结构力学笔记

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页序言欢迎各位学生报考2023年年***大学土木工程与力学学院研究生！宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。相信各位决定考研的学生们，都抱有各自的梦想。我们既然挑选了这条荆棘丛丛的路，就要能坚守自己的初衷，努力走下去，往往那些坚持到最后的人能收获胜利。这里，为了让各位学生能在有限的时光内控制大纲所要求的考试内容及认识考研考题风格，本人结合自己的考研经验，特编写《***大学2023年年工程力学考研辅导讲义》一书。本书郑重按照考纲要求及历年考试题型，并结合自己的学习经验，总结知识点。《***大学2023年年工程力学考研辅导讲义》只适用于2023年年参加***大学研究生考试并报考土木工程（一级学科）各专业（二级学科）的考生，考试专业课代码841，名称工程力学，内容以结构力学为主。之后我们将按照最新的考试动态，重新编写841工程力学辅导讲义，请后续考生担心。红果园考研同盟提供的841工程力学系列资料，旨在协助学生们提高复习效率，同时控制考研重点，总结考试逻辑。下面我将简要推荐841工程力学的考试情况及所需的参考资料。***大学841工程力学科目初试推荐《工程力学》试题分两大部分，第一部分是公共题，材料力学和结构力学基础题各一道，所有考生必做；第二部分是选做题，选做题有材料力学部分约六道大题和结构力学部分约六道大题，本人考研挑选的是结构力学，且结构力学相对而言容易拿高分，所以本书主要针对结构力学部分编写。结构力学是土木工程专业的基础学科，它是固体力学的一个分支，主要研究结构体的受力、变形等逻辑。本科考试主要考察学生对基本力学原理的理解，考察学生用基本原理解决实际问题的能力，对考生的分析能力、计算能力有较高的要求。按照***大学历年考试要求，在考研复习过程中所需用到的参考书目见表1。表1主要参考书目书名主编出版社《材料力学》（第二版）倪樵李国清钱勤***大学出版社《结构力学Ⅰ》（第3版）龙驭球包世华高等教诲出版社《结构力学》于玲玲中国电力出版社工程力学初试题目说明及应试技巧***大学的出题风格，无论是期中期末试题还是考研试题，基本上都是计算大题，不会出挑选填空题。每道计算题考查的知识点很固定，相宜于我们举行针对性复习，这对那些想在较短时光内控制解题技巧的考生来说是个福音。不过，每道题想要拿满分确很难，这需要考生有善于变通的思维，能举一反三并且有较强的计算能力。表2***大学历年复试线专业年份2023年年2023年年2023年年政治英语数学专业课总分政治英语数学专业课总分政治英语数学专业课总分岩土工程（081401）504590903255050909035550509090355结构工程（081402）504590903255050909035550509090355防灾减灾工程及防护工程（081405）504590903255050909035550509090355桥梁与隧道工程（081406）504590903255050909035550509090355（专硕）建造与土木工程（085213）606090903355050909037050508585345（数据来源：***大学研究生招生信息网/）本讲义主要分为两部分，第一部分为结构力学部分，共有八个章节，第一章是结构几何构造分析，这是结构力学所有知识的基础，惟独在区别结构体和非结构体的基础上才干做进一步的分析；第二章静定结构的受力分析，要做到对于普通的静定结构的内力图不计算就能画出；第三章虚功原理与结构位移计算，这是承上启下的一章，需要牢牢控制并理解透虚功原理；第四章静定结构的影响线，是个自立的知识点，综合了静定结构的所有知识点；第五章和第六章分离是力法和位移法，两种常用的用于解决超静定结构问题的主意；第七章渐进法和近似法，是对超静定结构解法的补充；第八章矩阵位移法，是超静定部分自立的知识点，为结构力学的电算提供理论根据。