《3.3幂函数》考点讲解、同步练习与培优

《3.3幂函数》考点讲解与同步练习【思维导图】【常见考点】考点一幂函数的判断【例1】在函数，，，中，幂函数的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【一隅三反】1．下列函数中哪个是幂函数（）A． B． C． D．2．下列函数是幂函数的是（）A． B． C． D．考点二幂函数的三要素【例2-1】已知幂函数的图象过点，则______.【例2-2】（1）函数的定义域是_____，值域是_____；（2）函数的定义域是____，值域是_____；（3）函数的定义域是______，值域是_____；（4）函数的定义域是_____，值域是______.【一隅三反】1.若幂函数图像过点，则此函数的解析式是________.2．已知幂函数的图象过点，则______．3．（若点，均在幂函数的图象上，则实数_____．4．讨论下列函数的定义域、值域.（1）；（2）；（3）；（4）.考法三幂函数的性质【例3】．已知幂函数()在上是减函数，则n的值为（） B．1 C． D．1和【一隅三反】1．已知幂函数的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则的值为（）A． B．0 C．1 D．22．设，则使函数的定义域为，且为偶函数的所有的值为（）A． B． C． D．2．设，则使得的定义域为R且为奇函数的所有n值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4考法四幂函数的图像【例4-1】已知幂函数在第一象限内的图象如图所示．若则与曲线，，，对应的的值依次为（）A．B．C．D．【例4-2】函数恒过一个定点，这个定点坐标是;【一隅三反】1．幂函数的大致图象是()A． B．C． D．2．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是A．①，②，③，④B．①，②，③，④C．①，②，③，④D．①，②，③，④3．三个幂函数（1），（2），（3）都经过的点的坐标是（）A． B． C． D．3.3幂函数答案解析考点一幂函数的判断【例1】在函数，，，中，幂函数的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】因为，所以是幂函数；由于出现系数2，因此不是幂函数；是两项和的形式，不是幂函数；（），可以看出，常数函数的图象比幂函数的图象多了一个点，所以常数函数不是幂函数.故选：B.【一隅三反】1．下列函数中哪个是幂函数（）A． B． C． D．【答案】A【解析】幂函数是，，显然，是幂函数.，，都不满足幂函数的定义，所以A正确．故选：A．2．下列函数是幂函数的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】形如的函数称为幂函数，据此只有才符合幂函数的定义，故选择D.考点二幂函数的三要素【例2-1】已知幂函数的图象过点，则______.【答案】1.5【解析】因为函数是幂函数，所以，又因为幂函数的图象过点，所以，所以所以，故答案为：1.5【例2-2】（1）函数的定义域是_____，值域是_____；（2）函数的定义域是____，值域是_____；（3）函数的定义域是______，值域是_____；（4）函数的定义域是_____，值域是______.【答案】R【解析】（1）的定义域是，值域是；（2）的定义域是，值域是；（3）的定义域是，值域是；（4）的定义域是，值域是；故答案为：；；；；；；；．先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项【一隅三反】1.若幂函数图像过点，则此函数的解析式是________.【答案】【解析】设幂函数的解析式为，由于函数图象过点，故有，解得，所以该函数的解析式是，故答案为：.2．已知幂函数的图象过点，则______．【答案】4【解析】由题意令，由于图象过点，得，故答案为：4．3．若点，均在幂函数的图象上，则实数_____．【答案】9【解析】设幂函数为，将代入得，所以，令，求得.4．讨论下列函数的定义域、值域.（1）；（2）；（3）；（4）.【答案】（1）定义域为R，值域为；（2）定义域为，值域为；（3）定义域为，值域为；（4）定义域为R，值域为.【解析】（1）函数的定义域为R，值域为.（2）因为，所以函数的定义域为，值域为.（3）因为，所以，且，所以函数的定义域为，值域为.（4）因为，所以函数的定义域为R，值域为.考法三幂函数的性质【例3】．已知幂函数()在上是减函数，则n的值为（）A． B．1 C． D．1和【答案】B【解析】因为函数是幂函数所以所以或当时在上是增函数，不合题意.当时在上是减函数，成立故选：B【一隅三反】1．已知幂函数的图象关于轴对称，且与轴、轴均无交点，则的值为（）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】由题意可得：且为偶数，，解得，且为偶数，，∴．故选：C．2．设，则使函数的定义域为，且为偶函数的所有的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数，定义域为，且为奇函数，不符合题意.