2023年上海市16区数学中考二模汇编4 图形的性质含详解

专题04图形的性质

一、单选题

1.（2023•上海闵行•统考二模）下列命题是真命题的是（）

A.平行四边形的邻边相等；B.平行四边形的对角线互相平分；

C.平行四边形内角都相等；D.平行四边形是轴对称图形.

2.（2023•上海杨浦・二模）下列命题中，正确的是（）

A.对角线相等的四边形是平行四边形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.对角线相等的平行四边形是矩形

D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

3.（2023•上海宝山•统考二模）如果一个三角形的两边长分别为5cm、IOCm,那么这个三角形的第三边的长可以

是（）

A.3cmB.5cmC.IOcmD.16cm

4.（2023・上海闵行•统考二模）如图，在./BC中，NAeB=90。.用尺规作图的方法作出直角三角形斜边上的中线

CP,那么下列作法一定正确的是（）

5.（2023•上海松江•统考二模）下列命题正确的是（）

A.三点确定一个圆B.圆的任意一条直径都是它的对称轴

C.等弧所对的圆心角相等D.平分弦的直径垂直于这条弦

6.（2023•上海浦东新•统考二模）顺次联结四边形ABCo各边中点所得的四边形是矩形，那么四边形ABCO一定是

（）

A.菱形B.对角线相等的四边形

C.对角线互相垂直的四边形D.对角线互相垂直且平分的四边形

7.（2023∙上海金山•统考二模）下列图形中，是中心对称图形且旋转240。后能与自身重合的图形是（）

A.等边三角形B.正方形C.正八边形D.正十二边形

8.（2023,上海宝山•统考二模）已知点/、B、C在圆。上，那么下列命题为真命题的是（）

A.如果半径。8平分弦AC,那么四边形OABC是平行四边形

B.如果弦AC平分半径08,那么四边形OABC是平行四边形

C.如果四边形OABC是平行四边形，那么NAOC=I20。

D.如果NAOC=I20。，那么四边形。43C是平行四边形

9.（2023•上海徐汇•统考二模）如图，在梯形ABCO中，已知AO〃BC,AD=3,BC=9,AB=6,CD=4,分

别以A8、CD为直径作圆，这两圆的位置关系是（）

A.内切B.外切C.相交D.外离

10.（2023∙上海浦东新•统考二模）如图，已知正方形OEFG的顶点。、E在ABC的边BC上，点G、尸分别在边

AB.AC上，如果8C=8,45C的面积是32,那么这个正方形的边长是（）

IL（2023∙上海崇明•统考二模）下列命题是真命题的是（）

A.四边都相等的四边形是正方形B.一组邻边相等的矩形是正方形

C.对角线互相垂直平分的四边形是正方形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

12.（2023∙上海静安•统考二模）下面是"作/A08的平分线"的尺规作图过程：

①在。4、OB上分别截取。£＞、OE,使OD=OE；②分别以点O、E为圆心，以大于;。E的同一长度为半

径作弧，两弧交于ZAOB内的一点C；

③作射线OC.

OC就是所求作的角的平分线.

B.两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等

C.两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等

D.两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等

13.（2023•上海松江•统考二模）如图，点G是A3C的重心，四边形AEG。与45C面积的比值是（）

14.（2023・上海崇明•统考二模）己知在一ABC中，AB=AC=5,BC=6,如果以/为圆心厂为半径的A和以

BC为直径的。相交，那么厂的取值范围（）

A.l<r<4B.4<r<10C.l<r<7D.7<r<10

15.（2023・上海金山・统考二模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知

EF=CD=8,那么球的半径长是（）

A.4B.5C.6D.8

二、填空题

16.（2023・上海浦东新•统考二模）如果两圆的半径分别为5或2,圆心距为7,那么这两个圆的位置关系是

17.（2023•上海闵行•统考二模）如果正六边形的半径长为2,那么它的面积为.

18.（2023•上海松江•统考二模）已知相交两圆的半径长分别为R和，如果两圆的圆心距为6,且R=2r,试写出

一个符合条件的〃的值：.

19.（2023・上海宝山•统考二模）如图，在正五边形ABCDE中，尸是边BC延长线上一点，连接AC,那么NACF的

度数为.

BCF

20.（2023•上海静安•统考二模）已知半径分别是2和6的两圆的圆心距为6,那么这两个圆有个公共点.

21.（2023∙上海宝山•统考二模）如图，已知点E在矩形ABC。的边AD上，且8C=EC=8,ZABE=I5°,那么

AB的长等于_________.

