的位移最小，则飞行时间f为（重力加速度为g）（）

O

2。Otanθ

A.r=υotanθ

Cgtan。tanθ

答案D

解析如图所示，要使小球到达斜面的位移最小，则要求落点与抛出点的连线与斜面垂直,

所以有tan6弋而x=。"，y=^gt2,联立解得故选D.

K'

过能力综合练

7.如图所示，一小球（视为质点）以速度。从倾角为。的斜面底端斜向上抛出，落到斜面上的M

点且速度水平向右.现将该小球以2。的速度从斜面底端朝同样方向抛出，落在斜面上的N

点.下列说法正确的是（）

A.落到M和N两点的小球在空中运动的时间之比大于1:2

B.小球落到M和N两点的速度之比大于1:2

C.小球落到N点时速度方向水平向右

D.M和N两点距离斜面底端的高度之比为1：2

答案C

解析由于落到斜面上M点时小球速度水平向右，故可把小球在空中的运动逆向看成从M

点向左的平抛运动，设在M点的速度大小为内，把小球在斜面底端的速度。分解为水平速度

Ox和竖直速度。＞，,则X=Oy=%Z2,位移间的关系tan（9=；联立解得在空中飞行时间f=

2v.ltan且8=gf=2“tan6,。和水平方向夹角的正切值tana=B=2tan8,为定值，即落

到N点时速度方向水平向右，故C正确；速度大小为O=Λ∕苏+外,2=./1+4tan%,即0与

OX成正比，故落到M和N两点的速度之比为1：2,故B错误；由『'"tan"知,落到M和

g

N两点的小球在空中运动的时间之比为1：2,故A错误；竖直高度为y=3gP=2"''nQ,y

4O

与22成正比，则M和N两点距离斜面底端的高度之比为1：4,故D错误.

8.（多选）（2023∙辽宁省模拟）如图所示，一倾角为，且足够长的斜面固定在地面上，将小球A

从斜面顶端以速度S水平向右抛出，小球击中了斜面上的C点，将小球B从空中与小球A

等高的某点以速度。2水平向左抛出，小球恰好垂直斜面击中C点，不计空气阻力，斜面足够

长，重力加速度为g,下列说法中正确的是（）

2。Itanθ

A.小球A在空中运动的时间为

g

B.小球B在空中运动的时间为里产

O

C.若将小球B以大小相等的初速度从该点向各个方向抛出，则竖直下抛落到斜面上所用时

间最短

D.若将小球8以大小相等的初速度从该点向各个方向抛出，则垂直斜面向上抛出落到斜面

上所用时间最长

答案AD

解析设小球A在空中运动的时间为t∖,则xι=υι∕∣,y∣=⅛Λ2,tan联立解得r∣=",

故A正确；设小球B在空中运动的时间为匕，则tan。=詈，解得故B错误；根

据运动的合成与分解可知，小球2落到斜面上所用时间取决于其在垂直于斜面方向的分运动

的情况，易知小球B在垂直于斜面方向的加速度大小始终为geos6,则当小球8以垂直于斜

面向下的初速度抛出时，其落到斜面上所用时间最短，当小球8以垂直于斜面向上的初速度

抛出时，其落到斜面上所用的时间最长，故C错误，D正确.

9.套圈游戏是一项趣味活动，如图，某次游戏中，一小孩从距地面高m处水平抛出半径为m

的圆环（圆环面始终水平），套住了距圆环前端水平距离为m、高度为m的竖直细圆筒.若重

力加速度大小取g=IOm*,忽略空气阻力，则小孩抛出圆环的初速度可能是（)

A.m/s

C.m/sD.m/s

答案B

2

解析根据hi-h2=^gt得

『尸=用S=

则平抛运动的最大速度

x+2R+2×

v↑=-^-=-------m∕s=m∕s,

X

最小速度。2=；=m∕s=m∕s,

则m∕s<υ<m∕s,故选B.

10.为加大生态环保力度，打赢污染防治攻坚战，某工厂坚决落实有关节能减排政策，该工厂

水平的排水管道满管径工作，减排前、后落水点距出水口的水平距离分别为XO、XI，则减排

前、后相同时间内的排水量之比为（）

解析设水下落的高度为儿与水下落的时间f的关系为∕J=&Z2,故下落高度相同，水流入

下方的时间相同，根据平抛运动水平方向的位移与时间关系X=",减排前、后水的流速比就

等于水平位移之比，所以减排前、后相同时间内的排水量之比就等于水平位移之比，即为独,

ɪl

A、C、D错误，B正确.

11.（2023•河北保定市高三检测）如图所示，某次跳台滑雪训练中，运动员（视为质点）从倾斜雪

道上端的水平平台上以IOm/s的速度飞出，最后落在倾角为37。的倾斜雪道上.重力加速度

大小取g=10m∕s2,sin37。=,cos37。=,不计空气阻力.下列说法正确的是（）

A.运动员的落点距雪道上端的距离为18m

B.运动员飞出后到雪道的最远距离为m

C.运动员飞出后距雪道最远时的速度大小为m/s

D.若运动员水平飞出时的速度减小，则他落在雪道上的速度方向将改变

答案C

解析根据平抛运动知识可知，x=vot,y=∕g尸，tan37°=；,联立解得f=s,则运动员的落

点距雪道上端的距离为s=c0s3下=01，选项A错误；当运动员速度方向与倾斜雪道方向平

行时，距离倾斜雪道最远，根据平行四边形定则知，速度0=co；；*=m∕s,选项C正确;

运动员飞出后到雪道的最远距离为∕z=∙⅞⅛察=m,选项B错误；当运动员落在倾斜雪

道上时，速度方向与水平方向夹角的正切值tanα=2tan37°,即速度方向与水平方向的夹角

是一定值，可知若运动员水平飞出时的速度减