上面只是对各章节的内容在结构力学知识体系中的地位等做了一个简要的概括，有助于考生在学习过程中不迷失方向，后面我将按照我个人的总结堆积，用最通俗的语言对复杂的理论举行讲解，相信通过这本书的学习，考生一定会有较大的收获。第二部分为材料力学部分（主要针对公共题第一题），考题普通很容易，详细内容可参见材料力学课本。最后，我想强调的是，分析思路固然重要，普通的考生到最后计算过程都差不多，但是计算能力的培养一定不能忽略，因为全是计算大题，结果的正误解对得分有很大的影响，所以往往这将成为最后拉分的关键因素。考生在使用本讲义之前，需要对课本知识有一个基本的了解，本讲义属于拔高点睛性质，有些章节后面列出了相关的拓展文献，这些内容相宜那些空闲时光比较多、追求高分的考生，倘若能理解透这些文献，那么考生将会在考试过程中站在出题者的角度解题。因编写时光有限，加之作者水平有限，讲义中的不足与不妥之处在所难免，诚实希翼广大使用本讲义的考生批评指正。最后，预祝所有考生能考出理想成绩，学有所成！

第一部分结构力学结构的几何构造分析考研点睛大纲要求：会对各种体系举行几何构造分析。出题特点：结构几何构造分析题普通浮上在公共题部分，分值10分。普通给一个复杂的结构体系，要求考生分析其几何构造，以瞬变体系和不变体系居多。这类题目难度不大，控制了基本解题技巧之后可以在几分钟之内做完，但倘若分析不当，很容易陷入思维死循环奢侈大量时光，所以这章知识点不容小视。考研知识点总结基本概念理解几何不变体系：结构力学研究的范围，整本书以此为前提。几何可变体系：包括常变体系和瞬变体系，其中瞬变体系常作为这章的考点。瞬铰：由两根链杆不直接相交而产生，处在延伸线的交点。二元体：主要用于简化结构体系，使分析起来越发容易直观，考试常常涉及。自由度：倘若一个体系有n个自立的运动方式，则这个体系有n个自由度。结构力学的核心概念，考试很少碰到用自由度来判断结构体系的几何组成。铰结三角形逻辑铰结三角形逻辑实质上是让刚片之间如何衔接才干实现几何不变的逻辑。这里有种很容易的记忆主意，我们按照总刚体数量（包括刚片和链杆）的多少来分类：3=3+0第一个3表示总刚体的数量，第二个3表示刚片的数量，0表示链杆的数量，下同。三个刚片用三个铰两两相连，且铰不在向来线上，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。图1-1三刚体零链杆5=2+3总共五个刚体，将1,2作为主刚片，其他3个为链杆。两个刚片用三个链杆相连，且三链杆不交于同一点，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。图1-2五刚体三链杆7=3+4总共七个刚体，将1,2,3作为主刚片，其他4个为链杆。按照三刚片规矩，只要三个铰不在同向来线上，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。图1-3七刚体四链杆9=3+6总共九个刚体，将1,2,3作为主刚片，其他6个为链杆。其中6个链杆会产生3个虚铰，只要三个虚铰不在同向来线上或同时处于无穷远，则组成几何不变的整体，且没有多余约束图1-4九刚体六链杆自由度的计算一个刚片有3个自由度，一个铰有2个自由度。一个链杆约束1个自由度，一个铰约束2个自由度，一个刚结点约束3个自由度。所以自由度W的计算公式为：其中m表示刚体个数，h表示单铰数，r表示支座链杆个数。研究：当W=0时，体系性质不决定；当W>0时，原结构为几何可变体系；当W<0时，原结构为有多余约束的几何可变体系。考研典型例题例1：对下列体系举行几何构造分析。解：将刚片2,3,5组合记为刚体Ⅰ，链杆46记为刚体Ⅱ刚体Ⅰ通过链杆2和链杆13与地面相连，交于虚铰O1；刚体Ⅱ通过链杆14和链杆6与地面相连，交于虚铰O2；刚体Ⅰ和刚体Ⅱ通过链杆34和56相连，交于虚铰O3；且铰O1，O2，O3不共线，按照三刚片三铰规矩，囫囵体系为没有多余约束的几何不变体系。