函数，定义域为，且为偶函数，符合题意.函数，定义域为，且为偶函数，符合题意.函数，定义域为，且为奇函数，不符合题意.故选：D2．设，则使得的定义域为R且为奇函数的所有n值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】当时，定义域为，不满足题意当时，定义域为，不满足题意当时，定义域为，不满足题意当时，定义域为，且为奇函数，满足题意当时，定义域为，是偶函数，不满足题意当时，定义域为，且为奇函数，满足题意所以，使得的定义域为R且为奇函数的所有n值的个数为2故选：B 考法四幂函数的图像【例4-1】已知幂函数在第一象限内的图象如图所示．若则与曲线，，，对应的的值依次为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，曲线，，，对应的的值依次为：故选：C.【例4-2】函数恒过一个定点，这个定点坐标是;【答案】【解析】因为恒过，故恒过故答案为【一隅三反】1．幂函数的大致图象是()A． B．C． D．【答案】C【解析】幂函数在是减函数，且为偶函数，故选:C.2．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是A．①，②，③，④B．①，②，③，④C．①，②，③，④D．①，②，③，④【答案】B【解析】②的图象关于轴对称，②应为偶函数，故排除选项，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除故选：．3．三个幂函数（1），（2），（3）都经过的点的坐标是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，得到，，，故都过点.故选：.《3.3幂函数》同步练习【题组一幂函数的判断】1．若,,,,,,上述函数是幂函数的个数是（）A．个 B．个 C．个 D．个2．下列函数是幂函数的是（）A． B． C． D．3.在函数①，②，③，④，⑤，⑥中，是幂函数的是（）A．①②④⑤ B．①⑤⑥C．①②⑥ D．①②④⑤⑥4．“”是“函数（为常数）为幂函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件5．5个幂函数：①；②；③；④；⑤.其中定义域为的是（）A．只有①② B．只有②③ C．只有②④ D．只有④⑤【题组二幂函数的三要素】1．已知幂函数的图象过点，则______.2．已知幂函数的图像过点，则实数的值为______.3．已知幂函数的图象过点，则的值为_________．4．已知幂函数的图象经过点，则此幂函数的解析式为________．5．若幂函数的图像过点，则的值域是_________【题组三幂函数的性质】1．已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是____2．已知幂函数在上单调递增，则m值为_____.3．已知幂函数的图象经过点，则函数____，若，则实数的取值范围是____．4．已知是幂函数，求m，n的值.5．若，试求的取值范围.【题组四幂函数的图像】1．如图所示的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取，l，，2四个值，则与曲线、、、相应的依次为（）A．2，1，， B．2，，1，C．，1，2， D．，1，2，2．已知常数，如图为幂函数的图象，则的值可以是()A． B． C． D．3．函数的大致图象是A． B．C． D．4．函数y=的图象是()A． B． C． D．5．以下命题正确的是（）①幂函数的图像都经过②幂函数的图像不可能出现在第四象限③当时，函数的图像是两条射线（不含端点）④是奇函数，且在定义域内为减函数A．①② B．②④ C．②③ D．①③6．既在函数的图像上，又在函数的图像上的点是（）A．（0,0） B．（1,1） C． D．7．下列结论中，正确的是()A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数C．幂函数的图象可以出现在第四象限D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数8．若，函数的图象恒过定点，则点的坐标为______．3.3幂函数答案解析【题组一幂函数的判断】1．若,,,,,,上述函数是幂函数的个数是（）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【解析】形如的函数是幂函数,幂函数的系数为,指数是常数,所以,,,,,,七个函数中,是幂函数的是和.故选:C2．下列函数是幂函数的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数的系数不是1，不是幂函数；函数的解析式不是单项式，不是幂函数；函数与幂函数，定义域不相同，不正确；只有A中满足幂函数定义，正确.故选：A3.在函数①，②，③，④，⑤，⑥中，是幂函数的是（）A．①②④⑤ B．①⑤⑥C．①②⑥ D．①②④⑤⑥【答案】B【解析】根据幂函数的定义：幂函数是形如的函数。