22.（2023•上海闵行•统考二模）如图，在平面直角坐标系Xoy中，点4在直线y=2x上，点/的横坐标为1,点P

是X轴正半轴上一点，点8在反比例函数yJ（χ>O）图象上，联结AP、PB和OB.如果四边形OAPB是矩形，那

X

么人的值是.

23.（2023•上海崇明•统考二模）如图，ABC和V45E都是等边三角形，点。是ABC的重心，那么沁=

A

E

/D∖

BL-------------------ʌe

24.（2023・上海嘉定・统考二模）如图，在RtA4SC中，NC=90。，AB=I3,SinA=A以点C为圆心，R为半

径作圆，使4、8两点一点在圆内，一点在圆外，那么R的取值范围是.

25.（2023•上海徐汇•统考二模）如图，在直角坐标系中，已知点A（8,0）、点3（0,6）,A的半径为5,点C是A

上的动点，点尸是线段3C的中点，那么OP长的取值范围是.

26.（2023•上海徐汇•统考二模）如图，已知。的内接正方形ABC。，点F是CO的中点，AP与边£>C交于点

E,那么M=

AE

三、解答题

27.（2023・上海松江•统考二模）如图，四边形ABCO中，AD//BC,AD±CD,AD=∖,CD=2.

BC

（1）如果BC=3,求CotB的值；

（2）如果AB=BC,求四边形ABa）的面积.

28.（2023•上海闵行•统考二模）如图，在ΛBC中，NAC8=90。，AC=2,8C=4,点。为AB的中点，过点8

作CO的垂线，交8的延长线于点E.

⑴求线段C/）的长;

⑵求建CD的值.

29.（2023•上海浦东新•统考二模）已知：如图，。是ABC的外接圆，AE平分.ABC的外角/D4C,

OM±AB,ONlAC,垂足分别是点Λ/,N,且OM=ON.

D,

⑴求NOAE的度数;

3

(2)如果3C=6,CosB=-,求。的半径长.

3

30.（2023•上海嘉定•统考二模）如图，在ΛBC中，AC=AB,SinA=圆。经过/、8两点，圆心。在线段

AC上，点C在圆。内，且OC=3.

⑴求圆。的半径长;

（2）求BC的长.

31.（2023・上海金山•统考二模）如图，已知在.ABC中，AB=AC=6,BC=4,点E、F分别是AB、AC的中

点，过点C作C£>〃AB交EF的延长线于点。，连接AD.

A

⑴求/8的正弦值;

(2)求线段A。的长.

32.(2023•上海徐汇•统考二模)如图，AD,分别是,ABC边BC上的高和中线，已知8C=8,tanβ=∣,

ZC=45°.

⑴求AO的长；

(2)求SinNBAE的值.

33.(2023・上海崇明•统考二模)如图，已知在.ABC中，AC=5,BC=6,。经过ASC的顶点4C,交

AB边于点。，AD=4JJ,点C是AO的中点.

⑴求。的半径长；

(2)联结OC,求sin/58.

专题04图形的性质

一、单选题

1.（2023•上海闵行•统考二模）下列命题是真命题的是（）

A.平行四边形的邻边相等；B.平行四边形的对角线互相平分；

C.平行四边形内角都相等；D.平行四边形是轴对称图形.

【答案】B

【分析】根据平行四边形的性质可进行求解.

【详解】解：由平行四边形的性质可知：平行四边形的两组对边相等；平行四边形的对角线互相平分；平行四边

形的对角相等；平行四边形是中心对称图形；

故选B.

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及真命题，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.

2.（2023・上海杨浦・二模）下列命题中，正确的是（）

A.对角线相等的四边形是平行四边形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.对角线相等的平行四边形是矩形

D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

【答案】C

【分析】根据平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定方法，对选项逐个判断即可;

【详解】A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意；

B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；

C.对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，符合题意；

D.对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；

故选：C.

【点睛】此题考查了平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定，掌握它们的判定方法是解题的关键.

3.（2023•上海宝山・统考二模）如果一个三角形的两边长分别为5cm、IOCm,那么这个三角形的第三边的长可以

是（）

A.3cmB.5cmC.IOcmD.16cm

【答案】C

【分析】利用三角形的三边关系求出第三边的取值范围，进而可作出选择.

【详解】解：设这个三角形的第三边长为XCm,

则10-5<x<l（）+5,BP5<x<15,

选项C中的IOCm满足条件，

故选：C.

【点睛】本题考查三角形的三边关系，会利用三角形的三边关系求得第三边的取值范围是解答的关键.

