2023-2024届新高考一轮复习人教A版 第十章 第4节　相互独立事件的概率、条件概率与全概率公式 作业

第4节相互独立事件的概率、条件概率与全概率公式

课时作业灵活分层，高效提能________________________

［选题明细表］

知识点、方法题号

相互独立事件及其概率4,5,8,13,14

条件概率及全概率公式1,2,3,6,7,9

综合应用10,11,12,15

ΓA级基础巩固练

L(2022•北京二模)小王每天在6:30至6:50出发去上班，其中在

6:30至6:40出发的概率为0.3,在该时间段出发上班迟到的概率为

0.1;在6:40至6:50出发的概率为0.7,在该时间段出发上班迟到的

概率为0.2,则小王某天在6:30至6:50出发上班迟到的概率为

(B)

A.0.13B.0.17C.0.21D.0.3

解析：由题意在6:30至6:50出发上班迟到的概率为0.3X0.1+

0.7X0.2=0.17.

2.已知某种传染性病毒使人感染的概率为0.95,在感染该病毒的条件

下确诊的概率为0.84,则感染该病毒且确诊的概率是(A)

A.0.798B.0.884C.0.889D.0.95

解析:记“感染该病毒”为事件A,“确诊”为事件B,则P(A)=O.95,

P(B∣A)=0.84,所以P(AB)=P(BA)P(A)=O.84X0.95=0,798,即感染该

病毒且确诊的概率是0.798.

3.已知P（BlA）=0.4,P（A）=0.6,则P（AF）等于（D）

A.0.12B.0.18

C.0.21D.0.36

解析：由P（BlA）=舞=萼，=0.4,解得P（AB）=0.24,所以P（AB）=

P⑷0.6

P（A）-P（AB）=O.6-0.24=0.36.

4.（2021•新高考I卷）有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,

从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的

球的数字是1"，乙表示事件”第二次取出的球的数字是2”，丙表示

事件”两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球

的数字之和是7"，则（B）

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

解析:事件甲发生的概率P（甲）=；,事件乙发生的概率P（乙）4,事件丙

66

发生的概率P（丙）=τ⅛=2事件丁发生的概率P（T）=⅛⅛事件甲与

6×6366X66

事件丙同时发生的概率为0,P（甲丙）≠P（甲）P（丙），故A错误;事件甲

与事件丁同时发生的概率为之=2P（甲丁）=P（甲）P（丁），故B正确；

6×636

事件乙与事件丙同时发生的概率为P（乙丙）≠P（乙）P（丙），故

ς6⅛X6=3^6,

C错误;事件丙与事件丁是互斥事件,不是相互独立事件,故D错误.

5.（多选题）从甲袋中摸出一个红球的概率是条从乙袋中摸出一个红

球的概率是右从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是（ACD）

A.2个球都是红球的概率为:

B.2个球不都是红球的概率为:

c.至少有1个红球的概率为I

D.2个球中恰有1个红球的概率为:

解析:设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A“从乙袋中摸出一个红

球”为事件A2,则P(A1)=∣,P(A2)=∣,且A1,A?相互独立.2个球都是红球

为A也,其概率为WA正确；“2个球不都是红球”是“2个球都

326

是红球”的对立事件,其概率为摄B错误;2个球中至少有1个红球的

概率为1—p(I)P@=1—IX号,C正确;2个球中恰有1个红球的概率

为1义31W=⅛D正确,

6.一个袋子里面装有白球4个,黑球3个,所有的球除颜色外完全相同,

每次从袋子中随机摸出1个球不再放回，在前两次都摸出白球的条件

下,第三次摸出黑球的概率是.

解析：记前两次摸到白球为事件A,第三次摸到黑球为事件B,则

6

P(A)WX14P(AB)=|Xlɪʌ,所以P(BlA)岑翁卷=|.