在函数中：①是的情形，是幂函数；②系数是，不是幂函数；③系数是，是一次函数，不是幂函数；④不是幂函数，；⑤是的情形，是幂函数；⑥是的情形，是幂函数。故是幂函数的有①⑤⑥，故选：B4．“”是“函数（为常数）为幂函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】∵当函数为幂函数时，，解得或，∴“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件.故选：A.5．5个幂函数：①；②；③；④；⑤.其中定义域为的是（）A．只有①② B．只有②③ C．只有②④ D．只有④⑤【答案】C【解析】①的定义域为，②的定义域为R，③的定义域为，④的定义域为R，⑤的定义域为，故选：C.【题组二幂函数的三要素】1．已知幂函数的图象过点，则______.【答案】【解析】为幂函数，可设，，解得：，，.故答案为：.2．已知幂函数的图像过点，则实数的值为______.【答案】【解析】因为幂函数的图像过点，所以，即，解得，故答案为：3．已知幂函数的图象过点，则的值为_________．【答案】【解析】根据题意可设因为的图象过点，所以，解得.所以，所以.故答案为：.4．已知幂函数的图象经过点，则此幂函数的解析式为________．【答案】【解析】因为幂函数的图象经过点，所以，解得，所以故答案为：5．若幂函数的图像过点，则的值域是_________【答案】【解析】由幂函数的图像过点，可得，可得，故，由幂函数的性质可得其值域为，故答案为：.【题组三幂函数的性质】1．已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是____【答案】1【解析】∵函数是幂函数，∴，解得或，又∵该函数是偶函数，当时，函数是奇函数，当时，函数是偶函数，即的值是1，故答案为：1.2．已知幂函数在上单调递增，则m值为_____.【答案】2【解析】由题意可知，解得故答案为：3．已知幂函数的图象经过点，则函数____，若，则实数的取值范围是____．【答案】【解析】设幂函数，由，得到，于是；若，则，所以，解得．故答案为；4．已知是幂函数，求m，n的值.【答案】或1，.【解析】由题意得，解得或，所以或，.5．若，试求的取值范围.【答案】【解析】∵，∴或或解得或.故的取值范围是.【题组四幂函数的图像】1．如图所示的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取，l，，2四个值，则与曲线、、、相应的依次为（）A．2，1，， B．2，，1，C．，1，2， D．，1，2，【答案】A【解析】幂函数在区间上，图象“指大图低”，所以从上至下依次为，对应曲线有.故选：A2．已知常数，如图为幂函数的图象，则的值可以是()A． B． C． D．【答案】C【解析】由图象可得函数的定义域为，选项不满足；选项，当，函数的定义域满足，而且为偶函数，满足图象特征.故选:C.3．函数的大致图象是A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意得，，所以函数的定义域为，因为，根据幂函数的性质，可知函数在第一象限为单调递减函数，故选A．4．函数y=的图象是()A． B． C． D．【答案】B【解析】y=过点(1,1)和点(8,2),由过点(8,2)可知此时函数y=在直线y=x下方.故选B.5．以下命题正确的是（）①幂函数的图像都经过②幂函数的图像不可能出现在第四象限③当时，函数的图像是两条射线（不含端点）④是奇函数，且在定义域内为减函数A．①② B．②④ C．②③ D．①③【答案】C【解析】①幂函数不经过原点，所以①不正确；②形如，的函数是幂函数，当时，，所以函数的图象不可能出现在第四象限，所以②正确；③的定义域是，，所以时，的图象是两条射线（不含端点），所以③正确；④是奇函数，函数的定义域是，函数在是减函数，在也是减函数，但在定义域内不是减函数，所以④不正确.故选：C6．既在函数的图像上，又在函数的图像上的点是（）A．（0,0） B．（1,1） C． D．【答案】B【解析】由幂函数图象恒过，故选项满足条件。故选：7．下列结论中，正确的是()A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数C．幂函数的图象可以出现在第四象限D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数【答案】B【解析】幂函数的图象都通过点（1，1），但a≤0时不经过（0，0）点，故A错误；当幂指数α取1，3，时，幂函数y=xa在定义域上是增函数，故B正确；幂函数的图象不会出现在第四象限，故C错误；当幂指数α=﹣1时，幂函数y=xa在（﹣∞，0）和（0，+∞）上均为减函数，但在定义域上不是减函数，故D错误；故选B．8．若，函数的图象恒过定点，则点的坐标为______．【答案】【解析】因为过定点，将图象向右平移一个单位，向上平移3个单位得：，所以过定点.故答案为：.《3.3幂函数》培优同步练习一、单选题1．在函数，，，中，幂函数的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（）A． B． C． D．