4.（2023・上海闵行•统考二模）如图，在JLBC中，ZAeS=90。.用尺规作图的方法作出直角三角形斜边上的中线

CP,那么下列作法一定正确的是（）

【答案】C

【分析】根据线段垂直平分线的作图、角平分线的作图及直角三角形斜边中线定理可进行求解.

【详解】解：A、由作图可知CP=BC,不满足点P是AB的中点，故不符合题意；

B、由作图可知BP=BC,不满足点P是A8的中点，故不符合题意；

C、由作图可知点P是A3的中点，故符合题意；

D、由作图可知CP平分NAC8,故不符合题意；

故选C.

【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线定理及线段垂直平分线的作图、角平分线的作图，熟练掌握尺规作图

是解题的关键.

5.（2023•上海松江•统考二模）下列命题正确的是（）

A.三点确定一个圆B.圆的任意一条直径都是它的对称轴

C.等弧所对的圆心角相等D.平分弦的直径垂直于这条弦

【答案】C

【分析】根据确定圆的条件对A进行判断；根据圆的轴对称性对B进行判断；根据圆心角定理对C进行判断；根

据垂径定理的推论对D进行判断.

【详解】A.不共线的三点确定一个圆，故A是假命题；

B.对称是直线，而圆的直径是线段，故B是假命题：

C.弧相等，则弧所对的圆心角相等，故C是真命题；

D.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故D是假命题.

故选：C.

【点睛】本题考查了命题、真命题和假命题的概念，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需

要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.

6.（2023•上海浦东新•统考二模）顺次联结四边形ABCO各边中点所得的四边形是矩形，那么四边形ABS一定是

（）

A.菱形B.对角线相等的四边形

C.对角线互相垂直的四边形D.对角线互相垂直且平分的四边形

【答案】C

【分析】根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是

矩形，那么邻边互相垂直，继而即可求解.

【详解】解：回E、RG、，分别是AB、BC、CD、Ao的中点，

^EH//FG//BD,EF//AC//HG,

回四边形EFG”是平行四边形，

回四边形EFG〃是矩形形，即所_LFG,

故选：C.

【点睛】本题考查的是三角形中位线定理以及矩形的判定，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解

答.

7.（2023•上海金山•统考二模）下列图形中，是中心对称图形且旋转240。后能与自身重合的图形是（）

A.等边三角形B.正方形C.正八边形D.正十二边形

【答案】D

【分析】根据中心对称图形排除A,计算360型°判断240。是36"0°-的倍数即可.

nn

【详解】A、等边三角形不是中心对称图形，错误，不符合题意；

360°

B、正方形是中心对称图形，--=90°,240。不是90。的整数倍数，错误，不符合题意；

n

C、正八边形是中心对称图形，*=45。，240。不是45。的整数倍数，错误，不符合题意;

O

360°

D、正十二边形是中心对称图形，3=30°，240。是30。的整数倍数，正确，符合题意；

故选D.

【点睛】本题考查了中心对称图形即图形绕某点旋转180。后与原图形完全重合，熟练掌握定义是解题的关键.

8.（2023・上海宝山•统考二模）已知点4B、C在圆。上，那么下列命题为裒命型的是（）

A.如果半径。8平分弦AC,那么四边形Q4BC是平行四边形

B.如果弦AC平分半径OB,那么四边形。ABC是平行四边形

C.如果四边形OABC是平行四边形，那么NAOC=I20。

D.如果NAOC=I20。，那么四边形。WC是平行四边形

【答案】C

【分析】根据平行四边形的性质与判定，圆周角定理，圆内接四边形的性质逐一判定即可.

【详解】解：A、如图1所示，当AC是直径时，满足半径。3平分弦AC,但是。、4B、C不能构成四边形，故

原命题是假命题，不符合题意；

B、如图2所示，团弦AC平分半径。8,但是半径。B并不一定平分弦AC,回四边形。4BC不一定是平行四边形，

故原命题是假命题，不符合题意；

C、如图2所示，回四边形OABC是平行四边形，

β）ZABC=ZAOC=2ZADC,

13NABC+NADC=180°,

BlZABC=ZAOC=120°,

回原命题是真命题，符合题意：

D、如图2所示，当点8在点。的位置时，满足NAOC=I20。，但是四边形33C不是平行四边形，故原命题是假

命题，不符合题意；

故选C.

【点睛】本题主要考查了判断命题真假，圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，平行四边形的性质与判

定，灵活运用所学知识是解题的关键.