第二章静定结构的受力分析2.1考研点睛大纲要求：控制多跨静定梁、刚架、桁架、组合结构、三铰拱的内力计算主意，会画内力图，重点是弯矩图。出题特点：公共题部分会有单独求静定结构内力的考题，分值普通为25分，结构比较复杂，且通常是对称结构，这同时也考察了对称简化的知识点。在后面的力法和位移法计算题中，选取的基本体系也通常是静定结构，所以确切求解静定结构的内力十分重要。这一章内容贯通囫囵结构力学，在学习过程中，需要牢牢控制弯矩图的画法，然后通过弯矩图求得剪力图和轴力图。考试过程中，弯矩、剪力、轴力的方向很容易出错，在学习时需异常注重。考研知识点总结轴力、弯矩和剪力方向的判断轴力以拉力为正，剪力以绕微段隔离体顺时针转者为正，弯矩以使杆件下部受拉时为正。在实际做题分析时，我们可以容易的通过弯矩图来判断弯矩和剪力的方向，这种主意异常实用，必须熟练控制。图2-1弯矩和剪力方向的判断如图2-1，将弯矩图沿平行杆轴方向两端延伸，尖角指向就是剪力方向，弯矩方向如图中所示，箭头尾端从弯矩侧开始绕杆端旋转。2.2.1荷载和内力之间的微分关系普通在求解内力时，我们最先得到弯矩图，那么我们如何按照弯矩图得到剪力图和轴力图呢？这就要用到荷载和内力之间的微分关系，可以这样容易的理解：弯矩图的导数就是剪力图，剪力图的导数就是所受到的力。详细关系如下：2.2.2内力图的特点静定结构的弯矩图要做到不用计算就可以直接画出来。在画弯矩图时，需记住以下几种情况：单铰和自由端点处的弯矩为零顺时针弯矩使弯矩图向下突变，逆时针弯矩使弯矩图向上突变。M图M图2.2.3静定结构的重要性质静定结构是无多余约束的几何不变体系，用静力平衡条件可以唯一地求得所有内力和反力。因此，静定结构无论形式多复杂，一定是可以求解的。静定结构只在荷载作用下产生内力，其他因素作用时（如支座位移、温度变化、发明误差、材料收缩等），只引起位移或变形，不产生内力。这个知识点异常重要，常考考点，很容易与后面学的超静定结构混淆，超静定结构由支座位移、温度变化、发明误差、材料收缩等会产生内力。静定结构由弹性支座或弹性结点时，内力与刚性支座或刚性结点时一样，但位移不同。2.2.4静定多跨延续梁普通先按照整体受力平衡，求出支座反力，再选取隔离体，计算每个隔离体的受力情况。例如，求作下图多跨延续梁的弯矩图。分析：作弯矩图时，我们将铰结点作为重点看见对象，因为铰结点处的弯矩为0。C、D两点为突破口，其间不会传递剪力，所以我们可以单独分析C、D两侧的弯矩，在D点右侧，很容易求得E点弯矩为（D，E之间没有剪力，所以弯矩为常数，等于D点弯矩），F点弯矩为，知道E、F两点弯矩后，直接相连即得到EF之间的弯矩图（因为EF之间不受均布荷载，所以弯矩图一定为直线）。同理可画出C点左侧的弯矩图。2.2.5静定平面桁架静定平面桁架只受轴力，受拉时轴力为正，受压时为负。桁架的内力计算主意有结点法和截面法。常考零杆的判定，记住口诀“正K斜零”和“反横竖零”后判定十分方便。“正K斜零”表示对称结构在正对称荷载作用下，对称处的“K”型节点若无外荷载作用，则斜杆为零杆。如下图1，2杆为零杆。“反横竖零”表示对称结构在反驳称荷载作用下，对称轴处的竖杆为零杆。如下图杆AB和支座B的反力为零。两杆交于一点，若结点无荷载，则两杆的内力均为零。三杆交于一点，其中两两共线，若结点无荷载，则第三杆是零杆。下图中。2.2.6静定平面刚架刚架中的结点所有或部分是刚结点，通常是先求支座反力，再求控制截面的内力，最后作内力图。常以三铰刚架拓展成复杂的刚架出题，在复习时，一定要会熟练求解三铰刚架。如图，普通先举行整体受力分析，分离对A，B两点取矩，得到两个平衡方程，再取隔离体ADC（或BEC），对C点取矩，得到另一个平衡方程，将前面的两个方程联赶紧可求得支座反力，最后按照支座反力求得隔离体中的其他力。2.2.7三铰拱三铰拱的内力计算主意与三铰刚架的计算主意相同，考试考得比较少，但要知道拱的水平推力的计算公式。