7

答案：|

7.足球比赛中点球射门是队员练习的必修课.已知某足球队员在进行

点球射门时命中率为87%,由于惯用脚的原因，他踢向球门左侧的概率

为70%,踢向球门右侧的概率为30%.经统计,当他踢向球门左侧时,球

进的概率为90%,那么他踢向球门右侧时,球进的概率为.

解析：设该队员踢向球门右侧时，球进的概率为X,则由题可知

70%×90%+30%∙x=87%,

解得x=80%.

答案:80%

8.三个元件T„T2,R正常工作的概率分别为I,|.*且是互相独立的∙

将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路,在如图的

电路中，电路不发生故障的概率是

解析:记“三个元件T1,T2,丁3正常工作”分别为事件AbA2,A3,则P(Al)=

P(A)4,P(AJ4,不发生故障为事件(AUA)A,则不发生故障的概

2244231

率P=P[(A2UA3)AJ=[l-p(A2)P(¾)]P(AJ=(I.X》X岩.

答案建

9.甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球,丙袋

中有4个白球和4个红球.先随机取一只袋,再从该袋中先随机取1个

球不放回，接着再从该袋中取1个球.

(1)求第一次取出的球为红球的概率；

(2)求第一次取出的球是红球的前提下,第二次取出的球是白球的

概率.

解：(1)设第一次取出的球为红球为事件A,取到甲袋、乙袋、丙袋为

事件B∣,B2,B3,则P(BI)=P(B2)=P(Bs)三，由全概率公式可得P(A)=

P(AIBJP(B)+P(AlBJP(Bz)+P(AB)・P(B)=j×∣+∣×∣+^×∣=∣.

3535303Z

⑵设第二次取出的球是白球为事件C,由全概率公式可得

P(AC)=P(AClB)P(B)+P(AC∣B)P(B)+P(AC∣B)P(B)=-×-×i+-×-×

l1223354354

31

所以P(ClA)=需厚嘿

2

rB级综合运用练

10.(2022・全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘

比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为

Pl,p2,pɜ,且p3>p2>p∣>θ.记该棋手连胜两盘的概率为p,则(D)

A.P与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关

B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大

D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大

解析:法一设棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为p中,在第二

盘与乙比赛连胜两盘的概率为p乙,在第二盘与丙比赛连胜两盘的概

率为P丙，由题意可知，

PHi=2p∣[p2(l-p3)+p3(l-p2)]=2p∣p2+2p∣p3-4p1p2p3,

P乙=2pz[pι(l-p3)+p3(l-p1)]=2p∣p2+2p2P3-4plp2p3,

P丙=2pjpι(l-p2)+p2(l-pι)]=2p∣p3+2p2p3-4pιp2p3,

所以P丙一Pφ=2p2(p3-p1)>O,

P丙一P乙=2p∣(p：]P2)>0,所以P丙最大.

法二(特殊值法)不妨设P∣=0∙4,p2=0.5,p3=0.6,则该棋手在第二盘

与甲比赛连胜两盘的概率P甲=2PJP2(1-P3)+P3(l-P2)]=0.4;在第二盘

与乙比赛连胜两盘的概率p乙=2p2山(l-p3)+p3(l-p1)]=0.52;在第二盘

与丙比赛连胜两盘的概率p丙=2p3[p1(l-p2)+p?(l^^p∣)]=0.6.所以p丙

最大.