9.（2023・上海徐汇•统考二模）如图，在梯形ABCr）中，已知A。〃BC,AD=3,BC=9,AB=6,CO=4,分

别以A3、CD为直径作圆，这两圆的位置关系是（）

A.内切B.外切C.相交D.外离

【答案】D

【分析】先求出两圆的圆心距，AB和CO的一半为两圆的半径，利用半径之和和两圆的圆心距的大小关系求解.

【详解】解：回分别以AB、8为直径作圆，

SI两圆的圆心分别是A8、CD的中点，

回两圆心的连线是梯形的中位线.

（3AO=3,BC=9,

3+9

回两圆的圆心距为受=6,

0AB=6,CD=4,

回两圆的半径分别为3和2,

团3+2<6,

田两圆外离，

故选：D.

【点睛】本题考查了梯形的中位线，以及圆与圆的位置关系，解题的关键是分别求得两圆的圆心距和两圆的半

径.

10.（2023•上海浦东新•统考二模）如图，已知正方形DEFG的顶点。、E在二ABC的边BC上，点G、尸分别在边

AB、AC上，如果BC=8,.ABC的面积是32,那么这个正方形的边长是（）

【答案】A

【分析】过点力作AHJ_BC于〃，交G尸于"，如图，先利用三角形面积公式计算出47=8,设正方形QEfG的

边长为X,则GF=X,M"=x,A∕=8-x,再证明二AGFS./台。，则根据相似三角形的性质得方程，然后解关于X

的方程即可.

【详解】解：如图，过点4作AHLBC于H,交Gb于用,

团.ABC的面积是32,BC=Sf

BC-AH=32,

2

0AH=8,

设正方形QEFG的边长为X,则G/=x,M"=x,AM=8-x,

0GF√BC,

0AGFSABC,

GFAM

团---=----，

BCAH

X3—γ

二弓=一，解得［≡x=4,

88

即这个正方形的边长是4.

故选：A.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，添加合适的辅助线是解题的关键.

11.（2023・上海崇明•统考二模）下列命题是真命题的是（）

A.四边都相等的四边形是正方形B.一组邻边相等的矩形是正方形

C.对角线互相垂直平分的四边形是正方形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

【答案】B

【分析】根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可.

【详解】解：A、四边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意：

B、一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，符合题意；

C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；

D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，原命题是假命题，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查判断命题的真假.熟练掌握正方形的判定方法，是解题的关键.

12.（2023•上海静安•统考二模）下面是"作/A08的平分线"的尺规作图过程：

①在。4、08上分别截取。。、OE,使OD=QE；②分别以点。、E为圆心，以大于;。E的同一长度为半

径作弧，两弧交于NAOB内的一点C；

③作射线OC.

OC就是所求作的角的平分线.

该尺规作图可直接利用三角形全等说明，其中三角形全等的依据是（）

A.三边对应相等的两个三角形全等

B.两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等

C.两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等

D.两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等

【答案】A

【分析】由作图可得£0=0。，EC=DC,根据三角形全等的判定方法"SSS"解答.

【详解】解回连接EC,DC,由作图可得EO=OO,EC=DC,EO=DO,

在.。EC和。OC中

EC=DC

<CO=CO

OD=OE

EOEC¾ODC（SSS）,

^ZAOC=ZBOC,

圈0C平分NAQ8.

故选：A.

【点睛】本题考查了全等三角形的应用，以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题

的关键.

13.（2023・上海松江•统考二模）如图，点G是.SBC的重心，四边形AEG。与C面积的比值是（）

D

H

【答案】B

【分析】连接OE，根据三角形中位线定理以及中线的性质可得。E〃BC,OE=；BC,SABD=；S

从而得到进而得到黑=第

SBDE=^SABD,ESZVU%,=UΓ继而得到

2BDCE3S

SDEG=NSBDE，ADE=~：ABC可得2。EG=ZXZSA品=二S八"，再由S四边形AEGo=SA"+S。即，即可.

j4oZIZ

【详解】解：如图，连接OE,

回点G是一ABC的重心,

回点。，E分别为ACAB的中点，

团DE//BC,DE=—BC,SABD=5^ABC,SBDE=3S

团AADESAACB,

DGEGDE1

0--=--=--=—，

BGCGBC2

回变=空ɪSAED

's

BDCEJ3IJABC

_iςς

团SDEG-3。BDE9ɔADE-4'ABC'

_1l」

0SDEG-*52ςADD一%3ABD'

DEG=^XgSΛBC=^S,

团Sλbc

回S四边形AEGD=Sade+SDEG=WSABC十五SABC=mSabc,

即四边形AEGD与一ABC面积的比值是ɪ.