式中，为相应简支梁的竖向反力，为相应简支梁截面C的弯矩。2.3考研典型例题例1试作出下面结构的弯矩图。解：对于作弯矩图的题目，首先决定结构类型，容易分析可知，此为静定结构。第二，分析结构的组成方式，可以发现，AB部分为附属结构，所以首先计算AB部分的内力，计算求得。A点的弯矩为零，B点的弯矩为，所有由叠加法可以画出AB部分的弯矩图。对于剩下的部分，先求出D、E支座处的反力，此处求得，此部分弯矩为零。CD部分的弯矩也可以通过叠加法求得。当都求得后，对C结点取隔离体，由可计算出，最后画出所有弯矩图。例2画出下图所示结构的弯矩图。解：分析主意同例一，注重桁架只受轴力。请读者自己练习计算，结果如图所示。

第三章静定结构的位移计算3.1考研点睛大纲要求：控制各种静定和超静定结构由荷载、支座位移、温度改变、发明误差引起的位移计算，重点是图乘法计算位移。出题特点：这部分内容每年都会考到，不仅会在静定结构中出计算位移的题目，还会在超静定结构中出，分值占比比较大，所以在复习时需重点控制。这种题目普通结合支座移动，弹簧等知识点，倘若没有深刻理解虚功原理，直接套用书上的公式很容易混淆。考研知识点总结3.2.1虚功原理在讲解虚功原理之前，需要知道能量守恒定律，其实虚功原理就是能量守恒定律的一种变形。在这里，按照能量守恒，外力所做的功所有转化为内能，用式子表示如下：其中分离表示外荷载所做的功和支座移动所做的功，表示杆件变形能，表示弹性势能。下面在说明虚功原理之前可以看一个容易的例子。例1已知弹簧刚度系数，试求图（a）所示结构C点的竖向位移。解：用能量守恒定律，外力所做的功等于系统内能的变化，这里内能有杆件的变形能（普通只要杆件有弯矩我们就可以认为它存储了变形能）和弹簧的弹性势能，有：因为我们普通忽略杆件的轴向变形能和剪切变性能，所以上式简化为：画出图：外力所做的功为（力力方向上的位移）；杆件变性能为（图乘法求得，本质上也是力位移）弹性势能为（力位移）所以列方程：解得以上是我们在没学虚功原理之前用能量守恒计算的过程，外力功和弹性势能很容易计算，此例因为杆件弯矩图是直线，图乘的时候杆件变形能也勉强能算，但是当弯矩图是曲线的时候，两个曲线图乘是很难计算的，所以能不能有一种容易的方式求杆件的变性能？这时就要用到虚功原理，虚功原理本质上是用一个单位力系替换原力系，单位力系在原结构的变形上同样满意能量守恒定律。首先，我们先取一个单位力系，为了使前面的系数为1以便于计算，我们不妨在C点向下施加单位力，然后求解该体系，得到图，图就是我们取得一个单位力系，然后再用这个单位力系乘以原结构的位移（通俗的说就是用虚设力乘以实际位移），列出虚功方程，即可求得C点位移。虚功方程：解得以上就是虚功原理的本质，希翼学生好好理解。3.2.2刚体位移与变形体的位移刚体体系只发生刚体位移，不产生变形，例如杆件；刚体体系的位移求解和变形体体系的位移求解都用虚功原理，只是方程的形式不一样，求解刚体位移时方程右边为零，即。3.2.3图乘法首先明确，图乘法是用来干什么的？在虚功原理的等式中，有一项要求杆件的变形能，图乘法就是用来求这个变性能的。在理解的时候我们可以把图当做杆件的变形，图当做杆件的虚设单位力，这样就能明了图和图的作用。图乘法公式：式中：代表的面积，代表与该面积对应的的竖距。倘若图和图都为直线，那么下面这个常用公式必须记住：式中：倘若两图弯矩方向相同取正巧，相反取负号。例如若在下方，则应为考研典型例题例1：求下图所示结构D铰两侧的相对转角。解：首先作出图在D铰两侧作用一对虚设单位力偶，作出图，用图乘法得：例2求下图所示结构C点的水平位移，杆件为常数。解：这种弹簧支座类的题目，注重外力做的功有一部分转化为弹性势能，不要漏掉。首先作出图和图然后用图乘法，解得