H.（2023•广东广州模拟）甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比

赛为“三局两胜”制（无平局），甲在每局比赛中获胜的概率均为|,且

每局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局

的概率为（B）

1724

A.iB.-C.-D.2

3535

解析:设事件A表示“甲获得冠军”，事件B表示“冠军产生时恰好进

行了三局比赛”，则A包括“第一局甲获胜、第二局甲获胜”“第一

局甲获胜、第二局乙获胜、第三局甲获胜”“第一局乙获胜、第二局

甲获胜、第三局甲获胜”，则P（A）=Ix∣+∣χ[><∣+N∣><∣楞，

事件AB包括“第一局甲获胜、第二局乙获胜、第三局甲获胜”“第

一局乙获胜、第二局甲获胜、第三局甲获胜，，，则P（AB）=I义广|+打

、8

-X三巨,P(BlA)=学”=紊乙

33271P(A)—5

27

12.（多选题）（2022・江苏南京三模）连续抛掷一枚质地均匀的硬币

3次,每次结果要么正面向上,要么反面向上,且两种结果等可能.记事

件A表示“3次结果中有正面向上,也有反面向上”，事件B表示“3

次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向

上”，则下列结论正确的是（BCD）

A.事件B与事件C互斥

B∙P（A）二

4

C.事件A与事件B独立

D.记C的对立事件为G则P（BlC）=I

解析：由于B发生的情况中包含C,故事件B与事件C可同时发生,A错

误;P(A)=IqX2=∣,B正确;P(B)=^+C3XXP(AB)=C；Xal=

2°4Zo202Zo8

P(A)P(B),故事件A与事件B独立,C正确;P(C)=⅛4P(B国)=嚅=

D正确.

1—7

8

13.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，

每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、

5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球,在摸出的2个球中，若都是红

球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.

则顾客抽奖1次能获奖的概率为.

解析:记事件A尸｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝,A2=｛从乙箱中摸出

的1个球是红球｝,BL｛顾客抽奖1次获一等奖｝,B2=｛顾客抽奖1次获

二等奖｝,C=｛顾客抽奖1次能获奖｝.由题意知A1与A?相互独立,A4?与

½1A2互斥,B∣与B2互斥，且Bi=AiA2,B2=A1√l2+λ1A2,C=B1UB2,因为P(Al)=

-=-,P(A2)ɪɪɪɪ,

105102

所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=|×∣=∣,P(B2)=P(A1Z2+Z1A2)=P(A1Z2)+

P(I1A2)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)=P(A1)(1-P(A2))+(l-P(A1))P(A2)=

∣×(1-1)+(卜|)X与故所求概率为P(O=P(B.UB2)=P(B1)+P(B2)=

军=工

5210⅜

答案舄

14.甲、乙、丙三人进行摔跤比赛，比赛规则如下:①每场比赛有两人

参加，另一人当裁判,没有平局;②每场比赛结束时，负的一方在下一

场当裁判;③累计负两场者被淘汰;④当一人被淘汰后,剩余的两人继

续比赛,直至其中一人累计负两场被淘汰,另一人最终获得冠军，比赛

结束.已知在每场比赛中，甲胜乙和甲胜丙的概率均为|,乙胜丙的概

率为M各局比赛的结果相互独立.经抽签,第一场比赛甲当裁判.

(1)求前三场比赛结束后，丙被淘汰的概率；

⑵求只需四场比赛就决出冠军的概率；

(3)求甲最终获胜的概率.

解：⑴记事件A为甲胜乙，则P(A)=I,P(I)],事件B为甲胜丙,则

P(B)=|,P(B)=|,事件C为乙胜丙,则P(C)=∣,P(C)=∣,前三场比赛结束

后，丙被淘汰的概率为R=P(ClC)+P(CAB)4×i×i+i×∣×∣=⅛.

23223336

⑵只需四场比赛就决出冠军的概率为

P2=P(CACA)+P(CBCB)+P(CABA)+P(CBAB)=i×i×A×ɪ+1×A×

232323

IXlJX2X221222_19

232333233354

(3)由于甲胜乙和甲胜丙的概率均为|,且乙胜丙和丙胜乙的概率均为

今第一场比赛甲当裁判，以后的比赛相对于甲，可视乙、丙为同一人,

设甲胜为事件D,甲当裁判为事件E,P3=P(EDDD)+P(EDDDD)+

P(EDDED)+P(EDEDD)=-×-×-+-×-×ɪ×-+-×i×-+ɪ×-×.

333333333333381

IJC级应用创新练

15.(2022•新高考I卷,节选)一医疗团队为研究某地的一种地方性

疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的

关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时

在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下

数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良

好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，震々与等的比值是卫

P[B⑷P