故选：B

【点睛】本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形的重

心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键.

14.（2023・上海崇明・统考二模）已知在JlBC中，Aβ=AC=5,BC=6,如果以/为圆心r为半径的A和以

8C为直径的。相交，那么/■的取值范围（）

A.l<r<4B.4<r<10C.l<r<7D.7<r<10

【答案】C

【分析】首先利用勾股定理求得两圆的圆心距，然后利用两圆相交时两圆的圆心距和两圆的半径之间的关系求

解.

【详解】解：如图，由题意得：BD=DC=3,

AB=AC=5,

由勾股定理得：AD=4,

设：A的半径为，

根据两圆相交得：

r-3<4<r+3,

解答：l<r<7,

故选：C.

【点睛】本题考查两圆之间的位置关系.熟练掌握两圆之间的位置关系的判定方法，是解题的关键.

15.（2023・上海金山・统考二模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知

EF=CD=8,那么球的半径长是（）

A.4B.5C.6D.8

【答案】B

【分析】过点。作OM_LE/于点利用垂径定理，勾股定理计算即可.

【详解】过点。作OMJ_M于点连接OE,

OEF=CD=8,

SiEM=-EF=4,OM=S-OE,

2

0OE2=42+(8-OE)2,

解得OE=5,

故选B.

【点睛】本题考查了矩形的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键.

二、填空题

16.（2023∙上海浦东新•统考二模）如果两圆的半径分别为5或2,圆心距为7,那么这两个圆的位置关系是

【答案】外切

【分析】根据圆心距力以及两圆半径七厂的数量关系间的联系得出两圆位置关系.

【详解】解：07=5+2,

回这两个圆外切.

故答案为：外切.

【点睛】被踢主要考查了圆于圆之间的位置关系，解题的管家是掌握：当4>R+r时，两圆外离；当d=R+r

时，两圆外切；当d=R—r时，两圆内切；当d<R—r时，两圆内离；当R-r<d<R+r时，两圆相交.

17.（2023•上海闵行•统考二模）如果正六边形的半径长为2,那么它的面积为.

【答案】6√3

【分析】过点。作OGLAe于点G,证明二OAB是等边三角形，求出OG=Ja2+廿=J2?一『=后,得出

SAoB=；ABXOG=有=有，即可得出S^KAKDEF=6Sλ0ii=6√3.

【详解】解：过点。作OGLAB于点G,如图所示：

GB

团六边形ABCDEF为正六边形,

360°

^OA=OB,ZAOB=--=60°,

6

GLOAB是等边三角形，

团AB=OA=29

0OG±Aβ,

0AG=BG=ɪAB=1,

2

回OG=y∣a2+h2=Λ∕22—12=5/3'

团S∖∩R=~ABXOG=ɪ×2×>∕3=Λ∣3，

Λijti22VV

图S六边形ABCDEF=6SAOB=-

故答案为：6>/3.

【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，等边三角形的判定和性质，解题的关

键是证明。AB是等边三角形，求出SAOB=6.

18.（2023•上海松江•统考二模）己知相交两圆的半径长分别为R和，，如果两圆的圆心距为6,且R=2r,试写出

一个符合条件的"的值：.

【答案】4（答案不唯一）

【分析】根据相交两圆的半径长分别为R和r,则R-r<d<R+r,R=2r,列出不等式即可求解.

【详解】解：依题意，r<6<3r

02<r<6

EIr可以是4,

故答案为：4（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系：设两圆的圆心距为d,两圆半径分别为R、r，当两圆外离=d>R+r;两

圆外切Od=R+r；两圆相交OR-r<1<R+r（R≥r）;两圆内切θ"=R-r（R>r）;两圆内含

U>d<R-r（R>r）.

19.（2023・上海宝山・统考二模）如图，在正五边形4BCDE中，F是边BC延长线上一点，连接AC,那么NACF的

度数为.

【答案】144。/144度

【分析】利用正多边形的内角和定理计算得出N8=108。，再利用等边对等角求得NACB=36。，利用邻补角关系

即可求解.

【详解】解：ZB=∣(5-2)×180o=108o,

团AB=BC,

0ZACB=∣(18Oo-lO8o)=36o,

Glz≤4CF=180o-ZACB=144°,

故答案为：144。.

【点睛】本题主要考考查正多边形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握正多边形的性质、三角形的内角和定理

是解决本题的关键.