第四章静定结构的影响线4.1考研点睛大纲要求：会用静力法和机动法制作静定结构：如多跨静定梁（在直接荷载和间接荷载作用下）、桁架、结合结构的影响线。会用影响线决定移动荷载的最不利位置及最大内力。控制超静定结构影响线制作的基本概念。出题特点：常考间接荷载作用下静定多跨延续梁的影响线，题目难度不高，但不容易拿满分。这章的题目需要多练，必须认识各种结构形式各种内力的影响线画法。对于静定结构，常用机动法做结构的影响线，需要一定的想象能力。建议在复习的时候，首先用机动法做，因为机动法省去了计算步骤，解题速度异常快。4.2考研知识点总结4.2.1影响线的概念影响线是表示单位移动荷载作用下内力变化逻辑的图形。这里的内力普通是轴力、剪力和弯矩。我们可以这样理解：将某一点处的内力作为研究对象，看见它随单位移动荷载的变化情况，这个内力随位置变化的的曲线就是影响线，影响线常用来决定荷载的最不利位置。影响线的性质：静定结构的内力影响线是直线或折线；超静定结构的内力影响线是曲线。4.2.2影响线的求法静力法静力法的原理是先决定单位荷载的几个代表位置，然后分离求在这几个代表位置处研究点的内力。因为静定结构的影响线是折线，所以普通将节点处或分析点处选为代表位置，求出内力值后用直线衔接。静力法的优点是通用性高，所有的影响线都可用静力法计算，缺点是要选取无数个代表位置，计算量大。机动法机动法以虚功原理为根据，将求内力影响线的静力问题转化为作位移图的几何问题，其优点是不需经过计算就能很快绘出影响线的轮廓。详细步骤为：首先建立坐标系假设所求量值Z的方向，并撤去与该量值相对应的约束，代以未知力。使体系沿与Z一致的方向发生位移，作出体系的虚位移图，取出单位荷载移动范围杆件的位移图，就是Z值影响线的轮廓。另Z作用线方向的位移等于1，就可以进一步定出影响线各竖距的数值。若影响线的图形在y轴正向，则影响线取正巧；反之，取负号。若绘制间接荷载作用线影响线，则有：将各节点向影响线做投影点。用直线衔接相邻投影点的竖距，就得到间接荷载作用线的影响线。4.2.3影响线的应用求各种荷载作用下的影响若为一组扩散荷载：其中为影响线中对应荷载作用点处的竖距。若为均布荷载：其中表示影响线的图形在受载段AB上的面积。求荷载的最不利布置倘若移动荷载是单个扩散荷载，则最不利位置是这个扩散荷载作用在影响线的竖距最大处。倘若移动荷载是一组扩散荷载，则在最不利位置时，必有一个扩散荷载作用在影响线的顶点。倘若移动荷载是均布荷载，而且可以按随意方式分布，则其最不利位置是在影响线正号部分弥漫荷载（求最大正号值），或者在负号部分弥漫荷载（求最大负号值）。4.3考研典型例题例1试用机动法作静定多跨梁的，，，，的影响线。解：作的影响线。将K点的转角约束去掉，则K点为铰结点，K点左侧，以使杆件下部受拉的方向为正施加弯矩，K点右侧也是，所以弯矩方向如下图所示，然后用机动法作出影响线。作的影响线。K点两侧发生竖向错动并且平行，施加剪力以使K点左侧杆件发生顺时针转动为正，K点右侧也是，所以剪力方向如图所示，然后令K点相对位移之和为1，用机动法作出影响线。作的影响线。将C点的转角约束去掉，施加正向弯矩，此时C点左侧不可能发生转动（仔细看见想象），惟独C点右侧能发生转动。作的影响线。注重E点左侧不可能发生位移。作的影响线。在D点施加正向的力使D产生单位位移。例2作下图所示结构A点的弯矩和剪力影响线。解：作间接荷载作用下的影响线时，首先去掉上部的节段横梁，按常规主意画出下部延续梁的影响线（虚线所示），然后将上部的节段横梁结点投影，衔接投影点，即是总算的影响线。

第五章力法5.1考研点睛大纲要求：会使劲法计算超静定的梁、刚架、桁架、组合结构。对对称结构会举行简化计算。出题特点：力法，每年必考内容，也是结构力学的核心知识。常见的有求解一次超静定，二次超静定以及对称结构，常常会糅合弹簧支座和支座位移的情况，复习时需要额外注重。但是，对于这些考题，只要会列力法方程，基本上是送分题，所以复习时着要重理解方程每项的由来。5.2考研知识点总结5.2.1力法方程基本未知量：把多余未知力作为处于关键地位的未知力，这些未知力称为基本未知量。