3．有四个幂函数：①；②；③；④.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是，且；（3）在上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（）A．① B．② C．③ D．④4．若，则的取值范围是（）A． B． C． D．5．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（）A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,36．以下结论正确的是（）A．当时，函数的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过、两点C．若幂函数的图象关于原点对称，则在定义域内随的增大而增大D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限7．已知点在幂函数的图象上，则是()A．奇函数 B．偶函数 C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数8．已知幂函数（且互质）的图象如图所示，则（）A．，均为奇数，且 B．为偶数，为奇数，且C．为奇数，为偶数，且 D．为奇数，为偶数，且9．如图，函数、、的图象和直线将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．若幂函数的图象经过的部分是④⑧，则可能是（）A．y＝x2 B． C． D．y=x-210．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断二、多选题11．若幂函数的图象经过点，则幂函数是（）A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数12．已知幂函数的图象过点（2，8），下列说法正确的是（）A．函数的图象过原点B．函数是偶函数C．函数是单调减函数D．函数的值域为R13．已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（）A．函数为增函数B．函数为偶函数C．若，则D．若，则.14．已知实数a，b满足等式，则下列五个关系式中可能成立的是（）A． B．C． D．E.三、填空题15．已知幂函数的图象过点，则______．16．若成立，则的取值范围是___________．17．已知幂函数的图像满足，当时，在直线的上方；当时，在直线的下方，则实数的取值范围是_______________.四、双空题18．直接比较下列组中两个值的大小：（1）______；（2）______.19．已知幂函数的图像过点，则_______，由此，请比较下列两个数的大小：_______.20．幂函数的图象过点，则______，的定义域为______．21．已知幂函数的图象经过点，则函数____，若，则实数的取值范围是____．五、解答题22．先分析函数的性质，再画出其图象．23．设函数，作出的图像并讨论其性质．24．已知幂函数的图象关于轴对称且在上单调递减，求满足的的取值范围.25．已知点在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．26．已知在区间上，函数与都是减函数，试求的取值范围.27．已知函数，问当m取什么值时这个函数是：（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）幂函数且在上为增函数．3.3幂函数答案解析一、单选题1．在函数，，，中，幂函数的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】因为，所以是幂函数；由于出现系数2，因此不是幂函数；是两项和的形式，不是幂函数；（），可以看出，常数函数的图象比幂函数的图象多了一个点，所以常数函数不是幂函数.故选：B.2．下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由偶函数定义知，仅A,C为偶函数，C.在区间上单调递增函数，故选A．3．有四个幂函数：①；②；③；④.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是，且；（3）在上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【解析】①只满足值域是，且；③只满足在上是增函数；④只满足在上是增函数；②是偶函数，在上是增函数，但其值域是.故选：B.4．若，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，联立得，因为，所以，由它们的图象可知的取值范围是.故选：C.5．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（）A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3【答案】A【解析】当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立；当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立；当或时，满足函数y＝xα的定义域为R，故选：A.6．