20.(2023∙上海静安•统考二模)已知半径分别是2和6的两圆的圆心距为6,那么这两个圆有个公共点.

【答案】2

【分析】根据圆心距于两个圆半径间的关系即可判断得解.

【详解】解期半径分别是2和6的两圆的圆心距为6,

B6-2<√<6+2

回两圆相交，即是2个圆有两个交点，

故答案为回2.

【点睛】此题主要考查了圆与圆的位置关系，当外切时，圆心距=两圆半径的和，当内切时，圆心距=两圆半径的

差，两圆相交时，圆心距介于两圆半径的差与和之间时，圆有两个交点.

21.(2023•上海宝山•统考二模)如图，已知点E在矩形ABCD的边Ao上，且5C=EC=8,ZABE=I5°,那么

AB的长等于.

【答案】4

【分析】利用余角的性质求得NAEB=NEBC=75。，利用等边对等角求得NcEB=NE8C=75。，再利用平角的定

义求得NeED=30°,根据含30度角的直角三角形的性质即可求解.

【详解】解：回四边形ABCo是矩形，

GlZA=ZABC=ZD=90o,AB=CD,ADBC,

13NABE=I5°,

13ZAEB=NEBC=90°-15°=75°,

团BC=EC,

⑦NCEB=NEBC=75。,

0ZCED=180o-75°-75°=30°,

⑦BC=EC=8,

^CD=-CE=A,

2

0AB=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，掌握“30度角对应的直角边长度

为斜边长度的一半”是解题的关键.

22.（2023・上海闵行•统考二模）如图，在平面直角坐标系Xoy中，点/在直线y=2x上，点N的横坐标为1,点产

是X轴正半轴上一点，点B在反比例函数y=,χ>0）图象上，联结AP、PB^OB.如果四边形。4P8是矩形，那

X

么人的值是.

【答案】-8

【分析】当x=l,y=2x=2,即41,2）,如图，连接AB交OP于O,过A作ACJ_OP于C,则AC=2,

OC=I,。是A3中点，在RtAoC中，由勾股定理求Ao的值，证明AoCSPOA,则善=空，求Po的

POAO

值，进而可得尸，D,3的点坐标，将8点坐标代入反比例函数解析式求解女值即可.

【详解】解：当X=1,y=2x=2,即“1,2）,

如图，连接AB交OP于。，过A作ACJ于C,

ISAC=2,OC=I,

13四边形OAPB是矩形,

回。是AB中点，

在Rt.AOC中，由勾股定理得AO=JoC2+AC?=逐,

回NAZ)O=NB40=90。，ZAOC=ZPOAf

团.AoCSPQ4,

喘噬，βpTO=⅛,解得「。=5，

SP（5,O）,Q（I,0），

相（4,-2）,

将3（4,—2）代入＞=勺工＞0）得，一2=：,解得女=-8,

故答案为：—8.

【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质等知识.解题的

关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

S

23.（2023∙上海崇明•统考二模）如图，ABC和VADE都是等边三角形，点。是AABC的重心，那么广=

3ABC

A

【答案】ɪ

【分析】如图，延长AD交BC于尸，由题意得AO=ZAF,AF=ABsinZB=^-AB,则4。=3AB,由

323

LADESAABC,可得2也也=（四］,计算求解即可.

5Afic

【详解】解：如图，延长AD交BC于尸,

回点。是，ABC的重心,

SAD=-AF,

3

回一ABC是等边三角形,

回AF=A3∙sinZB=-AB,

2

AD=—AB,

3

I3V4)E和_45C都是等边三角形，

0∆Af>E,∞∆ABC,

4/坐H,

SABCVAB)3

故答案为：ɪ.

【点睛】本题考查了重心，等边三角形的性质，正弦，相似三角形的判定与性质.解题的关键在于对知识的熟练

掌握与灵活运用.

24.(2023・上海嘉定・统考二模)如图，在RtZXABC中，ZC=90o,AB=↑3,SinA=得，以点C为圆心，R为半

径作圆，使4、8两点一点在圆内，一点在圆外，那么R的取值范围是.

【答案】5</?<12/12>/?>5

【分析】求出线段AC、BC,再根据点与圆得位置关系判断即可.

【详解】解：回在RtZ∖A8C中，NC=90。,AB=I3,SinA=,,

(?)BC=ABXSinA=I3χ*=5,

13

SAC=VAB2-BC2=12-

团以点C为圆心，尺为半径作圆，使4、8两点一点在圆内，一点在圆外，

B5</?<12.