基本体系：将超静定结构的多余约束去掉，代之以多余未知力（基本未知量），这样得到的含有多余未知力的静定结构称为力法的基本体系。注重，基本体系包含结构和力系。基本结构：将基本体系中的力系所有去掉所得到的结构体系称为基本结构。力法方程：实质上就是位移协调方程。一次超静定二次超静定n次超静定依此类推。5.2.2力法的计算过程判断超静定次数对结构举行几何构造分析，判断超静定次数，详细内容见第一章。考试时倘若超静定次数多于3次，普通需要取半结构举行简化计算。下图结构有三个多于约束，为2次超静定结构。画出基本体系去掉多于约束，代之以多于未知力和，即为基本体系。分离作出图，图和图图图图列出力法方程其中，，和，分离由图乘法求得。表示在未知力1处作用单位力时，在1处产生的位移；表示在未知力2处作用单位力时，在1处产生的位移；表示在外荷载作用下，在1处产生的位移；其他同理。画弯矩图按照第（4）步求得位置力和后，把图放大倍，图放大倍，最后将得到的图与叠加，即得到总算的弯矩图。以前我们求解静定结构的弯矩图时，只需要通过力学平衡方程就能解出，但是对于超静定结构，需要利使劲法，并综合力学平衡方程和位移协调方程才干求解，所以，力法是用来求解超静定结构的有力工具。5.2.3半结构的选取这部分研究的内容所有针对对称结构，按照所受荷载类型不同，可分为正对称荷载和反驳称荷载，在学习时，我们只需记住以下两种情况即可，其他复杂情况都可以按照这两种情况变形得到。例如，对于下图结构：正对称荷载作用下可简化为：实际操作时分两步，第一先取半，第二在中线节点处加上滑动铰支座。反驳称荷载作用下可简化为：实际操作时分两步，第一先取半，第二在中线节点处加上单链铰支座。5.3考研典型例题例1使劲法计算下图（a）所示结构，画出弯矩图。图中，必须按图（b）所示的基本体系举行计算。（***大学2023年年）图（a）图（b）解：首先画出图和图图图在列力法方程时要注重，未知力点是弹簧支座，实际上有位移，所以力法方程右边应该不是为0，应该等于实际发生的位移。弹簧实际位移大小为，方向竖直向下，与所设基本未知量的方向相反，所以为负。，求和实质上是求另一个一次超静定结构的位移。最后带入得，将图乘以倍再与叠加，得到总算弯矩图。

第六章位移法6.1考研点睛大纲要求：会用位移法计算超静定的梁、刚架、桁架、组合结构。对对称结构会举行简化计算。出题特点：位移法题目难度较力法题目要大。解位移法题目时，课本上给的解法是基本体系法，即按照所设未知量处的受力平衡列位移法典型方程，然后联立求解。但是历年考题都偏重另一种解法，转角位移法，即按照整体受力平衡和隔离体受力平衡来列方程，这种求法较为灵便，计算过程相对基本体系法更容易。复习时，两种主意均应控制并能熟练运用。6.2考研知识点总结6.2.1位移法基本未知量的选取位移法是以结点位移为基本未知量，基本未知量的数目等于自立结点角位移数加上自立结点线位移数。自立结点角位移数指为使结点不发生角位移，需在结点施加附加刚臂的数目。自立结点线位移数指为使结点不发生线位移，需在结点施加附加链杆的数目。6.2.2转角位移法利用转角位移方程和位移协调条件，写出用结点位移表示的各杆件的杆端弯矩表达式。利用与转角位移相应的隔离体的平衡条件建立平衡方程。解方程求出结点位移。将结点位移代入杆端力方程，从而求出杆端内力。6.2.3基本体系法决定基本未知量。由附加约束上约束力之和为零的条件，建立位移法方程。在基本结构上分离绘制由各附加约束分离产生单体位移下的弯矩图及荷载作用下的弯矩图，由平衡条件求出系数和自由项。解方程，按叠加原理计算杆端弯矩。6.2.4转角位移方程转角位移方程也称形常数，即由杆端位移求杆端内力。这些内容是位移法的基础知识，必须熟记。6.2.5由荷载求固端内力由荷载求固端内力亦即载常数。常用的一些必须熟记。详细请参见龙驭球、包世华《结构力学Ⅰ-基本教程》第3版表7-1等截面杆件的固端弯矩和剪力。6.2.6位移法中弯矩方向的判定如下图a，若将B处的转角作为基本未知量，则在B处添加一个附加刚臂。