应力状态分析

§8-1应力状态的概念§8-2平面应力状态分析——解析法§8-3平面应力状态分析——图解法（应力圆）§8-4空间应力的应力状态分析——一点的最大应力§8-5广义胡克定律§8-6强度理论概念第八章应力状态分析强度理论1、问题的提出§8-1应力状态的概念轴向拉伸杆件斜截面应力：问题1：同一点处不同方位截面上的应力不相同；横截面应力：梁弯曲的强度条件：z问题2

B点处应力该如何校核？

——有必要研究一点的应力状态。过一点不同方位截面上应力情况，称为这一点的应力状态（StateoftheStressesofaGivenPoint）。应力哪一个面上？

哪一点？哪一点？

哪个方向面？指明2、点的应力状态的概念研究应力状态的目的：找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度条件。3、一点的应力状态的描述研究一点的应力状态，可对一个包围该点的微小正六面体——单元体进行分析各边边长,,dxdydz在单元体各面上标上应力——

应力单元体

（1）、主平面与主应力：主平面：切应力为零的平面。主应力：作用于主平面上的正应力。主应力排列规定：按代数值由大到小。过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力301050单位：MPa30104、应力状态的分类a、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力都等于零的应力状态。b、二向应力状态：有两个主应力不等于零，另一个主应力等于零的应力状态。c、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。

（2)、应力状态的分类平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。空间应力状态：三向应力状态简单应力状态：单向应力状态。纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。空间应力状态yxz平面应力状态xyxyxy单向应力状态纯剪应力状态

取单元体示例一FPl/2l/2S截面5432154321S截面5432154321S截面1233t取单元体示例二FPlaS截面xzy4321S截面yxzMzFQyMx4321143忽略弯曲切应力一、斜截面上的应力计算§8－2平面应力的应力状态分析—解析法等价空间问题简化为平面问题--逆时针转为正。设：斜截面面积为ｄA，由分离体平衡得：单元体各面面积由切应力互等定理和三角变换，可得：符号规定：1)“

”正负号同“

”；

2)“ta”正负号同“t”

；3)“a”为斜面的外法线与x轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针为负。注意：用公式计算时代入相应的正负号。主平面的方位——主应力的大小讨论：1)、2)、的极值主应力以及主平面方位可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。3)、切应力ta的极值及所在截面——最大切应力所在的位置——xy面内的最大切应力由——主平面的位置——最大切应力所在的位置将与画在原单元体上。例：如图所示单元体，求a斜面的应力及主应力、主平面。（单位：MPa）300405060解：1、求斜面的应力2、求主应力、主平面主应力：主平面位置：这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆§8-3平面应力的应力状态分析—图解法对上述方程消参数（2），得：一、应力圆：圆心：半径：RC应力圆：二.应力圆的画法D(sx,txy)D’(sy,tyx)cRADxy点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面上的正应力和切应力三、几个对应关系D(sx,txy)D’(sy,tyx)cxyHnH转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致；二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。sxsxADtsodacx'yy'45ºx2×45º2×45ºbeBEttotsa(0,t)d(0,-t)ADbec2×45º2×45ºs1＝ts3＝tBEs3＝ts1＝tBE主应力单元体D’例：求1）图示单元体α=300斜截面上的应力

2）主应力、主平面（单位：MPa）。60EFτσO2、量出所求的物理量解：1、按比例画此单元体对应的应力圆sto与σ3平行的斜截面上的应力可在σ1、σ2应力圆的圆周上找到对应的点。与σ2平行的斜截面上的应力可在σ1、σ3应力圆的圆周上找到对应的点。与σ1平行的斜截面上的应力可在σ2、σ3应力圆的圆周上找到对应的点。§8-4空间应力的应力状态分析—一点的最大应力1).弹性理论证明，图a单元体内任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图a图b2).整个单元体内的最大切应力为：tmax结论——3)：整个单元体内的最大茄应力所在的平面：例：求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）解：1)x面为主平面之一2)建立应力坐标系如图，画y—z平面的应力圆及三向应力圆得:xyz305040CBAsatao(M

Pa)（M

Pa）10DD/C

1

3

2tmax解析法——1)由单元体知：x面为主平面之一,2)求y—z面内的最大、最小正应力。3)主应力4)最大切应力xyz305040CBA（MPa）20030050otmax平面应力状态作为三向应力状态的特例20050O3005030050O二、三向应力状态：——（广义虎克定律）++一、单向应力状态：§8-5广义胡克定律三、、广义胡克定律的一般形式:主应力与主应变方向是否一致?广义胡克定律的应用——求平面应力状态下任意方向的正应变：

aa+90求出,就可求得方向的正应变例

槽形刚体内放置一边长为a=10cm正方形钢块，试求钢块的三个主应力。F=8kN，E=200GPa,μ=0.3。

解：1)研究对象：2)由广义虎克定律：正方形钢块展开上式，并略去高阶微量：四、体积应变体积应变与应力分量间的关系:--平均应力。体积应变—单位体积的体积改变体积虎克定律:形状改变比能:单元体的比能

(单位体积储存的变形能)：利用广义虎克定律:

2

3

1图a

m

m

m图b

2

3

1-

m-

m-

m图c图b体积改变，形状不变；图c形状改变，体积不变。单元体的比能：—称为体积改变比能图c图b图a图C单元体的体积应变：单元体的比能＝体积改变比能(b)＋形状态改变比能(c)—称为形状改变比能所以图C单元体体积不变图a单元体的体积应变：——称为形状改变比能或畸形能图c图b图ab图的体积应变比能：强度理论：§8-6强度理论概念构件在静载荷作用下的两种失效形式：

(1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。

(2)塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。本章介绍常用的四个经典强度理论

人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论（为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法）

。1.最大拉应力理论（第一强度理论）

材料发生脆性断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值

－构件危险点的最大拉应力

－极限拉应力，由单向拉伸实验测得

§8-7四个经典强度理论莫尔强度理论强度条件断裂条件2.最大伸长拉应变理论（第二强度理论）

无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于最大拉应变（线变形）达到极限值导致的。－构件危险点的最大伸长线应变－极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得强度条件断裂条件即

无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于最大切应力达到了某一极限值。3.最大切应力理论（第三强度理论）

－构件危险点的最大切应力

－极限切应力，由单向拉伸实验测得屈服条件强度条件

实验表明：此理论对于塑性材料的屈服