故答案为：5<Λ<12.

【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是根据题意求出BC=5,

AC=12.

25.(2023・上海徐汇•统考二模)如图，在直角坐标系中，已知点4(8,0)、点3(0,6),4的半径为5,点C是A

上的动点，点尸是线段BC的中点，那么OP长的取值范围是.

【分析】如图，在y轴上取一点8'(0，-6),连接B'A,B'C,由勾股定理求出B71=10,由三角形中位线定理求

SC=IOP,当C在线段EA上时，B'C的长度最小值10-5=5,当C在线段延长线上时，8'C的长度最大值

10+5=15,即可求解.

【详解】解：如图，在y轴上取一点B'(0,-6),连接3'A,B'C,

呐0,-6),A(8,0),

团OB'=OB=6,OA=8,

≡B,A=√OB,2+<M2=10>

12点尸是BC的中点，

⑦BP=PC,

但OB=OR,BP=PC,

回0P是4B5'C的中位线，

^B,C=2OP,

当C在线段B'A上时，B'C的长度最小值为：10-5=5,

当C在线段BN延长线上时，8'C的长度最大值为：10+5=15,

05≤β,C≤15,

Bl2.5≤OP≤7.5,

故答案为：2.5≤OP≤7.5.

【点睛】本题考查的是圆外一点到圆上点距离的最值，三角形中位线定理，勾股定理等知识，添加恰当的辅助线

是解答本题的关键.

26.（2023∙上海徐汇•统考二模）如图，已知O的内接正方形A8C。，点尸是CO的中点，AF与边。C交于点

那么M=

E,

AE

【答案］理二ɪ

2

【分析】连接。尸，交C。于点G,连接AC,根据题意得出G尸〃AD,设AT>=a,则AC=√∑Af>=√Σo，证明

_ADES_FGE,根据相似三角形的性质即可求解.

【详解】解：如图所示，连接。尸，交于点G,连接AC,

回AC经过点。，

团点尸是CQ的中点，

^∖OFA.CD,GD=GC

^GF//AD

设AD=α,则AC=√∑AO=√L

^OF=OC=-a

2

^OG=-AD=-a,

22

^FG=OF-OG=-a--a

22

^GF//AD,

⑦一ADES_FGE

0EF_GF,GM。6-1,

∑ε^AD^a2

故答案为：也二ɪ.

2

【点睛】本题考查了正多边形与圆，垂径定理，正方形的性质，相似三角形的性质，证明“AOEs,FGE是解题的

关键.

三、解答题

27.(2023・上海松江•统考二模)如图，四边形ABQ)中，AD//BC,AD±CD,AD=∖,CD=2.

⑴如果BC=3,求CotB的值；

(2)如果AB=BC,求四边形ABC。的面积.

【答案】⑴1

(2)3.5

【分析】(1)过点/作4EJ∙BC于点E,可得四边形ADCE是矩形，从而得到CE=Ao=I,AE=8=2,继而得到

BE=2,再由锐角三角函数，即可求解；

(2)过点工作AELBC于点E,可得四边形APCE是矩形，从而得到CE=Az)=I,AE=8=2,设AB=BC=X,

贝IJBE=X-1,在Rt∆A8E中，利用勾股定理求出X的值，再根据四边形ABCO的面积=S诋+SW，即可求

解.

【详解】(1)解：如图，过点力作AE∙LBC于点E,

^∖AD∕/BC,ADLCD,

ZAEC=ZD=ZBCD=90°,

团四边形4X芯是矩形，

团CE=AD=1,AE=CD=2,

0βC=3,

⑦BE=BC—CE=3—1=2,

CnBE2,

国cotB==—=1；

AE2

(2)解：如图，过点工作AEJ_BC于点E,

^AD//BCJADLCD,

0ZAEC=ZD=NBCD=90°,

回四边形ADCE是矩形，

^CE=AD=I,AE=CD=2,

设AB=BC=X,则BE=X-1,

在RtZXABE中，AB2=BE2+AE2，

SX2=(X-1)2+22,

解得：X=2.5,

即BC=2.5,

四边形ABCD的面积=SAZ(C+SAc”=gAEχ8C+gAOXCr>=gx2x2.5+；xlx2=3.5.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

28.(2023•上海闵行•统考二模)如图，在一ABC中，NAC8=90。，AC=2,3C=4,点。为AB的中点，过点8

作S的垂线，交CD的延长线于点瓦

⑴求线段CC的长;

⑵求WCD的值.