以下结论正确的是（）A．当时，函数的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过、两点C．若幂函数的图象关于原点对称，则在定义域内随的增大而增大D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限【答案】D【解析】对于A选项，当时，函数的定义域为，所以，函数的图象是两条射线，A选项错误；对于B选项，幂函数不经过原点，B选项错误；对于C选项，幂函数的图象关于原点对称，但函数在定义域内不单调，C选项错误；对于D选项，由于幂函数在第一象限必有图象，若幂函数在第四象限有图象，与函数的定义矛盾，所以，幂函数的图象不可能在第四象限，若幂函数为偶函数，则幂函数在第二象限有图象，D选项正确.故选：D.7．已知点在幂函数的图象上，则是()A．奇函数 B．偶函数C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数【答案】A【解析】由题意，设幂函数的解析式为，又由点在幂函数的图象上，所以，解得，即，又由函数的定义域为关于原点对称，又由，所以函数为奇函数，故选A．8．已知幂函数（且互质）的图象如图所示，则（）A．，均为奇数，且 B．为偶数，为奇数，且C．为奇数，为偶数，且 D．为奇数，为偶数，且【答案】D【解析】由幂函数的图象关于轴对称，可知该函数为偶函数，所以为偶数，则为奇数，因为图象在第一象限内向上凸起，且在单调递增，所以.故选：D.9．如图，函数、、的图象和直线将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．若幂函数的图象经过的部分是④⑧，则可能是（）A．y＝x2 B． C． D．y=x-2【答案】B【解析】由图象知，幂函数的性质为：（1）函数的定义域为；（2）当时，，且；当时，，且；所以可能是.故选B.10．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断【答案】B【解析】由题可知：函数是幂函数则或又对任意的且，满足所以函数为的增函数，故所以，又，所以为单调递增的奇函数由，则，所以则故选：B点睛：函数单调递增的几种表示，比如.二、多选题11．若幂函数的图象经过点，则幂函数是（）A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数【答案】AC【解析】设幂函数为：，因为其图象经过点，所以，解得，所以幂函数.因为定义域为R，且，所以是奇函数，又因为，所以在R上是增函数.故选：AC12．已知幂函数的图象过点（2，8），下列说法正确的是（）A．函数的图象过原点B．函数是偶函数C．函数是单调减函数D．函数的值域为R【答案】AD【解析】由于幂函数过点，所以，解得，所以.，满足，A选项正确.是奇函数，所以B选项错误.在上递增，所以C选项错误.值域为，所以D选项正确.故选：AD13．已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（）A．函数为增函数 B．函数为偶函数C．若，则 D．若，则.【答案】ACD【解析】将点(4,2)代入函数得：，则.所以，显然在定义域上为增函数，所以A正确.的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.当时，，即，所以C正确.当若时，=.=.==.即成立，所以D正确.故选：ACD.14．已知实数a，b满足等式，则下列五个关系式中可能成立的是（）A． B．C． D．E.【答案】ACE【解析】画出与的图象（如图），设，作直线.从图象知，若或1，则；若，则；若；则.故其中可能成立的是ACE.故选：ACE三、填空题15．已知幂函数的图象过点，则______．【答案】4【解析】由题意令，由于图象过点，得，故答案为：4．16．若成立，则的取值范围是___________．【答案】【解析】如图所示，分别画出函数与的图象，由于两函数的图象都过点（1，1），由图象可知不等式的解集为.17．已知幂函数的图像满足，当时，在直线的上方；当时，在直线的下方，则实数的取值范围是_______________.【答案】【解析】当时，幂函数和直线第一象限的图像如下由图可知，不满足题意当时，幂函数和直线重合，不满足题意当时，幂函数和直线第一象限的图像如下由图可知，满足题意当时，幂函数和直线第一象限的图像如下由图可知，满足题意当时，幂函数和直线第一象限的图像如下由图可知，满足题意综上，故答案为四、双空题18．直接比较下列组中两个值的大小：（1）______；（2）______.【答案】【解析】（1），，，幂函数在上为增函数，所以，，因此，；（2）幂函数在上为增函数，.指数幂的大小比较，常用的有如下几种方法：（1）底数不同，指数相同，可以利用同指数的幂函数的单调性来比较大小；（2）底数不同，指数也不同，可以利用中间值法来比较大小.19．已知