当在B点施加顺时针转角时，弯矩的方向如何判定？沿BC方向，我们假设自己面朝C点，则右手边就是的方向。图a图b6.3考研典型例题例1.做下图a所示斜刚架的M图，各杆刚度为EI，长度为。图a（题图）图b（图）图c（图）图d（图）解：首先决定位移法基本未知量的个数，容易分析可知，惟独B点转角为基本未知量。作出图和图，列出位移法方程：其中，，带入上式得所以通过叠加法可得到M图。例2.请用位移法计算下图所示结构（做到建立好位移方程）。弹簧支座的刚度系数为k。（***大学2003）图a（题图）图b（基本体系）图c（M1图）图d（M2图）图e（MP图）解：首先决定两个基本未知量。作出图、图和图，如上图所示。列出位移法基本方程：各系数可由图、图和图求出，，，，，带入位移法方程即可。

第七章渐进法及其他算法简述7.1考研点睛大纲要求：会使劲矩分配法计算超静定梁和无侧移刚架。出题特点：求解超静定结构的内力时，我们学过了力法和位移法，这两种主意都是确切的求解主意。这章所讲的力矩分配法是近似解法，考试时着重考察多跨超静定延续梁的力矩分配法，复习时需要多做例题，控制常见的结构及其解题主意。7.2考研知识点总结7.2.1力矩分配法的基本概念转动刚度：表示杆端对转动的抵御能力，等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。转动刚度可由力法和位移法导出，但是必须熟记。对于近端固结，有远端固定远端简支远端滑动远端自由式中记住：转动刚度的值与远端的支撑情况，近端的竖向支撑情况有关。例如上图（a），图（b），图（c）。图（a）（b）近端没有竖向支撑，远端竖向支撑相同，所以相等；图（c）近端竖向支撑为弹簧k，当时，相当于无竖向支撑，与（a）（b）相同，所以，当时，相当于有彻低竖向支撑，。分配系数：杆AB在结点A的分配系数等于杆AB的转动刚度与交于A点的各杆的转动刚度之和的比值。传递系数：表示近端有转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。力矩分配法可以理解为，外力作用在延续梁的某一部分上，我们先假设这一部分彻低固定，求出其内力后（查载常数表），再按照力矩分配法的原理将内力“蔓延”到囫囵结构，计算确实切度与蔓延的次数有关。7.2.2力矩分配法的基本思路力矩分配法适用于延续梁和无结点线位移的刚架。基本思路如下：首先求出各结点的分配系数，这个结点衔接几个杆件就有几个分配系数，注重各结点的所有分配系数之和等于1。限制所有结点的转动，求出在外荷载作用下的弯矩图。每次只放松一个节点，求得这个节点的不平衡弯矩，再将这个不平衡弯矩反向分配，传递。依此重复步骤（3），直到分配的不平衡弯矩很小，且满意精度要求。最后将杆端的所有弯矩相加，得到总算的杆端弯矩。7.2.3不平衡力矩的求法力矩分配法关键是求得不平衡力矩，可想而知其重要性，我们以下面一个例子来说明。使劲矩分配法求解下图（a）所示结构。我们首先将B点加一个附加刚臂，再作出在外荷载作用下的弯矩图，如图（b）。我们分离出结点B，按照弯矩图画出结点B的受力，弯矩方向的判断见第二章。我们假设不平衡弯矩沿顺时针方向，则由可得：我们取按照结点B的分配系数分配，再传递即可得到其他杆端的弯矩。7.3考研典型例题例1.使劲矩分配法计算下图所示刚架。解：惟独一个结点B需要分配，只需分配一次就可以得到确切结果。DF部分常常考到，可以简化成一个作用在D点的扩散力和弯矩。简化后的结构如下图所示。转动刚度，，分配系数，，将结点B固定，求得外荷载作用下的固端弯矩，如下图（c）所示：求得不平衡力矩，将分配并传递，得到总算图（d）弯矩图。例2.使劲矩分配法计算下图所示延续梁，并作出弯矩图，其中EI为常数。解：计算转动刚度：分配系数：固端弯矩：这题有两个结点需要分配，计算所得结果为近似解，普通分配传递2次就行。最后分配过程（图b）和弯矩图（图c）如下图所示：

第八章矩阵位移法8.1考研点睛大纲要求：对超静定