【答案】⑴6

（2）1

【分析】（1）由AJAcB勾股定理可求得斜边，再由斜边中线可得CQ长度.

（2）通过相似三角形得到比例，求出跖长度,再通过RjE8。勾股定理求出OE长度，再计算比值即可.

［详解］(1)NACB=90。

.∙.Rt.ACBψAB=AC1+BC--代入AC=2,BC=4,

得AB=J2?+不=2小

D为43的中点，ZACB=90°

.-.CD=-AB=-B

2

(2)解法1：

D为43的中点，NACB=90。

CD=LAB=AD=BD=小

2

NDCB=NDBC

XBElCE,ZACB=90°

.∙.ZE=ZAC5

.∙.ACBBEC

EBAC1EB

CB^AB^ξ^r^V

.∙.Rt..BEC中。E=√BD2-EB-=^5-∙y

.CD√55

'Dg~3^~3

-3-

解法2：

RtZSBEC与RtBED中EB2=CB2-CE2=BD2-DE2

22

设DE=X得4：-(x+小¥=(Λ∕5)-X

WW£>£=—

5

.CD√55

"~DE~T∕5~3

【点睛】本题考查几何图形中长度的计算，相似三角形，主要利用勾股定理进行长度关系计算，可以设元列勾股

方程或结合相似计算，通常儿何长度的求解可采用3中方法（勾股、相似、面积法），常考直角三角形和含有特殊

角度的图形.在计算中灵活利用勾股定理是解题的关键.

29.（2023•上海浦东新•统考二模）已知：如图，O是一ABC的外接圆，AE平分JiBC的外角/ZMC,

OMA.AB,ONlAC,垂足分别是点M,N,且OM=CW.

⑴求NQ4E的度数；

3

⑵如果8C=6,COsB=-,求。的半径长.

【答案】（I）NaAE=9（）。；

【分析】（1）先证明平分/班C,然后由角平分线的定义，即可求出NOAE的度数；

（2）由弦心距和弦的关系，得到Ag=AC,延长AO交BC于点尸，连接防，由等腰三角形的性质，垂径定理,

以及勾股定理，即可求出：。的半径.

【详解】（1）解：SME平分一ABC的外角NzMC,

ZEAC=-ZDAC,

2

^OMLAB,ONYAC,OM=ON.

回。4平分/5AC,

EINOAC=LNBAC,

2

回ZBAC+NZMC=180°,

SZEAC+ZOAC=1（ZBAC+NZMC）=i×18（）°=90°,

22

SZOAE=90°；

（2）解：SOM=ON,

13AB=AC,

回一ABC是等腰三角形，

延长AO交8C于点F,连接BF,如图:

D

团04平分∕B4C,

AFlBC,BF=CF=-BC=-×6=3,

22

BF3

团COSZ.ABC==—,

AB5

0Aβ=5,

EAF=√52-32=4,

^OA=OB=r,贝∣JOF=4-r,

^OB1=OF1+BF1,

Sr2=(4-r)2+32,

0Cr=T25;

【点睛】本题考查了垂径定理，角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练

掌握所学的知识，正确的进行解题.

30.(2023•上海嘉定•统考二模)如图，在一ABC中，AC=AB,SinA=圆。经过/、8两点，圆心。在线段

AC上，点C在圆。内，且OC=3∙

⑴求圆。的半径长;

⑵求8C的长.

【答案】⑴5

(2)也

【分析】(1)延长AC交圆。于点。，连接8。，设圆。的半径长为r，则ΛB=r+3,利用正弦函数列式计算即可

求解；

(2)先求得AB=AC=8,在RtZVWE,利用三角函数的定义求得8E和AE的长，再利用勾股定理求解.

【详解】(1)解：设圆。的半径长为人延长AC交圆。于点。，连接3。，

则？ABD90?,

3

又SinA=M,

自变=3

AD5

设如=3x,AD=5x,

-.ABr+34

所rι以F=F-=E

AD2r5

解得r=5,

经检验，r=5是方程的解;

自圆的半径长为5；

（2）解：过点8作A£）的垂线垂足为E,

由（1）得AS=AC=5+3=8,

RFa24

则SinA=歌==,解得BE==

AB55

,AE4,-.「32

cosA=――=—,解zt7倚z4E=-^-,

AB55

Q

所以CE=Ae-AE=1,

所以BC=√CE2+BE2=

【点睛】本题考查了圆内接三角形，经过圆的直径构造的三角形为直角三角形，添加辅助线再利用三角函数求

解.

31.（2023•上海金